等比数列学案.docx
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等比数列学案
等比数列学案
第3课时 等比数列的前n项和
知能目标解读
掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.
掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况.
能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.
重点难点点拨
重点：
掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.
难点：
研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.
学习方法指导
等比数列的前n项和公式
设等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为
na1
Sn=.
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论.
等比数列{an}中，当已知a1,q，n时，用公式Sn=，当已知a1,q，an时，用公式Sn=.
等比数列前n项和公式的推导
除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.
合比定理法
由等比数列的定义知：
==…==q.
当q≠1时，=q,即=q.
故Sn==.
当q=1时，Sn=na1.
拆项法
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q=a1+qSn-1=a1+q
当q≠1时，Sn==.
当q=1时，Sn=na1.
利用关系式Sn-Sn-1=an
∵当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q=a1+qSn-1
∴Sn=a1+q
即Sn=a1
当q≠1时，有Sn=,
当q=1时，Sn=na1.
注意：
错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.
错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{an•bn}的前n项和.
等比数列前n项和公式的应用
衡量等比数列的量共有五个：
a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.
公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1的讨论.
等比数列前n项和公式与函数的关系
当公比q≠1时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.
当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数.
当q≠1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.
知能自主梳理
等比数列前n项和公式
等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn==;当q=1时，Sn=.
推导等比数列前n项和公式的方法是.
公式特点
若数列{an}的前n项和Sn=p，且q≠0,q≠1，则数列{an}为
在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知 求.
［答案］ 1.
na1 错位相减法
等比数列 三 二
思路方法技巧
命题方向 等比数列前n项和公式的应用
［例1］ 设数列｛an｝是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.
［分析］ 应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.
［解析］ 当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；
当q≠1时，=3a1q2,
因为a1≠0,所以1－q3=3q2,
q3-3q2+1=0,2=0,
解得q=-.
综上所述，公比q的值是1或－.
［说明］ 在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.
等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论.
等比数列前n项和公式中，当q≠1时，若已知a1,q,n利用Sn=来求；若已知a1,an,q,利用Sn=来求.
变式应用1 在等比数列{an}中,已知S3=,S6=,求an.
［解析］ ∵S6=,S3=,
∴S6≠2S3，∴q≠1.
=
①
∴
=
②
②÷①得 1+q3=9,∴q=2.
将q=2代入①，得a1=,
∴an=a1qn-1=2n-2.
命题方向 等比数列前n项的性质
［例2］ 在等比数列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
［分析］ 利用等比数列前n项的性质求解.
［解析］ ∵{an}为等比数列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，
∴2=Sn
∴S3n=+S2n=+60=63.
［说明］ 等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.
变式应用2 等比数列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.
［解析］ 解法一：
∵{an}为等比数列，∴S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，
∴2=7×，解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2>0,
∴S4=28.
解法二：
∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
=7①
∴
=91②
得q4+q2-12=0,∴q2=3,
∴q=±.
当q=时，a1=,
∴S4==28.
当q=-时，a1=-,
∴S4==28.
探索延拓创新
命题方向 等比数列前n项和在实际问题中的应用
［例3］ 某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.
分别写出年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；
写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式；
为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?
［解析］ 年年底本利和为a+a•25%=1.25a,
第二年年底本利和为+×25%=1.252a-1.25x,
第三年年底本利和为+25%=1.253a-x.
第n年年底本利和为
bn=1.25na-x.
依题意，有
5×1.2520-x=4×395,
∴x=
=.
①
设1.2520=t,∴lgt=20lg=20=2.
∴t=100,代入①解得x=96.
变式应用3 某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10％，按复利计算.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？
［解析］ 第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行
XX0－x=XX0×1.1－x,
第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行［XX0-x］-x
=XX0×1.12-1.1x-x,
…
第10次还款x元后，还欠银行XX0×1.110－1.19x-1.18x-…-x,
依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得
XX0×1.110－x=0,
解得x=≈3255.
名师辨误做答
［例4］ 求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n项和.
［误解］ 所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+…+a
=.
［辨析］ 所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论.
［正解］ 由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,…中依次取出1项，2项，3项，4项，……的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前项.所以Sn=1+a+a2+…+a.①当a=0时，Sn=1.②当a=1时，Sn=.③当a≠0且a≠1时，Sn=.
课堂巩固训练
一、选择题
等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=
A.2B.4c.D.
［答案］ c
［解析］ 由题意得==.故选c.
等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为
A.-2B.1c.-2或1D.2或-1
［答案］ c
［解析］ 由题意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,
∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.
等比数列{2n}的前n项和Sn=
A.2n-1B.2n-2c.2n+1-1D.2n+1-2
［答案］ D
［解析］ 等比数列｛2n｝的首项为2，公比为2.
∴Sn===2n+1-2,故选D.
二、填空题
若数列{an}满足：
a1=1,an+1=2an，则a5=;前8项的和S8=.
［答案］ 16 255
［解析］ 考查等比数列的通项公式和前n项和公式.
q==2,a5=a1•q4=16,
S8==28-1=255.
在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.
［答案］ 3
［解析］ ∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,
两式相减，得a3-a4=-2a3,
∴a4=3a3,∴q=3.
三、解答题
在等比数列{an}中，已知a6-a4=24，a3•a5=64，求数列{an}的前8项和.
［解析］ 解法一：
设数列{an}的公比为q，根据通项公式an=a1qn-1，由已知条件得
a6-a4=a1q3=24,①
a3•a5=2=64,②
∴a1q3=±8.
将a1q3=-8代入①式，得q2=-2,没有实数q满足此式，故舍去.
将a1q3=8代入①式，得q2=4,∴q=±2.
当q=2时，得a1=1,所以S8==255;
当q=-2时，得a1=-1，所以S8==85.
解法二：
因为{an}是等比数列，所以依题意得
a24=a3•a5=64,
∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.
因为{an}是实数列，所以＞0,
故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，从而a5=±=±16.
公比q的值为q==±2,
当q=2时，a1=1,a9=a6q3=256,
∴S8==255;
当q=-2时，a1=-1，a9=a6q3=-256,
∴S8==85.
课后强化作业
一、选择题
等比数列{an}中，a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为
A.81B.120c.168D.192
［答案］ B
［解析］ 公式q3===27,q=3,a1==3,
S4==120.
已知等比数列的前n项和Sn=4n+a，则a=
A.-4B.-1c.0D.1
［答案］ B
［解析］ 设等比数列为｛an｝，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,
a3=S3-S2=48,∴a22=a1•a3,
即144=×48，∴a=-1.
已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于
A.31B.33c.35D.37
［答案］ B
［解析］ 解法一：
S5＝==1
∴a1=
∴S10===33,故选B.
解法二：
∵a1+a2+a3+a4+a5=1
∴a6+a7+a8+a9+a10=•q5=1×25＝32
∴S10＝a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.
已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为
A.514B.513c.512D.510
［答案］ D
a1+a1q3=18
［解析］ 由已知得，
a1q+a1q2=12
解得q=2或.
∵q为整数，∴q=2.∴a1=2.
∴S8==29-2=510.
设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1,S3=7，则S5=
A.B.c.D.
［答案］ B
［解析］ 设公比为q,则q>0,且a23=1,
即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,
即6q2-q-1=0,
∴q=或q=-，
∴a1==4.
∴S5==8=.
在等比数列｛an｝中，若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为
A.2－B.2－c.2－D.2－
［答案］ B
［解析］ ∵a1=1,a4=,
∴q3==,∴q=.
∴S10==2［1-10］=2-,故选B.
已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比q等于
A.2 B.-2 c. D.-
［答案］ A
S3==3,
①
［解析］
S6==27,
②
得=9,解得q3=8.
∴q=2,故选A.
正项等比数列｛an｝满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列｛bn｝的前10项和是
A.65B.-65c.25D.-25
［答案］ D
［解析］ ∵{an}为正项等比数列，a2a4=1,
∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.
又∵S3==13,a3=a1q2,
解得q=.
∴an=a3qn-3=n-3=33-n,
∴bn=log3an=3-n.
∴b1=2,b10=-7.
∴S10==＝－25.
二、填空题
等比数列，-1，3，…的前10项和为.
［答案］ -
［解析］ S10==-.
0.在等比数列｛an｝中，若a1=,a4=4,则公比q=;a1+a2+…+an=.
［答案］ 2,2n-1-
［解析］ 本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n项和公式可解得.
=q3==8，所以q=2，所以a1+a2+……+an==2n-1-.
n-1
1.已知数列{an}中，an=，则a9=.
n-1
设数列{an}的前n项和为Sn，则S9=.
［答案］ 256 377
［解析］ a9=28=256，
S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
在等比数列{an}中，已知对于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,则a21+a22+…+a2n=.
［答案］ ×4n-
［解析］ ∵a1+a2+…+an=2n-1,
∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1,
两式相减，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,
∴a2n=2=22n-2=4n-1,
∴a21+a22+…+a2n==×4n-.
三、解答题
3.在等比数列{an}中，已知a3=1，S3=4，求a1与q.
S3==4
［解析］ 若q≠1,则，
a3=a1q2=1
从而解得q=1或q=-.
q=-
∵q≠1,∴.
a1=6
S3=3a1=4q=1
若q=1,则，∴.
a3=a1=1a1=1
q=-q=1
综上所述得，或.
a1=6a1=1
设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
［分析］ 设出公比根据条件列出关于a1与q的方程.求得a1与q可求得数列的通项公式和前n项和公式.
［解析］ 设{an}的公比为q，由已知有：
a1q=6a1=3a1=2
解得或
a1+a1q2=30q=2q=3
当a1=3,q=2时，
an=a1•qn-1=3×2n-1
Sn===3×
当a1=2,q=3时，an=a1•qn-1=2×3n-1
Sn===3n-1.
综上，an=3×2n-1,Sn=3×或an=2×3n-1,Sn=3n-1.
已知实数列｛an｝是等比数列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.
求数列｛an｝的通项公式；
数列｛an｝的前n项和记为Sn,证明：
SnT10,故王明选择了A公司
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