毕业论文-生成函数的理论与应用.doc
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xx大学毕业论文
摘要
本文系统的论述了生成函数的理论及其在组合数学和计算数学中的应用.生成函数又称母函数，它是在幂级数和多项式理论的基础上建立的.生成函数可分为普通型生成函数和指数型生成函数，他们在计算问题中有各自的应用范围.本文首先介绍了生成函数的基本理论，包括基本概念、性质及其系数计算的一些技巧.其次介绍了普通型生成函数和指数型生成函数的基本模型及其应用范围.最后则具体讨论了生成函数法在求解递推关系和整数分拆中的应用.通过本文的总结，可以使人们对生成函数有一个比较清晰的认识，更加系统的掌握生成函数这一数学工具.
关键词：
生成函数；普通型生成函数；指数型生成函数；递推关系；整数分拆
ABSTRACT
Inthispaper,thetheoryofgenerationfunctionandtheapplicationinthecombinatorial mathematicsisdiscussed.Thegenerationfunctionisalsoknownasgeneratingfunction,whichisbuiltonthetheoryofpowerseriesandpolynomial.Generationfunctionincludesordinary-sizedandexponentialtype,theyhavetheirownapplicationfieldsintheproblemofcalculations.Firstly,thispaperintroducesthebasictheoryofgeneratingfunction,includingbasicconcepts,natureandsomecalculatingskillsofgeneratingfunctionscoefficients.Secondly,introducesthebasicmodelsandapplicationfieldsofordinary-sizedandexponentialtypegenerationfunction.Finally,discussesthemethodsofgenerationfunctioninsolvingtherecursiverelationsandpartition.Bythesummaryofthispaper,formingamoreprofoundunderstandingonthegenerationfunction.andmoresystematicmasteringthemathematicaltool-generatingfunction.
Keywords：
generationfunction；ordinary-sizedgenerationfunction；exponentialtypegenerationfunction；recursiverelations；partition
目录
摘要…………………………………………………………………………………………I
ABSTRACT………………………………………………………………………………..II
1前言……………………………………………………………………………………….1
2基本知识………...…………………………………………………………………….….2
2.1基本概念………………………………………………………………………..…2
2.2基本性质…………………………………………………………………………3
2.3生成函数的计算………………………………………………………………….4
3普通型生成函数模型…….………………………………………………………………6
3.1问题的提出……………………………………………………………………….6
3.2普通型生成函数模型及其应用…………………………………………………..6
4指数型生成函数模型…………………………………………………………………….9
4.1问题的提出…………………………………………………………………9
4.2指数型生成函数模型及其应用....…………….………………...………………...9
4.3指数型生成函数系数的计算技巧…………………………….…………...…….11
5生成函数在递推关系中的应用………………………………………………………...13
5.1生成函数法在常系数线性齐次递推关系上的应用……………………………13
5.2生成函数法在常系数线性非齐次递推关系上的应用………...………………..15
6生成函数在整数分拆中的应用……………………….………………………….…….18
结论….…………...………….………….……………………..….……...…..….………...20
参考文献……….………………….…………………..….…..……………….………….21
致谢……….…………………….……………………..…….…………..………….22
-20-
1前言
生成函数又称母函数，是计数问题中既简单又精巧的数学模型，也是组合数学的一个重要理论和工具.
1720年前后DeMoivre首先使用了组合生成函数,通过使用生成函数得到斐波那契数的一个公式.1748年欧拉在他的著作中对分拆问题使用了生成函数，而他同时对概率生成函数的工作是18世纪后期发展起了的组合生函数理论的原始动力.最早提出生成函数的人是法国数学家LaplaceP.S.在其1812年出版的《概率的分析理论》中明确提出“生成函数的计算”，书中对生成函数思想奠基人—EulerL在18世纪对自然数的分解与合成的研究做了延伸与发展，生成函数的理论由此基本建立.
曹汝成在生成函数中提出了车问题及其解法，AlanTucker在应用组合数学中提出了生成函数系数的具体解法及一个求和的算法，RichardA.Brualdi具体提出了生成函数与递推函数的关系等.每本著作中作者所提的概念、所引用的符号以及表述方法都有一些共同点和差异.本文主要是系统的总结生成函数的基本理论和应用问题，使人们对生成函数有一个清晰的认识，比较简便的学会生成函数这一数学工具.
本文第二部分主要回顾了生成函数的基本概念及其性质，计算生成函数系数的一些技巧.在第三部分和第四部分中主要介绍了普通型生成函数和指数型生成函数的基本模型及其应用范围.第五部分和第六部分则具体讨论了生成函数在递推关系和整数分拆中的应用.
2基本知识
2.1基本概念
计数问题是组合数学的一个重要内容，而生成函数又是解决计数问题的一个重要
的一般性的处理方法.
幂级数是我们所熟悉的多项式，我们定义为数列
的生成函数，通常记为[1].
生成函数的中心思想是：
首先使用多项式或幂级数把需要研究的数列合为一个整
体，通过研究多项式或幂级数的性质以及使用合并同类项的方法，来研究数列的性质，
从而得到相关的结论.
例如数列的生成函数是
这个生成函数的值为
用了非常简洁紧凑的方式显示了上述数列的序列信息.
下面列举了几个常见的生成函数[2].
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
2.2基本性质
首先假定，序列{}，{}的生成函数分别为
因为生成函数与数列之间是一一对应的关系，所以研究两个数列之间的关系可以转化为研究其生成函数的关系，这样就给解题带来了许多便利.
线性性质
（1）若，则
（2）若，则
乘积性质
（3）若=，则
移位性质
（4）若，则
（5）若，则）
（6）若，则=
（7）若，则=，其中是收敛的
换元性质
（8）若，则
求导与积分性质
（9）若，则
（10）若，则=
2.3生成函数的计算
计算生成函数系数的方法是把比较复杂的生成函数化简为简单的二次式类型，或
若干个二项式类型的生成函数的积，这样就比较容易得出所需的的系数.我们需要用到牛顿二项式定理及其生成函数的性质.
牛顿二项式定理，设实数，对一切有
其中=，
当时，变成我们所熟悉的二项式定理
特别的当时，
例1求解。
解
=
=
=
利用牛顿二项式求得生成函数的系数.
例2已知，求解的值.
解
=
=
，和在2.1中已注明，本题利用生成函数的加法运算及其性质求得.
例3在中的系数，？
解
=
=
中的系数是即15，所以的系数是15.
同理可得
=
3通型生成函数模型
3.1问题的提出
在现实生活中我们经常遇见类似于这样的问题：
5个苹果，4个橘子，3个梨，从中选出4个水果的组合数，及其组合方案.
当然，通过列举法可以来解决上述问题，但当水果的种类和数量变多时，应用列举法就困难许多.在本节，我们在组合问题中引入了生成函数法，使解题的过程更加简便.
3.2普通型生成函数模型及其应用
（1）求的组合数，这是普通集合的组合问题.
例1现在有n个不同的球，求从中选出三个球的组合数.
解显然根据以前的学习，我们可以得到三个球的组合数为，一般的对于r组合数有，.我们知道是二项式中的系数，所以我们可以用多项式因子的乘积来表示题意信息，因子相乘后拆开的系数就是对应的所选的组合数，即可用生成函数来解决此题.
（2）求{,,}的组合数.
例2下面我们来解决3.1中所提出的问题.
解我们可以用方程整数解的方法来对这一组合问题建模，3.1中的问题我们可以表示为=4的形式，其中分别代表选取苹果，橘子，梨的个数，05,04,03.
基于多项式，我们想要建立多项式因子的乘积，使得当这些因子乘开时，得到所有的乘积，拆开后所得多项式中的系数就是选出4个水果的组合数，所以我们需要三个因子，每个因子应该包含的可能取值.
即
（1+++），（1+++），（1++）
我们所需的生成函数是上述三个因子的乘积，对于组合方案：
我们可用代表苹果，代表橘子，代表梨，展开多项式因子的乘积，使得=，即=5的，，的可能的取值是我们所求的组合方案，如当=1，=1，=2时的组合方案为：
一个苹果，一个橘子，两个梨.
当水果的种类变多，数量变大时，就转化为下面（3）中的问题.
（3）求的组合数.
由例二可知，就是将问题转化为不定方程的非负整数解的问题.
例3从元集中可重复的选取个元作组合，每个元至少取一次，求作成的可重复的组合的个数.
解设所求组合的个数为，则是展开式中的系数，
=
=
=
所以
综合以上分析，我们可得下面定理.
定理3.1[3]从元集合={，，,...}中取个元素的组合数为，若限定元素出现的次数的集合为，则该组合数序列的生成函数为
例4现有无限多的一分，二分，五分，一角，五角的硬币.确定这些硬币凑成分钱的方法数的生成函数.
解设凑成分钱的方法数为，则是方程=的非负整数解的个数.
即其生成函数为
=（）（）（）（）（）
化简得
=
在组合型分配问题中我们也可以使用这个数学模型，由此可得下面定理.
定理3.2[3]（组合型分配问题）把个相同的球放入个不同的盒子，，，...，中，限定盒子的容量集合为，则其分配方案数的生成函数为
在3.1节的问题中我们有=4，其中05,04,03.
这相当于把4个相同的球放入3个不同的盒子中，盒子的容量集合分，
，.
我们称对重复选择问题进行建模的生成函数为普通型生成函数[3].
4指数型生成函数模型
4.1问题的提出
利用3.1节中所提出的问题，求从这12个水果中取4个水果进行排列的排列数.我们还是用代表苹果，代表橘子，代表梨，展开成多项式因子的乘积，即使得=，其中05,04,03.即=5中、、的可能的取值是我们所求的组合方案，例如当=1，=1，=2时就是选取一个苹果，一个橘子，两个梨，以此类推.
展开式中4次方项有
，，，，，，，，
，，，，，，
从这12个水果中选取4个进行排列，其排列数应是每一组合的排列数之和.
例如项表示选一个苹果，一个橘子，两个梨，它所对应的排列数为
明白上述意思后，我们就不难得出上面所说的取四个元素的排列数.
即
=80
通过一一列举展开式中4次方项，再算出每个组合的排列数之和，这种方法既麻烦又复杂，漏掉任意一项就会非常麻烦.本节我们将引入指数型生成函数，它可以使排列问题的计算变得简单方便.
4.2指数型生成函数模型及其应用
首先我们给出指数型生成函数的定义，对于序列，，，...，我们定义
=
称为序列{}的指数型生成函数[1].
由生成函数的思想我们可以试着应用指数型生成函数来解决4.1中提出的问题.
我们令
=（）（）（）
各多项式因子相乘后，取的系数，得80.我们还可以发现的系数正是从中选取个水果的排列数.
这并不是巧合，在排列问题中，我们不能将
=4
其中05,04,03，的每个整数解在可能的排列计数中记为1.实际上每个整数解必须贡献，用生成函数表示，的系数将是带有下面系数的所有形式积
=
其中05,04,03，上式中的指数和等于4，而我们知道指数型生成函数正好产生这种形式的形式积.可见指数型生成函数可以解决一般的有重复的排列问题，并且计算方便.
例1这5个字母组成的位数单词的个数，其中出现奇数次，出现偶数次，其它的没有次数要求.
解所求的生成函数为
展开式中的系数就是位数单词的排列数.
例2将个不同的小球放入个不同的盒子中去，且要求每个盒子均不为空的方法数.
解将个不同小球放入个不同的盒子中，相当于个不同元素的次重复排列，即多重集合的排列数，且要求每个元素至少取一次.
由此可得
=
综合以上分析，我们可以得到下面定理.
定理4.1[1]多重集合=的排列中，若限定元素出现的次数集合为（），则排列数的指数型生成函数为
在排列型分配问题中我们也可以使用这个数学模型.
例1中的问题我们可以转化为，把个不同的球放5个不同的盒子中，盒子的容量集合分别为，，，，可以得到相同的解.
定理4.2[1]把个不同的球1，2，3，...放入个不同的盒子，，，...，中，限定盒子的容量集合为，则其分配方案数的生成函数为
4.3指数型生成函数系数的计算技巧
指数型生成函数的基本展开式是
我们知道
（4.1）
他们有相似的形式，我们考虑用它来化简求解过程.
现在用来代替，可得
（4.2）
并且我们可得
（4.3）
（4.4）
利用公式（4.1）-（4.4）可以使系数的计算过程变得相对简单.
对于例1
=
=
所以展开式中的系数就是中的系数，简化了解题过程.
例2求解。
解
=
=
=+
求得
5生成函数在递推关系中的应用
递推关系是计算数学的一个重要工具，但其求解一般比较困难.本章介绍了生成函数法，使用它可以简单有效的解决这类问题中的某些部分.
5.1生成函数法在常系数线性齐次递推关系上的应用
定义5.1[4]序列{}相邻的项间有如下关系：
，，
我们称为序列{}的常系数线性齐次递推关系.
使用生成函数法解常系数线性齐次递推关系的基本思想是：
把关于的常系数线性齐次递推关系转化为的生成函数，通常采取错位相减法，再利用代数方法求解，将其展成幂级数的形式，的系数就是我们所求.
例1
解
=（5.1）
=（5.2）
（5.3）
将（5.1）-（5.3）相加得
解得
=
=
即
例2[5]递推关系被称为斐波那契关系，由斐波那契关系和初始条件所得到的数成为斐波那契数.我们知道斐波那契数在数学领域的应用广泛，下面我们用生成函数法来求解.
解我们令=…为，，，...的生成函数，此时，我们有
=（5.4）
=（5.5）
=（5.6）
将（5.4）-（5.6）相加得
=
由于
，以及
我们有
==1
得
其中=，，因为
可得的幂级数的展开式中的系数为
其中，.
在上述两例中我们使用了错位相加减的方法，我们发现，使用生成函数的方法来求解比传统的方法容易得多.
5.2生成函数法在常系数线性非齐次递推关系上的应用
定义5.2[6]序列{}相邻的项间有如下关系：
其中是常数，均为非负整数，我们称为序列{}的常系数线性非齐次递推关系.
使用生成函数法解常系数线性非齐次递推关系的基本思想是：
设序列{}的生成函数为，把关于的常系数线性非齐次递推关系代入的右端，得到的方程，解出的解.再将其展成幂级数的形式，的系数就是我们所求.
例3，其中.
解
因此
例4[8]在一个非常富有的国家，一天国王想要奖赏他的一个臣子，就问他想要什么.这个臣子拿出一张88的棋盘，说他的要求并不高，第一个格子放一颗大麦粒，第二个格子放2颗，第三个格子放颗，…，第六十四格放颗，国王以为粮仓富足，这不是什么问题就答应了，其实并不是这样的.现在让我们来计算一下一共需要多少颗大麦粒.
解设前个格子上的大麦粒数为，由题意可得=且，则我们令
为，，，...的生成函数.我们将代入上式右端，整理得
=+
可得
我们可得
这样还是比较抽象，我们假设每秒运送粒大麦粒，则需
时间T=（年）
5.1，5.2节的例子中所使用的求解方法可以推广到求解任意的常系数阶线性齐次或非齐次递推关系中.即：
我们所使用的生成函数可以化为的形式，其中是次数小于的多项式，是常数项为1的次多项式.再利用部分分式的方法将其化为下述分式和的形式
其中是实数，是常数，是正整数
利用公式将其展开，合并同类项，就可得到幂级数的形式.
6生成函数在整数分拆中的应用
在这一节中我们将讨论生成函数在整数分拆中的应用.
个相同对象的一个分拆定义为：
把这些对象分成各种组合，这些组合中对象的的数量可以相同也可不同.类似的我们可以定义整数的分拆，就是把分解成若干个整数的组合，并且与其顺序无关.当然会有许多不同的分拆方案，我们称所有这些拆分方案的数目为拆分数（或分拆数）.
例如正整数4对应的分拆可以为
1+1+1+1，1+1+2，1+3，2+2，4，分拆数为5
下面我们来构造整数分拆的生成函数模型.
（1）我们可以把正整数分拆看作是，由个1，个2，个3，...，个所组成的和.
则=+++
由第三节的分析可得其生成函数为
展开式中的系数为的所有分拆数.
（2）正整数的各分布量都属于集合的生成函数.
在前面3.2节中所讨论的例四就可以看作的各分布量属于集合{1，2，5，10，50}的分拆数，由此而得的生成函数
与之前所得的生成函数相同.
即
例1求满足，且的整数解的个数.
解我们可以把上述问题看成是整数的分拆数问题，即把10分解成满足的三个整数的和.
我们可得
则中的系数为所求的整数解的个数.
由以上可知，分拆数的生成函数比较容易求的，但遗憾的是，目前还没有比较简单的方法来求解其生成函数的系数.下面给出几个定理，在求解生成函数系数的过程中可能会有所帮助.
定理6.1[9]成不同整数的和，其拆分数等于被拆分成奇整数的和的拆分数.
证明：
设拆分成不同整数的拆分数的生成函数为
定理6.2[9]不超过次的整数的和，其拆分数等于被拆分成不被所除尽的整数的和的拆分数.
定理6.3[10]成个正整数的和，其分拆数等于被分拆成最大数为的正整数的和的分拆数.
在组合数学中，我们可以把许多实际问题都看成是某一或一些整数的特殊分拆数的问题.利用上述方法，可以有效的解决此类问题.
结论
目前国内外许多数学研究者都对生成函数的应用范围进行了大量的研究，成果显著.但在这些文献中，知识点不够系统全面.本文汲取了他们的劳动成果，通过大量的比较研究，比较系统的给出了生成函数的基本理论及其应用模型.
本文将生成函数分为普通型生成函数和指数则型生成函数.通过问题引入、问题分析、问题解决、问题延伸的步骤分别系统的总结了普通型生成函数模型和指数型生成函数模型的应用范围.比较全面的总结了生成函数法在递推关系和整数分拆中的应用.其中，部分分式的方法有待于进一步研究和讨论.
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