251 平面几何中的向量方法Word下载.docx

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（1）直线y＝kx＋b的方向向量为（1，k），法向量为（k，－1）．

（2）直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为（B，－A），法向量为（A，B）．

要点一　平面几何中的垂直问题

例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：

AF⊥DE.

证明　法一　设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·

b＝0，又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·

＝·

＝－a2－a·

b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.

法二　如图建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0,0），D（0,2），E（1,0），F（2,1），＝（2,1），＝（1，－2）．

因为·

＝（2,1）·

（1，－2）＝2－2＝0，

所以⊥，即AF⊥DE.

规律方法　对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件（向量的数量积为0），而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．

跟踪演练1　如图，点O是△ABC的外心，E为三角形内一点，满足＝＋＋，求证：

⊥.

证明　∵O为外心，∴||＝||.

∵＝－，

＝－＝（＋＋）－＝＋，

∴·

＝（＋）·

（－）＝||2－||2＝0，即·

＝0.

故⊥.

要点二　平面几何中的长度问题

例2　如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F.求证：

AF＝AE.

证明　如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（－1,1），B（0,1）．

若设E（x，y），则＝（x，y－1），＝（1，－1）．

又∵∥，∴x·

（－1）－1×

（y－1）＝0，

∴x＋y－1＝0.

又∵||＝||，∴x2＋y2－2＝0.

由得或（舍）．

即E.

又设F（x′，1），由＝（x′，1）和＝共线得：

x′－＝0，得x′＝－2－，∴F（－2－，1），∴＝（－1－，0），＝，

∴||＝＝1＋＝||，

∴AF＝AE.

规律方法　向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；

二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：

若a＝（x，y），则|a|＝.

跟踪演练2　如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

解　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝＝＝＝2，∴5－2a·

b＝4，∴a·

b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·

b＋b2＝1＋4＋2a·

b＝6，∴||＝，即AC＝.

1．若M为△ABC所在平面内一点，且满足（－）·

（＋－2）＝0，则△ABC为（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

答案　B

解析　由（－）·

（＋－2）＝0，

可知·

（＋）＝0，

设BC的中点为D，则＋＝2，

故·

＝0，所以⊥.

又D为BC中点，故△ABC为等腰三角形．

2．如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·

的值是（　　）

A．－8B．－1

C．1D．8

答案　D

解析　取BC的中点D，连接AD、OD，则有OD⊥BC，＝（＋），＝－，·

＋·

（－）＝（2－2）＝×

（52－32）＝8，选D.

3．正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值．

解　

以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：

＝，＝，

故cos∠DOE＝

＝＝.

即cos∠DOE的值为.

4．三角形ABC中，设＝a，＝b，＝c，若a·

b＝b·

c＝c·

a，请确定三角形ABC的形状．

解　因为a·

c，所以（a－c）·

b＝0，而由向量加法的三角形法则可知，a＋b＋c＝0，所以b＝－a－c，所以（a－c）·

（－a－c）＝0，即（a－c）·

（a＋c）＝0，得到a2－c2＝0，a2＝c2，即|a|2＝|c|2，也就是|a|＝|c|.同理可得，|a|＝|b|，所以|a|＝|b|＝|c|.故三角形ABC是等边三角形．

1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：

一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．

2．在直线l：

Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）上任取两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则也是直线l的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l：

Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）垂直的向量都叫直线l的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用．

①y＝kx＋b的方向向量v＝（1，k），法向量为n＝（k，－1）．

②Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的方向向量v＝（B，－A），法向量n＝（A，B）.

一、基础达标

1．在△ABC中，已知A（4,1）、B（7,5）、C（－4,7），则BC边的中线AD的长是（　　）

A．2B.C．3D.

解析　BC中点为D，＝，

∴||＝.

2．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·

，则点O是△ABC的（　　）

A．三个内角的角平分线的交点

B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点

D．三条高的交点

解析　∵·

，

∴（－）·

∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，

∴O为三条高的交点．

3．已知点A（－2,0），B（0,0），动点P（x，y）满足·

＝x2，则点P的轨迹是（　　）

A．x2＋y2＝1B．x2－y2＝1

C．y2＝2xD．y2＝－2x

解析　＝（－2－x，－y），＝（－x，－y）

则·

＝（－2－x）（－x）＋y2＝x2，

∴y2＝－2x.

4．已知平面向量a，b，c，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a，b，c两两所成角相等，则|a＋b＋c|＝（　　）

A.B．6或C．6D．6或

5．过点A（2,3），且垂直于向量a＝（2,1）的直线方程为（　　）

A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0

C．x－2y＋4＝0D．x－2y－4＝0

答案　A

解析　设P（x，y）为直线上一点，则⊥a，即（x－2）×

2＋（y－3）×

1＝0，即2x＋y－7＝0.

6．过点（1,2）且与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是____________．

答案　x＋3y－7＝0

解析　设P（x，y）是所求直线上任一点，

直线3x－y＋1＝0的方向向量为（1,3），由（x－1，y－2）·

（1,3）＝0得x＋3y－7＝0.

7．已知：

▱ABCD中，AC＝BD，求证：

四边形ABCD是矩形．

证明　设＝a，＝b，

由于四边形ABCD是平行四边形，

∴＝＋＝a＋b，

＝－＝b－a.

∵AC＝BD，∴|a＋b|＝|b－a|.

∴|a＋b|2＝|b－a|2.

∴|a|2＋2a·

b＋|b|2＝|b|2－2a·

b＋|a|2.

∴a·

b＝0.∴a⊥b，即⊥.∴AB⊥AD.

∴四边形ABCD是矩形．

二、能力提升

8．已知非零向量与满足·

＝0且·

＝，则△ABC的形状是（　　）

A．三边均不相等的三角形B．直角三角形

C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形

解析　由·

＝0，得角A的平分线垂直于BC.∴AB＝AC.而·

＝cos〈，〉＝，又〈，〉∈[0°

，180°

]，∴∠BAC＝60°

.

故△ABC为正三角形，选D.

9．在四边形ABCD中，＝（1,2），＝（－4，2），则四边形的面积为（　　）

A.B．2C．5D．10

答案　C

解析　因为在四边形ABCD中，＝（1,2），＝（－4,2），·

＝0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又||＝＝，||＝＝2，该四边形的面积：

||·

||＝×

×

2＝5.

10．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．

答案　[，π]

解析　以α，β为邻边的平行四边形的面积为：

S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，

所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈.

11．已知：

如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A，B重合），求证：

∠APB＝90°

.（用向量方法证明）

证明　连接OP，设向量＝a，＝b，

则＝－a且＝－＝a－b，

＝－＝－a－b，

＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，

∴⊥，

即∠APB＝90°

12．三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°

，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连接DF.求证：

∠ADB＝∠FDC.

证明　

如图所示，建立直角坐标系，设A（2,0），C（0,2），则D（0,1），

于是＝（－2,1），

＝（－2,2），

设F（x，y），由⊥，

得·

＝0，

即（x，y）·

（－2,1）＝0，

∴－2x＋y＝0.①

又F点在AC上，则∥，

而＝（－x,2－y），

因此2×

（－x）－（－2）×

（2－y）＝0，

即x＋y＝2.②

由①、②式解得x＝，y＝，

∴F，＝，＝（0,1），

·

＝，

又·

＝||||cosθ＝cosθ，

∴cosθ＝，即cos∠FDC＝，

又cos∠ADB＝＝＝，

∴cos∠ADB＝cos∠FDC，故∠ADB＝∠FDC.

三、探究与创新

13.

如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证：

BP⊥DC.

证明　设P＝λC，并设△ABC的边长为a，则有

P＝P＋D

＝λC＋B＝λ（B－B）＋B

＝（2λ＋1）B－λB，又E＝B－B.

∵P∥E，∴（2λ＋1）B－λ＝k－k.

于是有：

解得，λ＝.

∴P＝C.

∴B＝B＋C＝＋＝＋（－）＝B＋B.C＝B－B.

从而B·

C＝（B＋B）·

（B－B）

＝a2－a2－a2cos60°

＝0.∴⊥.

∴BP⊥DC.