高一下数学期末专题练习必修2立体几何.docx

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高一下数学期末专题练习必修2立体几何

图2

侧视图

俯视图

正视图

D

C

B

A

高一下数学期末专题练习（必修二立体几何一

一、

三视图考点透视:

①能想象空间几何体的三视图,并判断（选择题

②通过三视图计算空间几何体的体积或表面积

③解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题

④旋转体（圆柱、圆锥、圆台或其组合体的三视图有两个视图一样。

⑤基本几何体的画法,如:

三棱柱（侧视图1.一空间几何体的三视图如图2所示,该几何体的

体积为123

π+,则正视图中x的值为

A.5

B.4C.3D.2

2.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图、侧视图（又称左视图如右图所示,则其俯视图为c

3.如图,已知一个锥体的正视图（也称主视图,

左视图（也称侧视图和俯视图均为直角三角形,且面积分别为3,4,6,则该锥体的体积是4.

4.如图1-3,某几何体的正视图（主视图是平行四边形,侧视图（左视图和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为

A.B.C.D.

5、已知某几何体的直观图（图1与它的三视图（图2,其中俯视图为正三角形,其它两个视图是矩形.已知D是这个几何体的棱11CA上的中点。

（Ⅰ求出该几何体的体积;

（Ⅱ求证:

直线11//BCABD平面;（Ⅲ求证:

直线11BDAAD⊥平面.

二、直观图

掌握直观图的斜二测画法:

①平行于两坐标轴的平行关系保持不变;

②平行于y轴的长度为原来的一半,x轴不变;

③新坐标轴夹角为45°。

6、如图,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图（斜二测,若A1D1∥O1y1,A1B1∥C1D1,A1B1=2,C1D1=3,A1D1=1,则梯形ABCD的面积是（A.10B.5C.52

D.102

三、表面积和体积

不要求记忆,但要会使用公式。

审题时分清“表面积”和“侧面积”。

（1常见旋转体的面积公式:

正视图左视图

俯视图

AA1B1

（2体积公式

柱体VSh=

锥体13VSh=

台体（

/

13

VSSh=

+球体343

VRπ=球的表面积2

4SRπ=

（3正方体的内切球和外接球设正方体的棱长为a,则内切球半径=

2

a;外接球直径等于正方体的体对角线⇒。

（4扇形的面积公式2

1122

Slrrα==弧长公式lrα=

7、一个直角三角形的两条直角边分别是3和4,以它的斜边为轴旋转所得的旋

转体的表面积为（A

A.845

πB.144

15

πC.36πD.24π

8、若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项,则称此圆锥为“黄金圆锥”。

已知某黄金圆锥的侧面积为π,则这个圆锥的高为________1

9、已知圆台的上下底面半径分别是2,6,且侧面积等于两底面面积之和,则该圆台的母线长是______5_____,体积是____52π_______。

10、如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度:

cm,求此几何体的表面积和体积。

11、将圆心角为0

120,面积为π3的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积。

12、若一个球的体积是,则它的表面积为_________.四、点、线、面的位置关系

13、,ab是异面直线,,bc是异面直线,则,ac的位置关系是（A

.A相交、平行或异面.B相交或平行.C异面.D平行或异面

14、下列四个命题中假命题的个数是（A

①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。

②两条直线没有公共点,则这两条直线平行。

③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。

④//,,//ababαβαβ⊂⊂⇒。

.4A.3B.2C.1D15、阅读以下命题:

①如果ba,是两条直线,且ba//,那么a平行于经过b的所有平面.②如果直线a和平面α满足α//a,那么a与α内的任意直线平行.③如果直线ba,和平面α满足αα//,//ba,那么ba//.④

如果直线ba,和平面α满足αα⊄baba,//,//,那么α//b.

⑤如果平面α⊥平面χ,平面β⊥平面χ,l=βα,那么l⊥平面χ.请将所有正确命题的编号写在横线上4,5.

16.设,mn是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的（

（A若,,//mnmnαβ⊥⊥

则//αβ（B若//,//,//mnαβαβ,则//mn

（C若,//,//mnαβαβ⊥,则mn⊥（D若//,//,//mnmnαβ,则//αβ

+

高一下数学期末专题练习（必修二立体几何二

—————证明、体积、空间角

一、证明平行与垂直问题

二、体积问题

（1对于三棱锥的体积,常用等积法。

例1如图,四棱锥PABCD

-的底面ABCD为菱形,PD⊥平面

ABCD,2,60

PDADBAD

==∠=,E、F分别为BC、

PA的中点。

（I求证:

ED⊥平面PAD;

（Ⅱ求三棱锥PDEF

-的体积;

（Ⅲ求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值。

证明:

（I连结BD,由已知得BD=2,

在正三角形BCD中,BE=EC,

DEBC

∴⊥,又AD//BC,

DEAD

∴⊥„„„„2分

又PD⊥平面ABCD,

PDDE

∴⊥,„„„„3分

ADPDD

=

DE

∴⊥平面PAD。

„„„„4分

（Ⅱ2

111

21

222

PDFPDA

SS

∆∆

=⋅=⨯⨯=

且DE=„„5分

11

1

33

PDEFEPDFPDF

VVSDE

--∆

∴==⋅⋅=⨯=

„„8分

证:

由（I知DE⊥平面,

PADDE⊂平面PDE,

∴平面PAD⊥平面PDE„„„„9

分

又,

BCDEBCPD

⊥⊥

BC

∴⊥平面,

PDE又BC⊂

平面PBC

∴平面PBC⊥平面PDE„„„„

10分

DPE

∴∠就是平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角„„„„

12分

∴在RtPDE

∆

中,PE==

cos

7

DPE

∴∠==„„„„14

分

（2对于四棱锥的体积计算则直接采用公式

1

3

VSh

=

例2如图,正方形ABCD所在平面与三角形CDE所

在平面相交于CD,AE⊥平面CDE,且3

AE=,

6

AB=.

（1求证:

AB⊥平面ADE;

（2求凸多面体ABCDE的体积.

（1证明:

∵AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE,

∴AE⊥CD.

在正方形ABCD中,CDAD

⊥,

∵ADAEA

=

∴CD⊥平面ADE.

∵ABCD

∴AB⊥平面ADE.

故所求凸多面体ABCDE

的体积为

A

D

E

N

M

B1

1

D1

A1

D

C

B

A

N

M

B1

1

D1

A1

D

C

BA

Q

N

M

B1

C1

D1

A1

D

C

B

A

（3不规则几何体的体积,则采用割补法转化为常见几何体。

例

3（2010

广州二模文在长方体1111ABCDABCD-中,

11,2ABBCAA===,

点M是BC的中点,点N是1AA的中点.（1求证:

//MN平面1

ACD;（2过,,NCD三点的平面把长方体1111ABCDABCD-截成两部分几何体,求所截成的两部分几何体的体积的比值.

例3（2010广州二模文

（1证:

设点P为AD的中点,连接,MPNP.

∵点M是BC的中点,∴//MPCD.

∵CD⊂平面1ACD,MP⊄平面1

ACD,∴//MP平面1ACD.„2分∵点N是1AA的中点,∴1//NPAD.∵1AD⊂平面1ACD,NP⊄平面1

ACD,∴//NP平面1

ACD.∵MPNPP=,MP⊂平面MNP,NP⊂平面MNP,

∴平面//MNP平面1ACD.∵

MN⊂平面MNP∴//MN平面1ACD.

（2解:

取1BB的中点Q,连接NQ,CQ,∵点N是1AA的中点,

∴//NQAB.∵//ABCD,∴//NQCD.

∴过,,NCD三点的平面NQCD把长方体1111ABCDABCD-截成两部分几何体,

其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD,另一部分几何体为直四棱

柱1111BQCCANDD-.∴111

11222

QBCSQBBC∆=

=⨯⨯=,∴直三棱柱QBC-NAD的体积11

2

QBCVSAB∆==,

∵长方体1111ABCDABCD-的体积112

V=⨯⨯2=,∴直四棱柱

1111

BQCCANDD-体积

213

2

VVV=-=

.

∴12VV=132

=1

3

.

∴所截成的两部分几何体的体积的比值为1

3

.

三、空间角

（1异面直线所成的角（0,]2

π

θ∈

例4（2011汕头二模理如图,沿等腰直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起（转动一定角度,得到四棱锥ABCDE-,设CD、

BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q,平面ADE⊥平面BCDE。

（1求证:

平面ABC⊥平面ACD;（2求证:

M、N、P、Q四点共面;

R

C

B

A

（3求异面直线BE与MQ所有的角。

例4（2011汕头二模理

（1证明:

由等腰直角三角形ABC有ADDE⊥,CD⊥DE,DE∥BC--------1分

又DCDAD=⋂,⊥∴DE面ACD,----------2分又DE∥BC

∴BC⊥平面ACD,BC⊂平面ABC,----------3分∴平面ABC⊥平面ACD。

----------4分（2由条件有PQ为ADE∆的中位线,MN为梯形BCDE的中位线----------1

分

∴PQ∥DE,MN∥DE----------2分∴PQ∥MN----------3分∴M、N、P、Q四点共面.----------4分（3解:

设AD=1（长度单位,则DC=1,BC=2,延长ED到R,使DR=ED,连结RC---1分

则ER=BC,ER∥BC,故BCRE为平行四边形--2分

∴RC∥

EB,又AC∥QM∴ACR∠为异面直线BE与QM所成的角θ（或θ

------3分

DA=DC=DR,且三线两两互相垂直,

∴由勾股定理得---------4分

∆∴ACR为正三角形,∴ACR∠=

3

π

------5分∴异面直线BE与QM所成的角大小为

3

π

------6分（2二面角[0,]θπ∈

例5（南海摸底如图,四棱锥SABCD-的底面是矩形,SA⊥底面

ABCD,P为BC边的中点,SB与平面ABCD所成的角为45°,

且2,1ADSA==.

（Ⅰ求证:

PD⊥平面SAP;

（Ⅱ求二面角ASDP--的余弦的大小.

（南海摸底解:

（Ⅰ证明:

因为⊥SA底面ABCD,

所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1易求得,AP=PD=2,

又因为AD=2,所以AD2

=AP2

+PD2

所以PDAP⊥.因为SA⊥底面ABCD,⊂PD平面ABCD,所以SA⊥PD,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分由于SA∩AP=A所以⊥PD平面SAP.„„„„„„„6分（Ⅱ设Q为AD的中点,连结PQ,„„„„„„„7分由于SA⊥底面ABCD,且SA⊂平面SAD,则平面SAD⊥平面PAD„„„„„„„8分

PQAD⊥,∴PQ⊥平面SAD,SD⊂平面SAD,∴PQSD⊥.过Q作QRSD⊥,垂足为R,连接PR,则SDPR⊥面Q.又PRPR⊂面Q,SDPR∴⊥,∴∠PRQ是二面角A-SD-P的平

面角.„„„„10分容易证明△DRQ∽△DAS,则

QRDQ

SASD

=.因为11DQSA==,

SD=

所以DQQRSASD=⋅=.„„„„„„„12分在Rt△PRQ中,因为PQ=AB=1,5

2

2

=+=PQQRPR,所以6

6

==

∠PRRQPRQCOS.„„„„„„„13分

所以二面角A-SD-P的余弦为6

6

.„„„„„„„14分

A

D

B

QD

A

P

（3线面角[0,]2

π

θ∈

例6（桂城六校如图,在矩形ABCD中,2AB=,1AD=,E为CD的中点.将ADE∆沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到几何体

DABCE-.

（Ⅰ求证:

BE⊥平面ADE;

（Ⅱ求BD与平面CDE所成角的正弦值.（Ⅲ求几何体CBDE-的体积.（桂城六校

解:

（Ⅰ在图1

中,可得AEBE==,从而2

2

2

AEBEAB+=,故

AEBE⊥,

取AE中点O连结DO,则DOAE⊥,

又面ADE⊥面ABCE,面ADE面ABCEAE=,DO⊂面AED,从而DO⊥平面ABCE,∴DOBE⊥,又AEBE⊥,AEDOO=,∴BC⊥平面ADE.

（Ⅱ建立空间直角坐标系Oxyz-如图所示,----------------------------5分

则（0,0,

2D

（2B-

（2E-

（2

C,

∴

BD=

（DE=

（22

DC=----------------------7分

设向量（,,nxyz=

为平面CDE的一个法向量,则00

nDEnDC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

即0022

xzyz⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩,令1z=,得1x=-,1y=-,即（1,,

1n=--

------9分

∴cos,3nBD<>=

=,---------11分

∵直线BD和平面CDE所成的角θ是向量n和BD

夹角的余角,

∴BD与平面CDE

.（Ⅲ由（Ⅰ知DO⊥平面ABCE,所以DO为三棱锥DBCE-的高,∵111122BCES∆=

⨯⨯=

2

DO=,

∴111332212

CBDEDBCEBCDVVSDO--∆==

⋅⋅=⨯⨯=.作业

1、如图,在四棱锥PABCD-中,底面ABCD是矩形,

PA⊥平面ABCD,2PAAD==,1AB=,BMPD⊥于点M.（1求证:

AM⊥PD;

（2点D到平面ACM的距离;

（3求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值

.

（1证明:

∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PAAB⊥.

∵ABAD⊥,,ADPAAAD=⊂平面PAD,PA⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD

∴ABPD⊥,„„3分

∵BMPD⊥,ABBMB=,AB⊂平面ABM,BM⊂平面ABM,∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM,

∴AM⊥PD.„„6分（2解法1:

由（1知,AMPD⊥,又PAAD=,则M是PD的中点,在

Rt△PAD中,

得AM=

在Rt△CDM中,

得

MC=

∴12ACMSAMMC∆=

⋅=

设

点

D到平面A

CM的

距离为

h

由

DA

CMVV-

-=,„„8分

得111

332

ACMACDShSPA∆∆=

.解

得

h=,„„10分设直线CD与平面ACM所成的角为θ,

则

sinhCDθ==

„„12分

∴cosθ=.

∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值

为.„„14分2、如图,在直角梯形ABCD中,CDAB//,ADAB⊥,且

12

1

==

=CDADAB.现以AD为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面

ADEF与平面ABCD互相垂直,如图2.

（1求证:

平面⊥BDE平面BEC;

（2求平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的大小.

（1因为平面⊥ADEF平面ABCD,且平面ADEF平面ADABCD=,又在正方形ADEF中,ADED⊥,

所以,⊥ED平面ABCD.„„„„„„2分而⊂BC平面ABCD,

所以,BCED⊥.„„„„„„3分

F

E

D

B

A

A

B

D

F

E图1

图2

在直角梯形ABCD中,2=CD,222=+=

ADABBD,

2（22=+-=ADABCDBC,

所以,2

2

2

CDBCBD=+,

所以,BDBC⊥.„„„„„„4分又ED,⊂BD平面BDE,DBDED=,所以,⊥BC平面BDE.„„„„„„6分而⊂BC平面BEC,

所以,平面⊥BDE平面BEC.„„„„„7分

（2因为ADEF//,⊄EF平面ABCD,⊂AD平面ABCD,

所以,//EF平面ABCD.因为平面EFB与平面ABCD有公共点B,

所以可设平面EFB平面BGABCD=,CDG∈.

因为//EF平面ABCD,⊂EF平面EFB,平面EFB平面BGABCD=,

所以BGEF//.从而,ADBG//,

又DGAB//,且1=AB,2=CD,所以G为CD中点,ABGD也为正方形.„„12分

易知⊥BG平面ECD,所以EGBG⊥,DGBG⊥.

所以,EGD∠是平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的平面角,而︒=∠45EGD,

所以平面ABCD与平面EFB所成锐二面角为︒45.

3.四棱锥ABCDE-中,底面

BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,

2BC=,CDABAC=.

（Ⅰ证明:

ADCE⊥;

（Ⅱ设CE与平面ABE所成的角为45,求二面角CADE--的大小.

4.如图,在三棱锥PABC-中,2ACBC==,90ACB∠=,

APBPAB==,PCAC⊥.（Ⅰ求证:

PCAB⊥;

（Ⅱ求二面角BAPC--的大小;

5.如图,在四棱锥OABCD-中,底面ABCD四边长为1的菱形,

∠OAABCD⊥底面,2OA=,M为OA的中点,N为BC的中点

（Ⅰ证明:

直线MNOCD

平面‖;

（Ⅱ求异面直线AB与MD所成角的大小;

6.如图,在直三棱柱111ABCABC-中,平面ABC⊥侧面11AABB.

D

E

（Ⅰ求证:

ABBC⊥;

（Ⅱ若直线AC与平面1ABC所成的角为θ,二面角1ABCA--的大小为ϕ,试判断θ与ϕ的大小关系,并予以证明.

7、如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD

底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

（Ⅰ求证:

PO⊥平面ABCD;

（Ⅱ求异面直线PD与CD所成角的大小;

（Ⅲ线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD

在,求出

AQ

QD

的值;若不存在,请说明理由