不等式.docx
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不等式
第二讲方程与不等式——一次方程（组）及应用
（1）
一、考点扫描
1、方程的有关概念：
含有未知数的等式叫做方程．使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解（只含有—个未知数的方程的解，也叫做根）．
2、一次方程（组）的解法和应用：
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的方程，叫做一元一次方程．解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1．
3、方程组的有关概念：
含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程．两个二元—次方程合在一起就组成了一个—。
元一次方程组．二元一次方程组可化为
（a，b，m、n不全为零）的形式。
使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解．
4、一次方程组的解法和应用：
解二元（三元）一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法．
二、考点训练
1、若代数式3a4b2x与0.2a4b3x-1能合并成一项，则x的值是（）
A．
B．1C．
D．0
2、方程组
的解是
，则a+b=____。
3、已知方程
是二元一次方程，则mn=_____。
4、已知关于x,y的方程组
的解满足2x-3y=9，则m的值是____.
5、把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有_____种换法．
6、“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题，“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？
”解决此问题，设鸡为x只，兔为y只，所列方程组正确的是（）
三、例题剖析
1、解方程：
x
2、某酒店客房部有三人间，双人间客房，收费数据如下表：
普通（元/间/天）
豪华（元/间/天）
三人间
150
300
双人间
140
400
为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？
3、某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，最多降低多少元，商店老板才能出售？
4、某体育彩票经售商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A，B，C三种不同价格的彩费，进价分别是A种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元．
（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；
（2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票20扎，请你设计进票方案．
第二讲方程与不等式——分式方程及应用
（2）
一、考点扫描
1．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：
解分式方程的关键是大分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题：
⑴增根的产生：
分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根；⑵验根：
因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．
4．分式方程的应用：
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题．
二、考点训练
1、把分式方程
的两边同时乘以（x-2）,约去分母，得（）
A．1-（1-x）=1B．1+（1-x）=1C．1-（1-x）=x-2D．1+（1-x）=x-2
2、正在修建的西塔（西宁～塔尔寺）高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队单独完成，甲工程队比乙工程队少用10天；若甲、乙两队合作，12天可以完成．若没甲单独完成这项工程需要x天．则根据题意，可列方程为_________。
3、满足分式方程
的x值是（）A．2B．－2C．1D．0
4、若方程
有增根，则增根为_____，a=_____.
5、如果
，则A=____，B＝_____.
6、当k为（）时，
互为相反数。
A．
B.
C.
D.
三、例题剖析
1、若关于x的方程
无实数解，则m的值为________.
练习：
（1）、若关于x的方程
有实数根，求m的取值范围。
（2）、若关于x的方程
无实数根，求m的取值范围。
2、当m为何值时，关于x的方程
的解是正值？
四、综合应用
1、甲、乙两地相距200千米，一艘轮船从甲地逆流航行至乙地，然后又从乙地返回甲地，已知水流的速度为4千米／时，回来时所用的时间是去时的
，求轮船在静水中的速度．
2、某车间要加工170个零件，在加工完90个以后改进了操作方法，每天多加工10个，一共用5天完成了任务．求改进操作方法后每天加工的零件个数．
3、先阅读下列一段文字，然后解答问题：
已知：
方程
方程
方程
方程
问题：
观察上述方程及其解，再猜想出方程：
x－10=10
的解，并写出检验．
第二讲方程与不等式——一元二次方程及应用（3）
一、考点扫描
1．一元二次方程：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：
ax2＋bx+c=0（a≠0）
2．一元二次方程的解法：
⑴配方法：
用配方法解一元二次方程：
ax2＋bx+c=0（k≠0）的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为（x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．
⑵公式法：
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是
（b2－4ac≥0）
⑶因式分解法：
因式分解法的步骤是：
①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：
①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．
⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2（x＋4）2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）
⑷注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：
开平方法→因式分解法→公式法．
4．构建一元二次方程数学模型：
一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．
5．注意解法的选择与验根：
在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．
二、考点训练
1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
2、已知方程5x2+kx－10=0一个根是－5，则它的另一个根为______．
3、关于x的一元二次方程
，则m的值为（）
A．m=3或m=－1B．m=－3或m=1C．m=－1D．m=－3
4、方程
解是（）A．x=1B．x1=0，x2=－3
C．x1=1，x2=3D．x1=1，x2=－3
5、若t是一元二次方程ax2＋bx+c=0（a≠0）的根，则判别式Δ=b2－4ac和完全平方式M=（2a+b）2的关系是（）A．Δ=MB．Δ＞M
C．Δ＜MD．大小关系不能确定
6、已知x1、x2是方程x2－3x＋1＝0的两根，则
的值是（）
A、3B、－3C、
D、1
7、用换元法解方程（x2－x）－
＝6时，设
＝y，那么原方程可化为（）A.y2＋y－6＝0B.y2＋y＋6＝0C.y2－y－6＝0D.y2－y＋6＝0
8、已知关于x的方程
有两个不相等的实根，那么m的最大整数是（）A．2B．－1C．0D．l
三、例题剖析
1、等腰△ABC中，BC=8，AB、BC的长是关于x的方程x2－10x+m=0的两根，则m的值是________.
2、两个数的和为6，差为8，以这两个数为根的一元二次方程是________
3、关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0的两个根同号，则a的取值范围是_____
4、某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
5、某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2．8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价比第一次高0．5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本，当这批书售出
时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书．试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）.若赔钱，赔多少？
若赚钱，赚多少？
四、综合应用
1、钟老师出示了小黑板上的题目（如图1－2－2）后，小敏回答：
“方程有一根为1”，小聪回答：
“方程有一根为2”．则你认为（）
A．只有小敏回答正确B．只有小聪回答正确
C．小敏小聪回答都正确D．小敏A聪回答都不正确
2、如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形
对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方
形的顶点处，则长方形的长为______厘米．
3、阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．已知：
m是关于x的方程mx2－2x＋m＝0的一个根，求m的值．
解：
把x=m代人原方程，化简得m3=m，两边同时除以m，得m2=1，所以m=l，把m=l代入原方程检验可知：
m=1符合题意，答：
m的值是1．
第二讲方程与不等式——一元一次不等式（组）及应用（4）
一、考点扫描
1．一元一次不等式及不等式组的概念.
2．不等式的基本性质：
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
4．不等式的解集：
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．一元一次不等式组的解集：
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
5．求不等式（组）解集的过程叫做解不等式．
6．一元一次不等式的解法．解一元一次不等式的步骤：
①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1（不等号的改变问题）
7、一元一次不等式组的解．
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解。
8．求不等式（组）的正整数解，整数解等特解，可先求出这个不等式的解集，再从中找出所需特解．
9、列不等式解应用题的一般步骤：
列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：
①设未知数；②找不等关系；③列不等式（组）④解不等式（组）⑤检验，其中检验是正确求解的必要环节．
二、考点训练
1、关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示，则a的取值是（）
A.0B.－3C.－2D.－1
2、若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）
3、设A、B、C表表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图1－1－2所示，那么“A”、“B”、“C”这三种物体按质量从大到小的顺序排应为（）
（A）、ABC（B）、CBA（C）、BAC（D）、BCA
4、已知关于x的不等式（1－a）x＞3的解集为x<
，则a的取值范围是（）
A．a＞0B．a＞1C．a＜0D．a＜1
5、已知关于x的方程3x－（2a－3）=5x+（3a+6）的解是负数，则a的取值范围是______.
6、使不等式x－5＞4x—l成立的值中的最大的整数是（）
A．2B．－1C．－2D．0
7、把不等式组
的解集表示在数轴上，正确的是图l－l－6中的（）
8、若不等式组的
解集为x＞2，则a的取得范围是（）
A.a＜2B.a≤2C.a＞2D.a≥2
三、例题剖析
1、如果关于x的不等式（2a－b）x+a－5b＞0的解为x＜
，求关于x的不等式ax＞b的解集．
2、若不等式组
有5个整数解，则a的取范围是_______
3、若不等式组
的解集是5＜x＜22时，a=____,b=_____.
4、方程组
中，若未知数x、y满足x＋y>0，求m的取值范围。
四、综合应用
1、班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，送给结对的山区学校的同学．他们去了商场，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元．
（1）若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？
（2）若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案．
2、商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10％，但每日耗电量却为0．55度．现将A型冰箱打折出售时一折后的售价为原价的
，问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0．40元计算）．
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