届高考数学北师大版第八章 立体几何与空间向量 第3讲 空间图形的基本关系与公理3 Word版含答案.docx
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届高考数学北师大版第八章立体几何与空间向量第3讲空间图形的基本关系与公理3Word版含答案
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§8.3 空间图形的基本关系与公理
最新考纲
考情考向分析
1.理解空间直线、平面位置关系的定义．
2.了解可以作为推理依据的公理和定理．
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.
1．四个公理
公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
（2）异面直线所成的角
①定义：
设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫作异面直线a与b所成的角（或夹角）．
②范围：
.
3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
知识拓展
1．唯一性定理
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
（3）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.（ √ ）
（2）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．（ × ）
（3）两个平面ABC与DBC相交于线段BC.（ × ）
（4）经过两条相交直线，有且只有一个平面．（ √ ）
（5）没有公共点的两条直线是异面直线．（ × ）
（6）若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线．（ × ）
题组二 教材改编
2．如图所示，已知M，N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，则MN与CD1所成的角为________．
答案 60°
解析 连接AD1，AC，因为M，N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，所以AD1∥MN，故∠AD1C为MN与CD1所成的角或其补角，由于AC＝AD1＝D1C，故∠AD1C＝60°，则MN与CD1所成的角为60°.
3.如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
（1）当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
（2）当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
答案
（1）AC＝BD
（2）AC＝BD且AC⊥BD
解析
（1）∵四边形EFGH为菱形，
∴EF＝EH，故AC＝BD.
（2）∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF綊
AC，EH綊
BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.
题组三 易错自纠
4．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则（ ）
A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
答案 B
解析 A项，设过点P的直线为n，若n与l，m都平行，则l，m平行，与l，m异面矛盾，A错；
B项，l，m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有1条，B对；
C项，如图所示，在正方体ABCD—A′B′C′D′中，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，显然无法作出直线与两直线都相交，C错；
D项，若P在P2点，则直线CC′及D′P2均与l，m异面，D错．
5．下列命题正确的有________．（填序号）
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l与平面α平行；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．
答案 ①⑤
解析 ①正确；
②错误，直线l与平面α相交时，仍有无数个点不在平面α内；
③错误，直线l与平面α内过该交点的直线不是异面直线；
④错误，另一条直线可能在该平面内；⑤正确．
6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．
答案 3
解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．
题型一 平面基本性质的应用
典例如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．
证明
（1）如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
（2）∵EF∥CD1，EF∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示．
则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
思维升华共面、共线、共点问题的证明
（1）证明点或线共面问题的两种方法：
①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
（2）证明点共线问题的两种方法：
①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
（3）证明线共点问题的常用方法是：
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
跟踪训练已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，求证：
（1）D，B，F，E四点共面；
（2）若A1C交平面BDEF于R点，则P，Q，R三点共线．
证明
（1）如图．∵EF是△D1B1C1的中位线，
∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中，B1D1∥BD，
∴EF∥BD.
∴EF，DB确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面．
（2）在正方体AC1中，设A1
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