版高考数学理刷题小卷练 7函数与方程函数的实际应用.docx

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版高考数学理刷题小卷练7函数与方程函数的实际应用

刷题增分练7　函数与方程、函数的实际应用

刷题增分练⑦小题基础练提分快

一、选择题

1．[2019·长沙模拟]若函数f（x）＝ax＋b的零点是2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是（　　）

A．0,2　　　B．0，

C．0，－D．2，－

答案：

C

解析：

由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g（x）＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.

2．[2019·南昌调研]函数f（x）＝＋ln的零点所在的大致区间是（　　）

A．（1,2）B．（2,3）

C．（3,4）D．（4,5）

答案：

B

解析：

易知f（x）＝＋ln＝－ln（x－1）在（1，＋∞）上单调递减且连续，当10，所以f（x）>0，故函数f（x）在（1,2）上没有零点．f

（2）＝1－ln1＝1，f（3）＝－ln2＝＝，＝2≈2.828>e，所以8>e2，即ln8>2，所以f（3）<0.所以f（x）的零点所在的大致区间是（2,3），故选B.

3．[2019·山东枣庄模拟]函数f（x）＝x－x的零点个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

答案：

B

解析：

在同一直角坐标系中作出函数y＝x与y＝x的图象，如图所示．由图知，两个函数图象只有一个交点，所以函数f（x）的零点只有1个．故选B.

4．[2019·湖北八校联考]有一组试验数据如下所示：

x

2.01

3

4.01

5.1

6.12

y

3

8.01

15

23.8

36.04

则最能体现这组数据关系的函数模型是（　　）

A．y＝2x＋1－1B．y＝x2－1

C．y＝2log2xD．y＝x3

答案：

B

解析：

由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C不正确．取x＝2.01，代入A选项，得y＝2x＋1－1>4，代入B选项，得y＝x2－1≈3，代入D选项，得y＝x3>8；取x＝3，代入A选项，得y＝2x＋1－1＝15，代入B选项，得y＝x2－1＝8，代入D选项，得y＝x3＝27，故选B.

5．[2019·郑州测试]已知函数f（x）＝（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0,1]B．[1，＋∞）

C．（0,1）D．（－∞，1]

答案：

A

解析：

画出函数f（x）的大致图象如图所示．因为函数f（x）在R上有两个零点，所以f（x）在（－∞，0]和（0，＋∞）上各有一个零点．当x≤0时，f（x）有一个零点，需00时，f（x）有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0

6．设函数y＝x2与y＝x－2的图象交点为（x0，y0），则x0所在区间是（　　）

A．（0,1）B．（1,2）

C．（2,3）D．（3,4）

答案：

B

解析：

函数y＝x2与y＝x－2的图象交点为（x0，y0），x0是方程x2＝x－2的解，也是函数f（x）＝x2－x－2的零点．∵函数f（x）单调递增，f

（2）＝22－1＝3>0，f

（1）＝1－2＝－1<0，∴f

（1）·f

（2）<0.由零点存在性定理可知，方程的解在（1,2）内．故选B.

7．[2019·广东华南师大附中模拟]设函数f（x）＝x－lnx（x>0），则y＝f（x）（　　）

A．在区间，（1，e）内均有零点

B．在区间，（1，e）内均无零点

C．在区间内有零点，在区间（1，e）内无零点

D．在区间内无零点，在区间（1，e）内有零点

答案：

D

解析：

由f（x）＝x－lnx（x>0）得f′（x）＝，令f′（x）>0得x>3，令f′（x）<0得0

（1）＝>0，f（e）＝－1<0，f＝＋1>0，所以f（x）在区间内无零点，在区间（1，e）内有零点．故选D.

8．[2019·河南省实验中学模拟]已知函数f（x）＝则函数y＝f（f（x））－1的图象与x轴的交点个数为（　　）

A．3B．2

C．0D．4

答案：

A

解析：

y＝f（f（x））－1＝0，即f（f（x））＝1.

当f（x）≤0时，得f（x）＋1＝1，f（x）＝0.

所以log2x＝0，得x＝1；由x＋1＝0，得x＝－1.

当f（x）>0时，得log2f（x）＝1，

所以f（x）＝2.由x＋1＝2，得x＝1（舍去）；

由log2x＝2，得x＝4.

综上所述，函数y＝f（f（x））－1的图象与x轴的交点个数为3.故选A.

二、非选择题

9．[2019·江苏盐城伍佑中学模拟]已知函数f（x）＝－log2x的零点为x0，若x0∈（k，k＋1），其中k为整数，则k＝________.

答案：

2

解析：

由题意得f（x）在（0，＋∞）上单调递减，f

（1）＝3>0，f

（2）＝－log22＝>0，f（3）＝1－log23<0，

∴f

（2）f（3）<0，∴函数f（x）＝－log2x的零点x0∈（2,3），∴k＝2.

10．[2019·银川模拟]已知f（x）＝x2＋（a2－1）x＋（a－2）的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．

答案：

（－2,1）

解析：

通解　设方程x2＋（a2－1）x＋（a－2）＝0的两根分别为x1，x2（x1

∴x1x2－（x1＋x2）＋1<0，由根与系数的关系，得（a－2）＋（a2－1）＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2

优解　函数f（x）的大致图象如图所示，则f

（1）<0，即1＋（a2－1）＋a－2<0，∴－2

11．某创业团队拟生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）（注：

利润与投资额的单位均为万元）．若该团队已经筹到10万元资金，并打算全部投入到A，B两种产品的生产中，则生产A，B两种产品可获得的最大利润为________万元．

答案：

解析：

由题意可得，生产A产品的利润f（x）＝k1x，生产B产品的利润g（x）＝k2.又f

（1）＝0.25＝k1，g（4）＝2k2＝2.5，k2＝，所以f（x）＝x（x≥0），g（x）＝（x≥0）．设生产A，B两种产品可获得的利润为y万元，B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为（10－x）万元，则y＝f（10－x）＋g（x）＝（10－x）＋（0≤x≤10），令t＝（0≤t≤），则y＝－t2＋t＋＝－2＋（0≤t≤），所以当t＝，即x＝时，生产A，B两种产品可获得最大利润，且最大利润为万元．

12.[2019·四川南充模拟]渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空间率的乘积成正比，比例系数为k（k>0），则鱼群年增长量的最大值是________．

答案：

解析：

由题意，空闲率为1－，

∴y＝kx，定义域为（0，m），

y＝kx＝－2＋，

∵x∈（0，m），k>0，∴当x＝时，ymax＝.

刷题课时增分练⑦综合提能力　课时练　赢高分

一、选择题

1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）

A．y＝log2|x|B．y＝2x－1

C．y＝lnxD．y＝x2＋1

答案：

A

解析：

由于y＝2x－1，y＝lnx是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝log2|x|是偶函数又有零点，故选A.

2．[2019·安徽淮南模拟]如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（　　）

答案：

C

解析：

由三视图可知，该容器上部分为圆台下部分是一个与上部分形状相同的倒放的圆台，所以水面高度随时间的变化为先慢后快再慢的情况．故选C.

3．[2019·福州模拟]已知函数f（x）＝则函数y＝f（x）＋3x的零点个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

答案：

C

解析：

令f（x）＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f（x）＋3x的零点个数是2.故选C.

4．[2019·太原模拟]若函数f（x）＝（m－2）x2＋mx＋（2m＋1）的两个零点分别在区间（－1,0）和区间（1,2）内，则实数m的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

答案：

C

解析：

依题意并结合函数f（x）的图象可知，即

解得

5．[2019·河北邯郸磁县月考]函数f（x）＝－|x|－＋3的零点所在区间为（　　）

A．（0,1）B．（1,2）

C．（2,3）D．（3,4）

答案：

B

解析：

∵f（x）的定义域为[0，＋∞），∴f（x）＝－|x|－＋3＝－x－＋3，则函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减．

∵f

（1）＝1>0，f

（2）＝1－<0，∴函数f（x）＝－|x|－＋3的零点所在区间为（1,2）．故选B.

6．[2019·山东月考]已知函数f（x）＝若方程f（x）－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0,1）B．（0,2）

C．（0,2]D．（0，＋∞）

答案：

A

解析：

由f（x）－a＝0得a＝f（x）．

画出函数y＝f（x）的图象如图所示，且当x≥3时，函数y＝f（x）的图象以直线y＝1为渐近线．

结合图象可得当0

7．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P（万元）和Q（万元），且它们与投入资金x（万元）的关系是：

P＝，Q＝（a>0）．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为（　　）

A.B．5

C.D．2

答案：

A

解析：

设投入x万元经销甲商品，则经销乙商品投入（20－x）万元，总利润y＝P＋Q＝＋·.令y≥5，则＋·≥5对0≤x≤20恒成立．∴a≥10－，∴a≥对0≤x<20恒成立．∵f（x）＝的最大值为，且x＝20时，a≥10－也成立，∴amin＝.故选A.

8．[2019·玉溪模拟]某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p（单位：

毫克/升）不断减少，已知p与时间t（单位：

小时）满足p（t）＝p02

，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln2，则p（60）＝（　　）

A．150毫克/升B．300毫克/升

C．150ln2毫克/升D．300ln2毫克/升

答案：

C

解析：

因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln2，所以－10ln2＝，所以p0＝600ln2，因为p（t）＝p02

，所以p（60）＝600ln2×2－2＝150ln2（毫克/升）．

二、非选择题

9．[2019·贵州黔东南州模拟]已知函数f（x）＝log2x＋2x－m有唯一零点，若它的零点在区间（1,2）内，则实数m的取值范围是____________．

答案：

（2,5）

解析：

因为f（x）在（0，＋∞）上单调递增，函数的零点在区间（1,2）内，所以f

（1）f

（2）<0，即（log21＋21－m）·（log22＋22－m）<0⇒（2－m）（5－m）<0，解得2

10．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx－的零点，则g（x0）等于________．

答案：

2

解析：

∵f

（2）＝ln2－1<0，f（3）＝ln3－>0，∴x0∈（2,3），∴g（x0）＝[x0]＝2.

11．[2019·江苏盐城中学模拟]

我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的AMPN矩形健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10,20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．

（1）试用x表示S，并求S的取值范围；

（2）求总造价T关于面积S的函数T＝f（S）；

（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）?

解析：

（1）在Rt△PMC中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝（30－x），

∴矩形AMPN的面积S＝|PM|·|AM|＝x（30－x），x∈[10,20]，

∴200≤S≤225.

即S的取值范围[200，225]．

（2）矩形AMPN健身场地造价T1＝37k，

又∵△ABC的面积为450，∴草坪造价T2＝（450－S）．

∴总造价T＝T1＋T2＝25k，（200≤S≤225）．

（3）∵＋≥12，

当且仅当＝，即S＝216时等号成立，

此时x（30－x）＝216，解得x＝12或x＝18.

答：

选取|AM|为12米或18米时总造价T最低．