人教版七年级数学下册讲义中等班52 平行线及其判定.docx

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人教版七年级数学下册讲义中等班52平行线及其判定

第五章相交线与平行线

5.2平行线及其判定

1．平行线的定义和画法

（1）平行线的定义：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做__________，记作a∥b，读作a平行于b．

（2）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：

相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．

（3）平行线定义满足三个条件：

一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可．

（4）平行线的画法

一落：

把三角尺一边落在已知直线上；

二靠：

用直尺紧靠三角尺的另一边；

三推：

沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；

四画：

沿三角尺过已知点的边画直线．

【注意】在作图中必须确保直尺定好位置后不再变动位置；三角尺移动时，要始终保持一边紧靠直尺．

2．平行线的基本事实及其推论

（1）平行线的基本事实（平行公理）：

经过直线__________一点，有且只有__________条直线与这条直线平行．

（2）推论：

如果两条直线都与第三条直线__________，那么这两条直线也互相平行．

3．平行线的判定

（1）判定方法1

两条直线被第三条直线所截，如果同位角__________，那么这两条直线平行.简单说成：

__________.

（2）判定方法2

两条直线被第三条直线所截，如果内错角__________，那么这两条直线平行.简单说成：

__________.

（3）判定方法3

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角__________，那么这两条直线平行.简单说成：

__________.

归纳：

判定平行线的思路：

（1）定：

确定已知条件是位置关系还是数量关系；

（2）选：

若已知条件是位置关系，则用平行公理的推论证明；若已知条件是数量关系，则选用平行线的3个判定方法证明；

（3）证：

根据所选证明方法写出证明过程．

拓展：

在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，即a⊥b，a⊥c，则b∥c．

K知识参考答案：

1．

（1）平行线

2．

（1）外；一

（2）平行

3．

（1）相等；同位角相等，两直线平行

（2）相等；内错角相等，两直线平行（3）互补；同旁内角互补，两直线平行

K—重点

平行线的基本事实及其推论，平行线的判定方法

K—难点

平行线的判定的应用

K—易错

对平行公理理解不透彻，不能准确识别截线和被截线，从而误判两直线平行

一、平行线的基本事实及其推论的应用

强调“经过直线外一点”，而非直线上的点；“有且只有”强调直线的存在性和唯一性．

【例1】如图，已知A，B，C三点及直线EF，过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是__________．

【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

【解析】∵AB∥EF，BC∥EF，∴A、B，C三点在同一条直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行），故答案为：

过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

二、平行线的判定方法的综合应用

判定两直线平行的一般思路是先看题中存在同位角、内错角、同旁内角中的哪一类角，然后说明同位角或内错角相等，或说明同旁内角互补，从而得出两直线平行．

【例2】如图，下列条件不能判定直线a∥b的是

A．∠1=∠3B．∠2=∠4

C．∠2=∠3D．∠2+∠3=180°

【答案】C

【解析】A、∵∠1=∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；

B、∵∠2=∠4，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；

C、∠2=∠3与a，b的位置无关，不能判定直线a∥b；

D、∵∠2+∠3=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．

故选C．

【例3】如图，∠EFB=∠GHD=53°，∠IGA=127°，由这些条件，能找到__________对平行线．

【答案】2

【解析】∵∠GHD=53°，∴∠GHC=127°，

∵∠IGA=127°，∴∠GHC=∠IGA，∠IGB=53°，∴AB∥CD，

∵∠EFB=53°，∴∠IGB=∠EFB，∴IH∥EF．

故答案为：

2．

【点评】本题考查了平行线的判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．

【例4】如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1=50°，∠2=130°，则直线a，b的位置关系是__________．

【答案】a∥b

【解析】因为∠2=130°，所以∠3=50°，因为∠1=50°，所以a∥b，故答案为：

a∥b．

【例5】已知：

如图，∠A=∠ADE，∠C=∠E．

（1）若∠EDC=3∠C，求∠C的度数；

（2）求证：

BE∥CD．

【解析】

（1）∵∠A=∠ADE，

∴AC∥DE，∴∠EDC+∠C=180°，

又∵∠EDC=3∠C，∴4∠C=180°，

即∠C=45°；

（2）∵AC∥DE，∴∠E=∠ABE，

又∵∠C=∠E，∴∠C=∠ABE，∴BE∥CD．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：

两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．

三、平行线的判定的实际应用

解决几何证明或计算问题时，通常把已知的数量关系标注在图形上，并结合图形中的位置关系及相关的性质确定解法，这种“数形结合”的方法在解决几何问题时具有非常重要的作用．

【例6】如图是一块四边形木板和一把曲尺（直角尺），把曲尺一边紧靠木板边缘PQ，画直线AB，与PQ，MN分别交于点A，B；再把曲尺的一边紧靠木板的边缘MN，移动使曲尺另一边过点B画直线，若所画直线与BA重合，则这块木板的对边MN与PQ是平行的，其理论依据是__________．

【答案】内错角相等，两条直线平行

【解析】∵∠ABM=90°，∠BAQ=90°，

∴∠MBA=∠QAB，

∴MN∥PQ（内错角相等，两条直线平行），

故答案为：

内错角相等，两条直线平行．

【点评】本题考查了平行线的判定；熟记内错角相等，两直线平行是解决问题的关键．

1．下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是

A．

B．

C．

D．

2．同一个平面内，若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是

A．平行B．垂直

C．相交D．以上都不对

3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1=55°，下列条件能推出a∥b的是

A．∠3=55°B．∠2=55°

C．∠4=55°D．∠5=55°

4．如图为平面上五条直线L1，L2，L3，L4，L5相交的情形，根据图中标示的角度，判断下列叙述何者正确

A．L1和L3平行，L2和L3平行B．L1和L3平行，L2和L3不平行

C．L1和L3不平行，L2和L3平行D．L1和L3不平行，L2和L3不平行

5．如图，要使AB∥CD∥EF，则需∠BAC＋∠ACE＋∠CEF等于

A．360°B．270°C．200°D．180°

6．如图是一个风车，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD与地面MN__________（填“平行”或“不平行”），理由是__________．

7．如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是__________，理由是__________．

8．如图，已知∠1=50°，∠2=130°，且BD∥CE，AC与DF平行吗？

为什么？

9．如图，

，

，

．问

吗？

为什么？

10．如图，MN、EF分别表示两面镜子，一束光线AB照到镜面MN上，反射光线为BC；光线BC经过镜面EF反射后的反射光线为CD，此时有∠1=∠2=∠3=∠4．试判断AB与CD的位置关系，你是如何思考的？

11．如图，AB∥CD，直线EF交AB、CD于点G、H．如果GM平分∠BGF，HN平分∠CHE，那么，GM与HN平行吗？

为什么？

12．某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是

A．第一次左拐30°，第二次右拐30°

B．第一次右拐50°，第二次左拐130°

C．第一次右拐50°，第二次右拐130°

D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°

13．学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．

观察图

（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；

③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．

A．①②B．②③

C．③④D．①④

14．（2018郴州）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b

A．∠2=∠4B．∠1+∠4=180°

C．∠5=∠4D．∠1=∠3

15．（2018湘潭）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）

1．【答案】B

【解析】A、∠1、∠2是同旁内角，由∠1=∠2不能判定AB∥CD；

B、∠1、∠2是内错角，由∠1=∠2能判定AB∥CD；

C、∠1、∠2是内错角，由∠1=∠2能判定AD∥BC，不能判定AB∥CD；

D、∠1、∠2是同旁内角，由∠1=∠2不能判定AB∥CD；

故选B．

2．【答案】A

【解析】如图，∵a⊥b，c⊥b，∴∠1=∠2=90°，∴a∥c，故选A.

【点睛】本题考查了垂直的定义以及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解此题的关键.

3．【答案】A

【解析】∵∠1=55°，∠3=55°，∴∠1=∠3，∴a∥b，故选A．

【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．

4．【答案】C

【解析】∵

，∴L1和L3不平行，∵

，∴L2和L3平行，故选C．

5．【答案】A

【解析】当∠BAC＋∠ACD=180°时，AB∥CD；当∠DCE＋∠CEF=180°时，CD∥EF，而∠ACD＋∠DCE=∠ACE，所以当∠BAC＋∠ACD＋∠DCE＋∠CEF=360°，即∠BAC＋∠ACE＋∠CEF=360°时，AB∥CD∥EF，故选A．

6．【答案】不平行；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【解析】AB与CD有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得CD不能同时与地面MN平行．

故答案为：

不平行；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

【点睛】考查的是平行线的判定与性质，熟知平行公理是解答此题的关键．

7．【答案】EF∥CD；平行于同一直线的两直线互相平行.

【解析】平行线的性质：

平行于同一条直线的两直线互相平行，AB∥CD，EF∥AB，则EF与CD的位

置关系是EF∥CD.

故答案为：

EF∥CD；平行于同一直线的两直线互相平行

【点睛】此题重点考查学生对平行线的性质的理解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

9．【解析】平行，理由如下：

∵∠ACD=360°–90°–136°=134°，∠BAC=180°–46°=134°，

∴∠ACD=∠BAC，

∴

（内错角相等，两直线平行）．

【点睛】本题考查平行线的判定，垂线的定义，周角、补角的定义，比较简单．

10．【解析】因为∠ABC=180°–∠1–∠2，∠BCD=180°–∠3–∠4，

又因∠1=∠2=∠3=∠4，所以∠ABC=∠BCD，所以AB∥CD．

【点睛】本题考查平行线的判定与性质．本题利用了“两直线平行，内错角相等”的性质，“内错角相等，两直线平行”的判定定理．

11．【解析】GM∥HN，理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠BGH=∠CHG，

∵GM平分∠BGF，HN平分∠CHE，

∴∠NHG=

∠CHG，∠MGH=

∠BGH，

∴∠NHG=∠MGH，

∴GM∥HN．

12．【答案】A

【解析】如图所示（实线为行驶路线）：

A符合“同位角相等，两直线平行”的判定，其余均不符合平行线的判定．故选A．

【点睛】本题考查平行线的判定，熟记定理是解决问题的关键．

【点睛】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理．

14．【解析】由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；

由∠1=∠3，不能得到a∥b；故选D．

【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：

同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．

15．【解析】若∠A+∠ABC=180°，则BC∥AD；

若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；

若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；

若∠C=∠CDE，则BC∥AD；

故答案为：

∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）

【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．