简单的逻辑联结词全称量词与存在量词.doc

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03　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

知识梳理

1．简单的逻辑联结词

（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．

（2）命题p∧q、p∨q、非p的真假判断

p

q

p∧q

p∨q

非p

真

真

真

真

假

真

假

假

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

真

2.全称量词与存在量词

（1）全称量词：

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．

（2）存在量词：

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．

（3）含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，非p（x0）

∃x0∈M，p（x0）

∀x∈M，非p（x）

要点整合

1．若p∧q为真，则p，q同为真；

若p∧q为假，则p，q至少有一个为假；

若p∨q为假，则p，q同为假；

若p∨q为真，则p，q至少有一个为真．

2．“p∧q”的否定是“（非p）∨（非q）”；

“p∨q”的否定是“（非p）∧（非q）”．

题型一.含有一个逻辑联结词命题的真假性

例1.已知命题p：

对任意x∈R，总有2x>0；q：

“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧q　　　 B．（非p）∧（非q）

C．（非p）∧q D．p∧（非q）

解析：

　根据指数函数的图象可知p为真命题．由于“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以q为假命题，所以非q为真命题．逐项检验可知只有p∧（非q）为真命题．故选D.

[答案]　D

判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤

第一步：

先判断命题p与q的真假性，从而得出非p与非q的真假性．

第二步：

根据“p∧q”与“p∨q”的真值表进行真假性的判断．　

变式1．设命题p：

3≥2，q：

函数f（x）＝x＋（x∈R）的最小值为2，则下列命题为假命题的是（　　）

A．p∨q B．p∨（非q）

C．（非p）∨q D．p∧（非q）

解析：

选C.命题p：

3≥2是真命题，命题q是假命题，

∴（非p）∨q为假命题，故选C.

变式2．已知命题p：

∀x∈R，2x<3x，命题q：

∃x∈R，x2＝2－x，若命题（非p）∧q为真命题，则x的值为（　　）

A．1 B．－1

C．2 D．－2

解析：

选D.∵非p：

∃x∈R，2x≥3x，要使（非p）∧q为真，

∴非p与q同时为真．由2x≥3x得≥1，

∴x≤0，由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，

∴x＝1或x＝－2，又x≤0，

∴x＝－2.

变式3．设p：

y＝logax（a>0，且a≠1）在（0，＋∞）上是减函数；q：

曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴有两个不同的交点，若p∨（非q）为假，则a的范围为__________．

解析：

∵p∨（非q）为假，∴p假q真．

p为假时，a>1，

q为真时，（2a－3）2－4>0，即a<或a>，

∴a的范围为

（1，＋∞）∩

＝.

答案：

题型二.含有一个量词的命题的否定　

例2.命题“∃x0∈（0，＋∞），lnx0＝x0－1”的否定是（　　）

A．∀x∈（0，＋∞），lnx≠x－1

B．∀x∉（0，＋∞），lnx＝x－1

C．∃x0∈（0，＋∞），lnx0≠x0－1

D．∃x0∉（0，＋∞），lnx0＝x0－1

解析：

　由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x∈（0，＋∞），lnx≠x－1，故选A.

[答案]　A

（1）特称命题与全称命题否定的判断方法：

“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；

（2）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可．

变式1．命题p：

∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0的否定为（　　）

A．非p：

∃x0∈R，x＋2x0＋2>0

B．非p：

∀x∈R，x2＋2x＋2≤0

C．非p：

∀x∈R，x2＋2x＋2>0

D．非p：

∃x0∈R，x＋2x0＋2＜0

解析：

选C.根据特称命题的否定形式知非p：

∀x∈R，x2＋2x＋2>0，故选C.

变式2．设命题p：

任意两个等腰三角形都相似，q：

∃x0∈R，x0＋|x0|＋2＝0，则下列结论正确的是　（　　）

A．p∨q为真命题 B．（非p）∧q为真命题

C．p∨（非q）为真命题 D．（非p）∧（非q）为假命题

解析：

选C.∵p假，非p真；q假，非q真，

∴p∨q为假，（非p）∧q为假，p∨（非q）为真，（非p）∧（非q）为真，故选C.

题型三.全称命题与特称命题真假性的应用

例3.已知p：

∃x0∈R，mx＋1≤0，q：

∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞）　　 B．（－∞，－2]

C．（－∞，－2]∪[2，＋∞） D．[－2，2]

解析：

　依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.

[答案]　A

根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤

第一步：

对两个简单命题进行真假性判断．

第二步：

根据p∧q为真，则p真q真，p∧q为假，则p

与q至少有一个为假，p∨q为真，则p与q至少有一个为真，p∨q为假，则p假q假．

第三步：

根据p、q的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．

变式1．若命题“存在实数x0，使x＋ax0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，－2] B．[－2，2]

C．（－2，2） D．[2，＋∞）

解析：

选B.因为该命题的否定为：

“∀x∈R，x2＋ax＋1≥0”是真命题，则Δ＝a2－4×1×1≤0，

解得－2≤a≤2.故实数a的取值范围是[－2，2]．

变式2．（名师原创）若“∀x∈，sinx≤m”是真命题，则实数m的范围为（　　）

A．[1，＋∞） B．（－∞，1]

C. D．

解析：

选A.∵∀x∈，≤sinx≤1.

∴“∀x∈，sinx≤m”为真命题时，m≥1，故选A.

【真题演练】

1.【浙江理数】命题“，使得”的否定形式是（）

A．，使得B．，使得

C．，使得D．，使得

【答案】D

【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．

2.【高考新课标1，理3】设命题：

，则为（）

（A）（B）

（C）（D）

【答案】C

【解析】:

，故选C.

3.【高考浙江，理4】命题“且的否定形式是（）

A.且B.或

C.且D.或

【答案】D.

【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.

4.【陕西卷】原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，假，真B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

【答案】B　

5.【重庆卷】已知命题p：

对任意x∈R，总有2x>0，q：

“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．非p∧非q

C．非p∧qD．p∧非q

【答案】D　

【解析】根据指数函数的图像可知p为真命题．由于“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以q为假命题，所以非q为真命题，所以p∧非q为真命题．

6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）

A．（p）∨（q）B．p∨（q）

C．（p）∧（q）D．p∨q

【答案】A　“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.