八上培优2等腰直角三角形与全等三角形.docx

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八上培优2等腰直角三角形与全等三角形

八年级上学期培优辅导2

等腰直角三角形与全等三角形

1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，连接CF，则下列结论，

①BF=AC；

②∠FCD=45°；

③若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长；

④若∠FBD=30°，BF=2，则AF=

﹣1．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB=（　　）

A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°

　3．如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与AD相交于点G，DF⊥AB于F，交BE于H．下列结论：

①AD=BD；②CE=BH；③AE=

BG；④CD+AG=BD．其中正确的序号是　　．

4．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，AC=4，D，E分别是AB，AC的中点．若Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到Rt△AD1E1，如图2，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．

（1）求证：

BD=CE；

（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE12的长；

（3）连接PA，则△PAB面积的最大值为　　．（直接填写结果）

5．如图，E为菱形ABCD的边CD上任意点，将CE绕点E旋转一定角度后与AD平行．

（1）如图，若CE旋转后得到PE和NE，试判断下列结论是否成立？

①BD平分AN，　　；

②BD⊥AP，　　（填写“成立”或“不成立”）；

（2）证明

（1）中你的判断．

（3）若∠ABC=60°，AB=BM=

+1，请直接写出CE的长度．

6．已知：

如图，两个直角三角形△ABC和△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，AB=BC，BE=EF，连接AF，点M为AF的中点，连ME．

（1）如图1，当F在BC边上时，求证：

CF=2ME；

（2）如图2，将△BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度，当F在△ABC内部时，上述结论是否仍然成立？

为什么？

（3）如图3，将△BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度．当F在△ABC外部时，过B作BH⊥ME于H，EH=2，BH=4，ME=5，求四边形CFEB的面积．

7．已知，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

（1）如图①，若CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论．

（2）如图②，若点D在线段BC延长线上，∠EDB=

∠ACB，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明你的结论．

8．如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，AD=AC，BE垂直于直线CD于点E．

（1）求∠BCD的度数；

（2）求证：

CD=2BE；

（3）若点O是AB的中点，请直接写出BC、BD、CO三条线段之间的数量关系．

9．已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N分别在直线AC、BC上，∠MON=∠A=45°

（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：

CN+MN=AM；

（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）．

10．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN．

（1）求证：

CM+CN=

BD；

（2）如图2，若M，N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系．

11．如图1，在等腰三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M、N在斜边上，且∠MCN=45°．

（1）将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP（如图2）．

①试说明∠PCM=∠NCM的理由；

②求证：

MN2=AM2+BN2；

（2）如图3，若原题中点N仍在线段AB上，而点M在BA的延长线上时，试判断AM、BN、MN之间的数量关系并说明理由．

12．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P为AC上一点，M为BC上一点．

（1）若AM⊥BP于点E．

①如图1，BP为△ABC的角平分线，求证：

PA=PM；

②如图2，BP为△ABC的中线，求证：

BP=AM+MP．

（2）如图3，若点N在AB上，AN=CP，AM⊥PN，求

的值．

等腰直角三角形与全等三角形

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，连接CF，则下列结论，

①BF=AC；

②∠FCD=45°；

③若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长；

④若∠FBD=30°，BF=2，则AF=

﹣1．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】想办法证明△ADC≌△BDF即可一一判断；

【解答】解：

∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，

∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，

而∠ADB=∠ADC=90°，

∴△BDF≌△ADC，

∴BF=AC，故①正确，

∴FD=CD，

∴∠FCD=∠CFD=45°，故②正确；

若BF=2EC，根据①得BF=AC，

∴AC=2EC，

即E为AC的中点，

∴BE为线段AC的垂直平分线，

∴AF=CF，BA=BC，

∴AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD，

即△FDC周长等于AB的长，故③正确．

∵∠FBD=30°，BF=2，

∴DF=1，BD=AD=

，

∴AF=

﹣1，故④正确，

故选：

D．

【点评】此题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．

2．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB=（　　）

A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°

【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE=FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB=105°．

【解答】解：

如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接BH交AD于E，连接FH，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，

∴AC=BC，∠DAC=30°，

∴AC=CH，

∵∠BCH=90°，∠ACB=60°，

∴∠ACH=90°﹣60°=30°，

∴∠DAC=∠ACH=30°，

∵AE=CF，

∴△AEC≌△CFH，

∴CE=FH，BF+CE=BF+FH，

∴当F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，

此时∠FBC=45°，∠FCB=60°，

∴∠AFB=105°，

故选：

B．

【点评】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF+CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．

二．填空题（共1小题）

3．如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与AD相交于点G，DF⊥AB于F，交BE于H．下列结论：

①AD=BD；②CE=BH；③AE=

BG；④CD+AG=BD．其中正确的序号是　①③④　．

【分析】依据∠ABD=∠BAD，可得AD=BD，进而得出△ADC≌△BDG，以及△ABE≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系，即可得到正确结论．

【解答】解：

∵∠ABC=45°，AD⊥BC

∴∠BAD=45°，

∴∠ABD=∠BAD，

∴AD=BD，故①正确；

∵AD⊥BC，DF⊥AB

∴∠DBG+∠C=90°=∠CAD+∠C，

∴∠CAD=∠GBD，

又∵AD=BD，∠ADC=∠BDG，

∴△ADC≌△BDG（ASA），

∴AC=BG，CD=GD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

又∵∠BEA=∠BEC=90°，BE=BE，

∴△ABE≌△CBE（ASA），

∴AE=CE=

AC=

BG，故③正确；

又∵BH＞

BG，

∴BH＞CE，故②错误；

∵DG+AG=AD，AD=BD，CD=GD，

∴CD+AG=BD，故④正确；

故答案为：

①③④．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，仔细分析图形并熟练掌握各性质是解题的关键．

三．解答题（共9小题）

4．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，AC=4，D，E分别是AB，AC的中点．若Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到Rt△AD1E1，如图2，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．

（1）求证：

BD=CE；

（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE12的长；

（3）连接PA，则△PAB面积的最大值为　2+2

　．（直接填写结果）

【分析】

（1）首先证明AC=AB，总感觉中点的性质即可证明EC=BD．

（2）延长BA交D1E1于F，如图2中，设AC交BD1于K．只要证明△ABD1≌△ACE1，即可推出∠CPD1=90°，推出∠CAD1=45°，推出∠BAD1=135°可得∠D1AF=45°=∠AD1E1，再利用勾股定理即可解决问题；

（3）作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，由D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上推出当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，由此即可解决问题；

【解答】解：

（1）如图1中，

∵∠A=90°，∠B=45°，

∴∠B=∠C=45°，

∴AC=AB，

∵EC=

AC，BD=

AB，

∴EC=DB．

（2）延长BA交D1E1于F，如图2中，设AC交BD1于K．

在△ABD1和△ACE1中

，

∴△ABD1≌△ACE1

∴∠ABD1=∠ACE1，CE1=BD1

∵∠ABK+∠AKB=90°，∵∠AKB=∠CKP，

∴∠ACP+∠CKP=90°

∴∠CPD1=90°

∴∠CAD1=45°，

∴∠BAD1=135°

∴∠D1AF=45°=∠AD1E1，

在Rt△AD1E1中，AD1=AE1=2，

∴AF=D1F=

D1E1=

=

；

∵∠AFD1=90°，

∴CE12=BD12=BF2+FD12=20+8

．

（3）如图

作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，

∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，

当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，

此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，

则BD1=

=2

，

∴∠ABP=30°，

∴PB=2+2

，

∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：

PG=1+

．

∴△PAB的面积最大值为

AB×PG=2+2

，

故答案为2+2

．

【点评】此题是几何变换综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．

5．如图，E为菱形ABCD的边CD上任意点，将CE绕点E旋转一定角度后与AD平行．

（1）如图，若CE旋转后得到PE和NE，试判断下列结论是否成立？

①BD平分AN，　成立　；

②BD⊥AP，　成立　（填写“成立”或“不成立”）；

（2）证明

（1）中你的判断．

（3）若∠ABC=60°，AB=BM=

+1，请直接写出CE的长度．

【分析】

（1）根据题意、结合图形进行猜测；

（2）连接AC、PC、CN，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明∠ECP=∠DCA，得到A、P、C三点共线，根据菱形的性质证明即可；

（3）根据菱形的性质和余弦的定义求出BH，得到HM，根据三角形中位线定理求出CN，根据余弦的定义求出PN，根据直角三角形的性质解答即可．

【解答】解：

（1）①BD平分AN，成立；

②BD⊥AP，成立，

故答案为：

①成立；②成立；

（2）连接AC、PC、CN，

∵EP=EC，

∴∠ECP=∠EPC，

∴∠ECP=

=90°﹣

∠PEC，

同理，∠DCA=90°﹣

∠ADC，

∵PN∥AD，

∴∠PEC=∠ADC，

∴∠ECP=∠DCA，

∴A、P、C三点共线，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，

∵CE=PE=EN，

∴∠PCN=90°，

∴CN∥BD，又AH=HC，

∴AM=MN，即BD平分AN；

（3）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD=

∠ABC=30°，

∴BH=AB×cos30°=

，

∴HM=BM﹣BH=

+1﹣

=

，

∵AH=HC，AM=MN，

∴CN=2HM=

﹣1，

∴PN=

=

，

∴CE=

PN=

．

【点评】本题考查的是菱形的性质、锐角三角函数的定义的应用，掌握菱形的四条边相等、每条对角线平分一组对角、锐角三角函数的定义是解题的关键．

6．已知：

如图，两个直角三角形△ABC和△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，AB=BC，BE=EF，连接AF，点M为AF的中点，连ME．

（1）如图1，当F在BC边上时，求证：

CF=2ME；

（2）如图2，将△BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度，当F在△ABC内部时，上述结论是否仍然成立？

为什么？

（3）如图3，将△BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度．当F在△ABC外部时，过B作BH⊥ME于H，EH=2，BH=4，ME=5，求四边形CFEB的面积．

【分析】

（1）延长EF交AB于D，如图1，则可判断△BED和△BEF为全等的等腰直角三角形，先证明ME为△FAD的中位线得到AD=2ME，再利用等腰直角三角形的性质和等量代换得到AD=CF，于是有CF=2ME；

（2）延长FE到点G，使EG=EF，如图2，连结AG、BG，先证明ME为△FAG的中位线得到AG=2ME，然后证明△ABG≌△CBF得到AG=CF，所以CF=2ME；

（3）先判断出BH⊥ME，再根据三垂直模型，得△BHE≌△EQF（AAS），进而求出QH=2，即可得出结论、

【解答】证明：

（1）如图1，延长FE交AB于G

∵△EBF为等腰直角三角形

∴∠BEF=∠BEG=90°，∠FBE=∠GBE=45°

在△FBE和△GBE中

∴△FBE≌△GBE（ASA）

∴EF=EG

又M为AF的中点

∴ME=

AG

∵BF=BG，AB=CB

∴CF=AG

∴CF=2ME

（2）CF=2ME，

理由：

如图2，

延长FE至G，且使EG=FE，连接BG，AG；

∵△BEF为等腰直角三角形

∴△BFG为等腰直角三角形，

∴∠CBF=∠ABG，

在△BCF和△BAG中，

∴△BCF≌△BAG（SAS）

∴CF=AG

∵M、E分别为AF、FG的中点

∴CF=2ME

（3）如图3，

延长FE至G，且使EG=FE，连接BG，AG；

同

（2）的方法得，△BCF≌△BAG（SAS），

∴∠BCF=∠BAF，

∵∠BAC+∠BCA=90°，

∴∠CAG+∠ACF=90°，

∴CF⊥AG，

∵点M是AF的中点，

∴AM=FM，

∵EF=EG，

∴CF⊥ME，

∴∠EQF=90°，

∵BH⊥ME，

∴∠BHE=∠EQF=90°，

∴∠BEH+∠EBH=90°，

∵∠BEH+∠FEQ=90°，

∴∠EBH=∠FEQ，

∵BE=FE，

根据三垂直模型，得△BHE≌△EQF（AAS）

∴BH=QE=4，MQ=5﹣4=1

∵EH=2

∴QH=4﹣2=2

∵CF=2ME

∴CF=10

∴S四边形CFEB=S梯形BHQC+2S△BEH=20．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解

（1）的关键是判断出EF=EG，解

（2）的关键是判断出△BCF≌△BAG，解（3）的关键是判断出△BHE≌△EQF（AAS）．

7．已知，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

（1）如图①，若CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论．

（2）如图②，若点D在线段BC延长线上，∠EDB=

∠ACB，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明你的结论．

【分析】

（1）如图1，证明△ABM≌△ACD，得CD=BM，再证明△MEC≌△BEC，得BE=EM，则BE=

CD；

（2）如图2，根据

（1）作辅助线，证明DE∥QC，利用

（1）的结论即可．

【解答】解：

（1）如图1，BE=

CD，理由是：

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BEC=∠BAC，

∵∠EDB=∠ADC，

∴∠ABM=∠ACD，

∵AB=AC，∠BAM=∠BAC=90°，

∴△ABM≌△ACD，

∴CD=BM，

∵∠MCE=∠BCE，EC=EC，∠BEC=∠MEC=90°，

∴△MEC≌△BEC，

∴BE=EM，

∴BE=

BM=

CD；

（2）如图2，BE=

DF，理由是：

作∠ACB的平分线，交BE于Q，交AB于M，

由

（1）得：

BQ=

MC，

∵∠BDE=

∠ACB，∠BCM=

∠ACB，

∴∠BDE=∠BCM，

∴CQ∥DE，

∴

，

，

∴

，

∴

，

∴BE=

DF．

【点评】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定，在证明线段的和、差及倍数关系时，如果这些线段不在同一直线上，可以利用证明三角形全等，将线段转化到同一直线上，再证明其数量关系．

8．如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，AD=AC，BE垂直于直线CD于点E．

（1）求∠BCD的度数；

（2）求证：

CD=2BE；

（3）若点O是AB的中点，请直接写出BC、BD、CO三条线段之间的数量关系．

【分析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠A=45°，利用等腰三角形进行解答即可；

（2）作AH⊥CD于H，根据全等三角形的判定和性质解答即可；

（3）过D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形的性质证得Rt△COD≌Rt△CHD，得出CH=CO，进一步利用性质求得BC=CH+BH=CO+

BD即可．

【解答】解：

（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，

∴∠A=∠CBA=45°，

∵AD=AC，

∴∠ACD=67.5°，

∴∠BCD=90°﹣∠ACD=22.5°；

（2）作AH⊥CD于H，如图：

∵BE⊥直线CD于E，AC=AD，

∴CD=2CH，∠BEC=∠AHC=90°，

∵∠BCE+∠DCA=∠HAC+∠DCA=90°，

∴∠BCE=∠CAH，

在△CBE与△ACH中，

，

∴△CBE≌△ACH（AAS），

∴CH=BE，

即CD=2CH=2BE；

（3）如图，

过D作DH⊥BC于点H，

由

（1）可知∠BCD=22.5°，

∵O是AB的中点，

∴∠BCO=45°，

∴∠DCO=∠HCD=22.5°，

∴DO=DH，

在Rt△COD和Rt△CHD中，

，

∴Rt△COD≌Rt△CHD，

∴CH=CO，

∴∠DBH=45°，∠DHB=90°，

∴BH=

BD，

∴BC=CH+BH=CO+

BD．

【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用等腰三角形的角度与边之间的关系是解决问题的关键．

9．已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N分别在直线AC、BC上，∠MON=∠A=45°

（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：

CN+MN=AM；

（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）．

【分析】

（1）连接CO，在线段AM上截取AQ=CN，连接OQ，由O为CA、CB的垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到OA=OB=OC，又AC=BC得到∠A=∠B=45°，再根据三线合一的性质得到CO与AB垂直且CO为顶角的平分线，由∠A和∠B求出∠ACB为直角，得到∠OCB也为45°，利用SAS得到三角形AOQ与三角形CON全等，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得到OQ=ON，∠AOQ=∠CON，等量代换得到∠QON为直角，又∠MON为45°，所以∠QOM也为45°，得两角相等，然后由OQ=ON，求出的两角相等，OM为公共边，利用SAS得到三角形OQM与三角形MON全等，根据全等三角形的对应边相等得到QM=MN，由AM=AQ+QM，等量代换即可得证；

（2）在CA的延长线上截取AQ=CN，同

（1）利用两次全等即可得到QM=MN，由QM=AQ+AM，等量代换得证．

【解答】解：

（1）连接OC，在AM上截取AQ=CN，连接OQ，

∵O为CA、CB的垂直平分线的交点，

∴OC=OA=OB，

∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，

∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，

∴∠OCN=45°，即∠OCN=∠A=45°，

在△AOQ和△CON中，

，

∴△AOQ≌△CON（SAS），

∴OQ=ON，∠AOQ=∠CON，

∵OC⊥AB，

∴∠AOC=∠AOQ+∠COQ=90°，

∴∠CON+∠COQ=90°，即∠QON=90°，

又∠MON=45°，

∴∠QOM=45°，

在△QOM和△NOM中，

∴△QOM≌△NOM（SAS），

∴QM=NM，

则AM=AQ+QM=CN+MN；

（2）MN=AM+CN．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段的和、差、倍、分问题通常情况下先在较长的线段上截取一段与其中一条线段相等，然后构造全等三角形证明剩下的线段与另一条线段相等，本题的突破点是截取出AQ=CN，构造全等三角形，证明QM=NM．

10．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN．

（1）求证：

CM+CN=

BD；

（2）如图2，若M，N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系．

【分析】

（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得到∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，再利用等角的余角相等得到∠CDM=∠BDN，然后根据“ASA”可判断△CMD≌△BDN，则CM=BN；

（2）根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得到∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，求出