等比数列.docx

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等比数列

等比数列

【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn（p∈R，n∈N*），那么数列{an}．

[]

A．是等比数列

B．当p≠0时是等比数列

C．当p≠0，p≠1时是等比数列

D．不是等比数列

分析由Sn＝pn（n∈N*），有a1=S1＝p，并且当n≥2时，

an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝（p－1）pn-1

但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D．

说明数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0（n∈N*），还要注

【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q

∴2＝1·q2n+1

x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n

式；

（2）已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

∴a4＝2

【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求

证明设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1

【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：

（b－c）2＋（c－a）2＋（d－b）2＝（a－d）2．

证法一∵a、b、c、d成等比数列

∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc

∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2

=2（b2－ac）＋2（c2－bd）＋（a2－2bc＋d2）

＝a2－2ad＋d2

＝（a－d）2＝右边

证毕．

证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：

b＝aq，c＝aq2，d=aq3

∴左边＝（aq－aq2）2＋（aq2－a）2＋（aq3－aq）2

＝a2－2a2q3＋a2q6

=（a－aq3）2

＝（a－d）2=右边

证毕．

说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．

【例6】求数列的通项公式：

（1）{an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2

（2）{an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0

思路：

转化为等比数列．

∴{an＋1}是等比数列

∴an＋1=3·3n-1∴an=3n－1

∴{an+1－an}是等比数列，即

an+1－an=（a2－a1）·2n-1=3·2n-1

再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，an－an-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到

说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．

（1）中发现{an＋1}是等比数列，

（2）中发现{an+1－an}是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．

证∵a1、a2、a3、a4均为不为零的实数

∴上述方程的判别式Δ≥0，即

又∵a1、a2、a3为实数

因而a1、a2、a3成等比数列

∴a4即为等比数列a1、a2、a3的公比．

【例8】若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．

解设a、b、c分别为b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d与b－d、b、b＋d＋2都成等比数列，有

整理，得

∴b＋d=2b－2d即b=3d

代入①，得

9d2=（3d－d＋1）（3d＋d）

9d2=（2d＋1）·4d

解之，得d=4或d=0（舍）

∴b=12

【例9】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：

（1）求a1与d的值；

（2）b16是不是{an}中的项？

思路：

运用通项公式列方程

（2）∵b16=b1·d15=－32b1

∴b16=－32b1=－32a1，如果b16是{an}中的第k项，则

－32a1=a1＋（k－1）d

∴（k－1）d=－33a1=33d

∴k=34即b16是{an}中的第34项．

解设等差数列{an}的公差为d，则an=a1＋（n－1）d

解这个方程组，得

∴a1=－1，d=2或a1=3，d=－2

∴当a1=－1，d=2时，an=a1＋（n－1）d=2n－3

当a1=3，d=2时，an=a1＋（n－1）d=5－2n

【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．

解法一按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2

由已知：

a，aq＋4，aq2成等差数列

即：

2（aq＋4）=a＋aq2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

a，aq＋4，aq2＋32成等比数列

即：

（aq＋4）2=a（aq2＋32）

解法二按等差数列设三个数，设原数列为b－d，b－4，b＋d

由已知：

三个数成等比数列

即：

（b－4）2=（b－d）（b＋d）

b－d，b，b＋d＋32成等比数列

即b2=（b－d）（b＋d＋32）

解法三任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3

由已知：

a1，a2，a3成等比数列

a1，a2＋4，a3成等差数列

得：

2（a2＋4）=a1＋a3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

a1，a2＋4，a3＋32成等比数列

得：

（a2＋4）2=a1（a3＋32）　　　　　　　　　　　　　　　　③

说明将三个成等差数列的数设为a－d，a，a＋d；将三个成

简化计算过程的作用．

【例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

分析本题有三种设未知数的方法

方法一设前三个数为a－d，a，a＋d，则第四个数由已知条

方法二设后三个数为b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2b－bq．

方法三设第一个数与第二个数分别为x，y，则第三、第四个数依次为12－y，16－x．

由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，

所求四个数为：

0，4，8，16或15，9，3，1．

解法二设后三个数为：

b，bq，bq2，则第一个数为：

2b－bq

所求四个数为：

0，4，8，16或15，9，3，1．

解法三设四个数依次为x，y，12－y，16－x．

这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．

【例13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．

解设成等差数列的三个数为b－d，b，b＋d，由已知，b－d＋b＋b＋d=126

∴b=42

这三个数可写成42－d，42，42＋d．

再设另三个数为a，aq，aq2．由题设，得

解这个方程组，得

a1=17或a2=68

当a=17时，q=2，d=－26

从而得到：

成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．

【例14】已知在数列{an}中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：

a1、a3、a5成等比数列．

证明由已知，有

2a2=a1＋a3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

即a3（a3＋a5）=a5（a1＋a3）

所以a1、a3、a5成等比数列．

【例15】已知（b－c）logmx＋（c－a）logmy＋（a－b）logmz=0．

（1）设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：

x，y，z成等比数列．

（2）设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：

a，b，c成等差数列．

证明

（1）∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0

∴b－c=a－b=－d，c－a=2d

代入已知条件，得：

－d（logmx－2logmy＋logmz）=0

∴logmx＋logmz=2logmy

∴y2=xz

∵x，y，z均为正数

∴x，y，z成等比数列

（2）∵x，y，z成等比数列且公比q≠1

∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：

（b－c）logmx＋（c－a）logmxq＋（a－b）logmxq2=0

变形、整理得：

（c＋a－2b）logmq=0

∵q≠1∴logmq≠0

∴c＋a－2b=0即2b=a＋c

即a，b，c成等差数列