特殊平行四边形证明题.docx
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特殊平行四边形证明题
基础篇
特殊平行四边形之证明题
题型一：
菱形的证明
1、如图，在三角形ABC中，AB>AC,D、E分别是AB.AC上的点，'ADE沿线段DE翻折，使点A落在边3C上，记为A'・若四边形ADAE是菱形，则下列说法正确的是（）
a.DE是△ABC的中位线b.是BC边上的中线
c.A4'是BC边上的高d.AA'是△A3C的角平分线
2.已知：
如图，在口ABCD中，拡是庞边上的臥将AABE沿3C方向平移•使点£与点c重合,得△&&・
（1）求证：
BE=DG；
（2）若ZB=60\F曲与庞满足什么数址关系时.四边形ABFG是菱形？
证明你的结论.
3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合•点D落到D'处,折痕为EF・
（1）求证：
ZkABE仝△AD'F：
（2）连接CF,判断I川边形AECF是什么特殊四边形？
证明你的结论.
4•如图，△磁中.M的垂直平分线坪交曲干点2交M干点QCE//AB交MV于E连结血\CD、
（1）
求证：
AD=CE,
（2）填空：
四边形的形状是
5如图.在中.AB=AC.。
是必的中点.连结肋.在肋的延长线上取一点£连结昭CE.
（1）求证：
\ABE2\ACE
（2）当血与力满足什么数虽关系时，四边形桃V是菱形？
并说明理由.
6如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开.再把△ACD沿C4方向平移得到△ACQ・
（1）证明△A'AD'仝△CVB:
（2）若ZACB=30°,试问X点C'在线段4C上的什么位宜时，四边形ABCD'是菱形，并请说明理由.
7在菱形A3CQ中.对角线AC与BD相交于点O.AB=5,AC=6•点BC的延长线于点E.
（1）求△BDE的周长：
8.如图，在△磁中，ZA.Z万的平分线交于点2DE//AC交牝于点£DF//BC交AC于点F・
（1）点〃是△磁的心：
（2）求证：
四边形加F为菱形.
9、如图，已知：
在四边形ABFC中•ZACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE
⑴试探尤I川边形BECF是什么持殊的四边形；
⑵、"IZA的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形?
请回答并证明你的结论.
（特别提醒:
表示角垠好用数字）
10、如图.矩形ABCD^.O是AC与3D的交点.过O点的直线£F与A8CD的延长线分别交于EF.
（1）求证：
ABOE^ADOF：
（2）liEF与AC满足什么关系时，以4,E,GF为顶点的四边形是菱形？
证明你的结论.
型二：
正方形的证明题
1、I川边形救次2^卍都是正方形，连接月以CG.
（1）求证：
於©:
（2）观察图形.猜想血与©之间的位宜关系，并证明你的猜想
2、把正方形ABCD绕着点A.按顺时针方向旋转得到正方形AEFG.边FG与BC交于点.H（如图）・试问线段HG与线段相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想.
4.如图12,B.C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.
连接BG.DE.
（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系,并证明你的结论.
（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？
若存在，请抬出，并说出旋转过程：
若不存在.请说明理由.
5.如图①，四边形個加是正方形，点G是庞上任总一点，DE丄AG干点E.乃F丄月G于点F・
（1）求证：
DE-BF=EF.
（2）为点G为必边中点时，试探究线段矿与GF之间的数虽关系.并说明理由.
（3）若点G为防延长线上一点.其余条件不变.请你在图②中画出图形.写出此时眩、BF、空之间的数址关系（不需要证明）・
7、已知：
如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E,使CE=CG,连接BG并延长交DE于F・
（1）求证：
ABCG^ADCE：
（2）将ADCE绕点D顺时针旋转90。
得到△DAE',判断四边形E‘BGD是什么特殊四边形？
并说明理由.
9.如图：
已知在AABC中，AB=AC.D为BC边的中点,过点D作皿丄A8DF丄AC.垂足分别为F.
（1）求证：
厶BEDUHCFD：
（2）若ZA=90°,求证：
四边形MAE是正方形.
题型五：
矩形的证明題
1•如图，在△磁中，Q是庞边上的一点.E是肋的中点，过月点作必的平行线交防的延长线于点只且ABD,连结处
（1）求证：
BECD；
（2）如果AB-AC.试判断I川边形朋弘的形状.并证明你的结论。
2•如图，在梯形ABCD中，4£＞〃3C\AB//DE,AF//DC,E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形.
（1）AD与3C有何等址关系？
请说明理由：
小
（2）当AS=DC时，求证：
口ABCD是矩形./K/K
3•如图，四边形月磁是矩形.△磁和△他都是等边三角形•且点尸在矩形上方，点0在矩形内.求证：
（1）ZPBHZPCgL:
（2）PAFPQ.
4•如图，△磁中,A3=AC.AD、川£分别是ZBAC和乙朋C和外角的平分线，BELAE.
（1）求证：
DA^AEx
（2）试判断曲与％是否相等？
并证明你的结论.
氐如图，在厶ABC41.点呢川功上的一个动点，过点"乍直线MX//BC.设血交ZBCA的角平分线于点&交
Z朗的外角平分线于点F.
（1）求证：
E8F0：
（2）十点0运动到何处时，四边形朋阳是矩形？
并证明你的结论.
6、如图.在/\ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交3E的建长线于F,且AF=DC,连接CF.
（1）求证：
D是BC的中点：
（2）如果AB=AC.试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
题型六：
综合证明题
2•如图所示.在RtAABC中，ZABC=90°.将RtAABC绕点C顺时针方向旋转60°得到ADEC,点£在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到AABF.连接AD.
（1）求证：
四边形AFCD是菱形：
（2）连接3E并延长交AD于G,连接CG,请问：
四边形ABCG是什么特殊平行四边形？
为什么？
3.如图，AABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN〃BC、设MTV交ZBC4的平分线于点E,交ZBC4的外角平分线于点F.
（1）探尤：
线段OE与OF的数虽关系并加以证明：
（2）十点O在边ACt运动时.四边形BCFE会是菱形吗？
若是，请证明，若不是，则说明理由：
（3）ui点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时.四边形AECF是正方形？
5x如图15,平行四边形ABCD中，AB丄AC.AB=\.=・对角线AC,BD相交
于点O,将直线AC绕点。
顺时针旋转.分别交BC,AD于点E,F.
（1）证明：
十旋转角为90时，四边形A3EF是平行四边形:
（2）试说明在旋转过程中.线段4F与EC总保持相等：
（3）在旋转过程中，四边形3EDF可能是菱形吗？
如果不能•请说明理由：
如果能，说明埋由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
七曰甘幽提咼篇
选讲四边形证明经典题
1.
在□ABCD中，AC.BD交于点0,过点0作宜线冰GH、分别交平行四边形的四条边于
（1）如图①，试判断四边形岳溜的形状，并说明理由;
图①图②图③图④
（第1题图）
2.已知：
如图，在正方形個力中，点E尸分别在證和CD匕AE二AF.
（1）求证：
BE二DF；
（2）连接M交疔于点Q延长阳至点"，使OJf=0A,连接EM.FM.判断四边形血莎是什么特殊四边形？
并证明你的结论.
3.如图，ZA3M为直角，点C为线段34的中点，点£＞是射线BM上的一个动点（不与点B重合）,连结AD，作BE丄AD，垂足为E,连结CE,过点E作丄CE,交BD于F.
（1）求证：
BF=FD；
（2）厶在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由：
（3）ZA在什么范围内变化时，线段DE上存在点G,满足条件DG=-DA,并说明理
4
由・
（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?
并加以证明.
⑶若⑵中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论.
（第25题图）
5•如图所示，在4遊中，分别以丽、AC.必为边在氏的同侧作等边△ABD、等边AACE.
等边ABCF.
⑴求证：
四边形加F是平行四边形；
仞探究下列问题：
（只填满足的条件，不需证明）
1当4磁满足条件时，四边形224疔是矩形:
2
当4磁满足条件时，四边形/Z4"是菱形:
6•如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,E是AC上一点，过A作AG丄EB于G,AG交BD于点F,则0E=0F,对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG丄EB,交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,苴它条件不变，贝9结论“0E=0F”还成立吗？
如果成立，请给岀证明；如果不成立，说明理由。
afFCGC
7、在四边形ABCD中，E.F、G、H分别是AB.BC、CD.DA上的点，且一=一=—=BEBFDG
ah
—=k（R>0），阅读下列材料，然后回答下面的问题：
HD
如上图,连结BD
..AE_AHFC_GC
•班—而’BF_DG
1连结AC,则EF与GH是否一泄平行，答：
:
2当k值为时，四边形EFGH是平行四边形：
3在②的情形下，对角线AC和BD只需满足条件时，EFGH为矩形;
4
在②的情形下，对角线AC和BD只需满足条件时，EFGH为菱形;
8•如图，E.F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EF〃AC,在DA的延长线上取一点G,使AG=AD,EG与DF相交于点H。
求证：
AH=AD。
分别是OD、OA、BC的中点。
（1）求证：
APQS是等边三角形；
（2）若AB=8,CD=6,求S、pqs的值。
（3）若S“qs:
Smo°=4：
5,求CD：
AB的值。
10.将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行.直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。
探究：
设A、P两点间的距离为X。
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？
试证明你观察得到的结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域：
（3）当点P在线段AC上滑行时，APCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使APCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x值：
如果不可能，请说明理由
（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。
11、如图，四边形ABCD为正方形，DE〃AC,AE=AC,AE与CD相交于F・求证：
CE=CF・
12、如图，四边形ABCD为正方形，DE〃AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F・求证：
AE=AF・
AD
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