平面直角坐标系与点的坐标.docx
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平面直角坐标系与点的坐标
平面直角坐标系与点的坐标
一、选择题
1.（2016•湖北咸宁）
已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,
顶点A（5，0），
OB=45，点P是对角线0B上的一个动点,
D（0，1），当CP+DR最短时，点P的坐标为（
A.（0，0）
B.
5
）
【考点】菱形的性质，平面直角坐标系，，轴对称一一最短路线问题，三角形相似，勾股定理，动点问题.
【分析】点C关于0B的对称点是点A,连接AD,交0B于点P,P即为所求的使CP+DR最短的点；连接CP,解答即可.
【解答】解：
如图，连接AD交0B于点P,P即为所求的使CP+DP最短的点；连接CPAC,AC交OB于点E,过E作EF丄0A垂足为F.
•••点C关于0B的对称点是点A,•••CP=AP•••AD即为CP+DP最短;
•••四边形0ABC是菱形，0B=45,
•••OE=1OB=2、5,AC丄0B
又•••A（5,0）,
•••在Rt△aeo中，ae=0A2_OE2=,52—（2\5）2=5；
易知Rt△OEF^AOAE
OE_EF
…OA=AE
OE祺E2
…EF=~0A=5=2,
•••of=OE2EF2=（2\5）2-22=4.
•••E点坐标为E（4,2）
设直线0E的解析式为：
y=kx，将E（4,2）代入，得y=；x,
设直线AD的解析式为：
y=kx+b，将A（5，0），D（0，1）代入，得y=—gx+1，
•••点P的坐标的方程组y=舟x,
10T，
y=-：
x+i
解得
y=
••点P的坐标为（学
故选D.
【点评】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系，，轴对称——最短路线问题，三角形相
似，勾股定理，动点问题•关于最短路线问题：
在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L
上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点（注：
本题C,D位于
0B的同侧）.如下图：
解决本题的关键：
一是找出最短路线，二是根据一次函数与方程组的关系，将两直线的解析
式联立方程组，求出交点坐标•
2.2016•四川成都•3分）平面直角坐标系中，点P（-2,3）关于x轴对称的点的坐标为
（）
A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-3，-2）D.（3，-2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案.
【解答】解：
点P（-2，3）关于x轴对称的点的坐标为（-2，-3）.
故选：
A.
3.（2016湖北孝感，6，3分）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在
平面直角坐标系中，0B在x轴上，若0A=2，将三角板绕原点0顺时针旋转75°，则点A的对应点A的坐标为（）
A.Cd,-1）B.（1，—吋］）C.（/,-：
）D.（—.:
：
）
【考点】坐标与图形变化-旋转.
【分析】先根据题意画出点A的位置，然后过点A作AC丄OB接下来依据旋转的定义和性质可得到OA的长和/COA的度数，最后依据特殊锐角三角函数值求解即可.
【解答】解：
如图所示：
过点A作AC丄OB
•••将三角板绕原点O顺时针旋转75°,
•••/AOA=75°,OA=OA
•••/COA=45°.
•OC=2<：
=",CA=2<：
=".
22
•A的坐标为（二-「）.
故选：
C.
【点评】本题主要考查的是旋转的定义和性质、特殊锐角三角函数值的应用，得到/COA=45。
是解题的关键.
4.（2016•广西贺州）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段AB',那么A（—
2,5）的对应点A'的坐标是（）
A.（2,5）B.（5,2）C.（2,—5）D.（5,—2）
【考点】坐标与图形变化-旋转.
【分析】由线段AB绕点0顺时针旋转90°得到线段AB'可以得出厶ABdAAB'O',
/AOA=90°,作ACLy轴于C,ACLx轴于C',就可以得出△AC3AACO,就可以得出AC=AC,CO=CO由A的坐标就可以求出结论.
【解答】解：
•••线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段AB',
•••△ABO^^AB'O，/AOA=90°,
•••AO=AO.
作ACLy轴于C,AC'Lx轴于C',
•••/ACOMA'C'O=90.
•••/COC=90°,
•••/AOA-MCOA=MCOC-/COA,
•••/AOCMA'OC.
在厶ACO和厶A'C'O中，
'Zaco=Za'Co
“ZA0C=ZAzOC*
姑0
•△ACO^A'C0（AAS,
•AC=AC,CO=CO.
A（-2,5）,
•AC=2CO=5
•AC=2,OC=5,
•A（5,2）.
故选：
B.
【点评】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运
用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键.
5.（2016•山东枣庄）已知点P（a+1,-a+l）关于原点的对称点在第四象限，贝Ua的取
2
值范围在数轴上表示正确的是
1■——i1・
-2-
1012
A.
C.
1^^
-2-1
oi2■
L
B.
D.
【答案】C.
【解析】
试题分析:
已知点凤計1*-—+1）关于瘵点的对称点在第四家限,可得点P在第二象限，所UAa+KO»+1
7r
考点：
点的坐标；不等式组的解集•
6、（2016广东，7,3分）在平面直角坐标系中，点P（-2,-3）所在的象限是（）
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
答案：
C
考点：
平面直角坐标。
解析：
因为点P的横坐标与纵坐标都是负数，所以，点P在第三象限。
2.（2016大连，,2,3分）在平面直角坐标系中，点（1,5）所在的象限是（）
A.第一象限B•第二象限C•第三象限D•第四象限
【考点】点的坐标.
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可.
【解答】解：
点（1,5）所在的象限是第一象限.
故选A.
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的
关键，四个象限的符号特点分别是：
第一象限（+,+）;第二象限（-，+）;第三象限（-,
-）；第四象限（+,-）.
二、填空题
1.（2016•广东茂名）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到AA1BOVI
的位置，使点A的对应点A1落在直线y=x上，再将AA1BO绕点A顺时针旋转到AADQ
的位置，使点O的对应点O2落在直线y=3x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0,1）,
点B的坐标是（，1），则点A的横坐标是.6+6.
【考点】坐标与图形变化-旋转；一次函数图象与几何变换.
【分析】先求出点A,A4,A6…的横坐标，探究规律即可解决问题.
3Vs
【解答】解：
由题意点A的横坐标（+1）,
点A的横坐标3（+1）,
1Vs
点A的横坐标（+1）,
点A的横坐标6（'+1）
【点评】本题考查坐标与图形的变换-旋转，一次函数图形与几何变换等知识，解题的关键
是学会从特殊到一般，探究规律，由规律解决问题，属于中考常考题型.
2.（2016•广东梅州）已知点P（3-mm在第二象限，则m的取值范围是.
答案：
m•3
考点：
平面直角坐标，解不等式组。
3-mc0
解析：
因为点P在第二象限，所以，，解得：
m
3.（2016江苏淮安，11,3分）点A（3,-2）关于x轴对称的点的坐标是（3,2）.
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答.
【解答】解：
点A（3,-2）关于x轴对称的点的坐标是（3,2）.
故答案为：
（3,2）.
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题
的关键是掌握好对称点的坐标规律：
4.（2016•山西）如图是利用网格画出的太原市地铁1,2,3号线路部分规划示意图•若建
立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0,-1）,表示桃园路的点的坐标为（-1,0）,则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是（3,0）.
1
考点：
坐标的确定
分析：
根据双塔西街点的坐标为（0,-1）,可知大南门为坐标原点，从而求出太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标
解答：
太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标（3，0）
5.（2016山东省聊城市，3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABCi的两边在坐标轴上，以它的对角线OB为边作正方形OBB2C2，再以正方形OBB2C2的对角线OB
1008
为边作正方形OBB3C3，以此类推…、则正方形OB015B016G016的顶点B2016的坐标是（2,0）.
A>r
【考点】正方形的性质；规律型：
点的坐标.
【分析】首先求出B、庄、已、b、B、R、B、臼、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2016的坐标.
【解答】解：
•••正方形OABG边长为1,
•••OB=,
•••正方形OBB2C是正方形OABC的对角线OB为边，
•••OB=2,
•B2点坐标为（0,2）,
同理可知OB=2,
•B3点坐标为（-2,2）,
同理可知OB=4,B4点坐标为（-4,0）,
B5点坐标为（-4，-4）,B6点坐标为（0,-8）,
Br（8,-8）,B8（16,0）
B9（16,16）,B10（0,32）,
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的
边长变为原来的倍，
•/2016十8=252
•••B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0,
•••B2016的坐标为（21008,0）.
故答案为：
（21008,0）.
【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点
坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的'倍.
6.（2016.山东省泰安市，3分）如图，在平面直角坐标系中，直线I:
y=x+2交x轴于点A,交y轴于点A,点A,A,…在直线I上，点B1,B2,Bs,…在x轴的正半轴上，若AAQB,△A2B1B2,AA3BB3,…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直
角三角形AnBh-1Bn顶点Bn的横坐标为2“2.
【分析】先求出Bi、B2、Bs…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题.
【解答】解：
由题意得OA=OA=2,
•OB=OA=2,
BB2=BA=4,B2ab=B2B3=8,
（2,0）,B2（6,0）,Bs（14,0）…，
234
2=2-2,6=2-2,14=2-2,…
•Bn的横坐标为2n+1-2.
故答案为2n+1-2.
【点评】本题考查规律型：
点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊
到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型.
7.（2016.山东省威海市，3分）如图，点A的坐标为（1,0）,A在y轴的正半轴上，且ZA1A2O=30，过点A作AA丄A1A，垂足为A?
交x轴于点As;过点A作AA^AzAs，垂足为A，交y轴于点A4；过点A作AA5丄A3A4,垂足为A，交x轴于点氏;过点A作AA丄A4A5,
垂足为A5,交y轴于点Ae；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为-（）
*
舛亠
A；
A,
【考点】坐标与图形性质.
【分析】先求出A、A、A、AA坐标，探究规律，利用规律解决问题.
忑1區2Vs3忑
【解答】解：
••人（1,0）,A2[0,（）],A3[-（）,0].A4[0,-（）]，刑（）
4,0]…，
•••序号除以4整除的话在y轴的负半轴上，余数是1在x轴的正半轴上，余数是2在y轴的正半轴上，余数是3在x轴的负半轴上，
•/2016-4=504，
•A2016在y轴的负半轴上，纵坐标为-（
fy=2x+2Iy=_x+1
&（2016•江苏省扬州）以方程组的解为坐标的点（x，y）在第二象限.
【考点】二元一次方程组的解；点的坐标.
【分析】先求出x、y的值，再根据各象限内点的坐标特点即可得出结论.
（y=2x+2®
jy=-k+1②
【解答】解：
，
I
t①-②得，3x+1=0，解得x=-；
丄2.
把x的值代入②得，y=-+1=，
丄2.
•点（x，y）的坐标为：
（-，），
•此点在第二象限.
故答案为：
二.
9.（2016?
呼和浩特）已知平行四边形ABCD勺顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB=2若点A的坐标为（a，b），贝U点D的坐标为（-2-a，
-b）（2-a，-b）.
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质.
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=2根据已知条件得到B（2+a，b），或（a-2，b），•••由于点D与点B关于原点对称，即可得到结论.
【解答】解：
如图1,
Va
n
•••四边形ABCD是平行四边形，
/•CD=AB=2
TA的坐标为（a,b）,AB与x轴平行，
•••B（2+a，b），•••点D与点B关于原点对称，
•••D（-2-a,-b）
如图2,TB（a-2,b）,•••点D与点B关于原点对称,•/D（2-a,-b）,
y/
A
图2
综上所述：
D（-2-a,-b）,（2-a,-b）.
三、解答题
1.（2016•湖北咸宁）（本题满分12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0,1）,取一点B（b,0）,连接AB作线段AB的垂直平分线l1,过点B作x轴的垂线l2，记I1,l2的交点为P.
（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P,并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：
这些点P竟然在一条曲线L上！
1设点P的坐标为（x,y），试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；
2设点P到x轴，y轴的距离分别为d1,d2，求d1+d2的范围.当d计d2=8时，求点P的坐标；
3将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围.
图1图2
【考点】二次函数，一次函数，尺规作图，平面直角坐标系，勾股定理，一元二次方程，轴
对称——翻折，最值问题.
【分析】
（1）根据垂直平分线、垂线的尺规作图方法画图即可，要标出字母；
（2）①分x>0和xw0两种情况讨论：
当x>0时，如图2，连接AP,过点P作PE±y轴于
点E,可得出PA=PB=y再在Rt△APE中，EP=OB=xAE=OE-OA=y-1,由勾股定理，可求出
y与x之间的关系式；当xw0时，点P（x,y）同样满足y=^x2+扌，曲线L就是二次函数y=1x2+2的图像，也就是说曲线L是一条抛物线.
②首先用代数式表示出di,d2：
di=^x2+*,d2=|xI,得出di+d2=^x2+*+|x|,
可知当x=0时，di+d2有最小值2,因此di+d2的范围是di+d2>-2；当di+d2=8时，则-1x'+弓+|x|=8.将x从绝对值中开出来，故需分x>0和xV0两种情况讨论：
当x>0时，将原方程化为吉x2+£+x=8,解出xi,X2即可；当xv0时，将原方程化为
^x2+-2—x=8，解出xi,X2即可；最后将x=±3代入y=gx2+g，求得P的纵坐标，从而得出点P的坐标.
③直接写出k的取值范围即可.
【解答】解：
（i）如图i所示（画垂直平分线，垂线，标出字母各i分）.
..3分
图1图2
（2）①当x>0时，如图2，连接AP,过点P作PELy轴于点E.
•/li垂直平分AB
/•PA=PB=y.
在Rt△APE中，EP=OB=xAE=OE-OA=y-1.
由勾股定理，得（y-1）2+x2=y2.5分
整理得，y=2x2+1.
当x<0时，点P（x,y）同样满足y=^x2+吉..6分
•••曲线L就是二次函数丫=畀2+召的图像.
即曲线L是一条抛物线.7分
2
②由题意可知，di=|x+2,d2=|x|.
•di+d2=舟x2+*+|x|.
当x=0时，d1+d2有最小值2.
•-d1+d2的范围是d1+d2>2.8分
当d1+d2=8时，则2x2+l+|x|=8.
（I）当x>0时，原方程化为"2x2+*+x=8.
解得x1=3,X2=-5（舍去）
（n）当xv0时，原方程化为1x+—x=8.
解得x1=-3,X2=5（舍去）
将x=±3代入y=召x2+弓，得y=5..9分
•••点P的坐标为（3,5）或（-3,5）..10分
③k的取值范围是：
一£vkv#..12分
解答过程如下（过程不需写）：
把y=2代入y=2x2+1，得X1=—■.3,X2=3.
•直线y=2与抛物线y=*x2+2两个交点的坐标为（一.3,2）和（-.3,2）
当直线y=kx+3过点（—.3,2）时，可求得k=-3；
kx+3与这条“W形状的新曲线有/4个交点时，k的取值范围是：
—撐
【点评】本题是压轴题，综合考查了二次函数「次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角
坐标系，一元二次方程，轴对称一一翻折，最值问题•读懂题目、准确作图、熟谙二次函数
及其图像是解题的关键•近几年的中考，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。
解决压轴题目的关键是找准切入点，如添辅助线构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题
目中寻找多解的信息，等等•压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力。
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