高三数学不等式的性质教案14Word文件下载.docx
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（2）传递性:
（3）可加性:
移项法则:
推论：
同向不等式可加
（4）可乘性:
推论1：
同向（正）可乘:
（综合法）
推论2：
可乘方（正）:
（）可开方（正）:
（反证法）
不等式的性质有五个定理,三个推论,一个比较原理,是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条和结论，学会对不等式进行条的放宽和加强
三、双基题目练练手
1（2006春上海）若，则下列不等式成立的是（）
A&
nt;
BD
2（2004北京）已知a、b、满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（）
A．B．．D．
3对于实数，下命题正确的是（）
A若a&
b,则B若,则
若,则D若a&
b&
0,d&
&
0,则
4（2004春北京）已知三个不等式：
ab＞0，b－ad＞0，－＞0（其中a、b、、d均为实数），用其中两个不等式作为条，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是
A0B12D3
（2004辽宁）对于，给出下列四个不等式
①②
③④
其中成立的是_________
6a＞b＞0，＞0，n＞0，则，，，的由大到小的顺序是____________
练习简答:
1-4D;
②与④;
6特殊值法,答案：
＞＞＞
四、经典例题做一做
【例1】已知a&
2，&
b≤2a，＝b-2a，
求的取值范围．
解：
∵b≤2a
∴=b-2a≤0,
∴b-4&
-2a=．
∴的取值范围是：
&
≤0．
【例2】设f（x）=ax2+bx,且1≤f（－1）≤2,2≤f
（1）≤4,求f（－2）的取值范围
解：
由已知1≤a－b≤2,①,2≤a+b≤4②
若将f（－2）=4a－2b用a－b与a+b,表示，则问题得解
设4a－2b=（a－b）+n（a+b）,（,n为待定系数）
即4a－2b=（+n）a－（－n）b,
于是得得：
=3,n=1
由①×
3+②×
1得≤4a-2b≤10
即≤f（－2）≤10,
另法：
由得
∴f（－2）=4a－2b=3f（－1）+f
（1）……
◆特别提醒:
常见错解:
由①②解出a和b的范围,再凑出4a－2b的范围错误的原因是a和b不同时接近端点值,可借且于线性规划知识解释
【例3】
（1）设A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，当x∈R+，n∈N时，比较A与B的大小
（2）设0＜x＜1，a＞0且a≠，试比较|lg3a（1－x）3|与|lg3a（1+x）3|的大小
解:
（1）A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）
=x－n（x2n+1－x2n－1－x）
=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］
=x－n（x－1）（x2n－1－1）
由x∈R+，x－n＞0，得
当x≥1时，x－1≥0，x2n－1－1≥0；
当x＜1时，x－1＜0，x2n－1＜0，即
x－1与x2n－1－1同号∴A－B≥0∴A≥B
（2）∵0＜x＜1，所以
①当3a＞1，即a＞时，
|lg3a（1－x）3|－|lg3a（1+x）3|
=|3lg3a（1－x）|－|3lg3a（1+x）|
=3［－lg3a（1－x）－lg3a（1+x）］
=－3lg3a（1－x2）
∵0＜1－x2＜1，∴－3lg3a（1－x2）＞0
②当0＜3a＜1，即0＜a＜时，
=3［lg3a（1－x）+lg3a（1+x）］
=3lg3a（1－x2）＞0
综上所述，|lg3a（1－x）3|＞|lg3a（1+x）3|
◆提炼方法：
（1）作差分解因式、配方或利用单调性,分类判断差式的符号
【例4】已知函数，，试比较与的大小．
解作差—
=
当时，得
=。
（2）当时，,所以
①当时，
得
②当时，得
③当时，得
综上所述：
当或时
当且时
。
【研讨欣赏】已知a&
，a+b+=0方程ax2+bx+=0的两个实根为x1，x2
（1）证明：
－；
（2）若x12+x1x2+x22=1，求x12－x1x2+x22
（1）a&
，a+b+=0,
∴
且a&
0，
∴1&
（2）（方法1）a+b+=0
∴ax2+bx+=0有一根为1，
不妨设x1=1,则由x12+x1x2+x22=1可得x2（x2+1）=0，
而x2=x1x2=&
0（3&
a+b+=0），∴x2=－1
∴x12－x1x2+x22=3
（方法2）x1+x2=－，x1x2=
由x12+x1x2+x22=（x1+x2）2－x1x2==1，
∴
∴x12－x1x2+x22=x12+x1x2+x22－2x1x2=1－2x1x2=1+
五．提炼总结以为师
1熟练掌握准确运用不等式的性质。
2比较两数大小，一般用作差法。
步骤：
作差---变形（分解因式或配方）---判断符号
3对于含参问题的大小比较要注意分类讨论
同步练习61不等式的性质
【选择题】
1（2006浙江）“”是“”的（）
A充分而不必要条B必要而不充分条
充分必要条 D既不允分也不必要条
2．（2006江西）若,则不等式等价于（）
AB
D
3（2004湖北）若，则下列不等式①；
②③；
④中，正确的不等式有（）
A．1个B．2个．3个D．4个
4“不等式a3+b3+3≥3ab”成立的充要条是（）
Aa+b+≥0Ba+b+≥0,3ab≥0
0,b&
0,&
0Da≥0,b≥0,≥0
【填空题】
已知a＞2，b＞2，则a+b与ab的大小关系是__________
6已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，=，D=则A、B、、D按从小到大的顺序排列起是____________
简答提示：
1-4ADBA;
4a3+b3+3-3ab=（a+b）3+3-3a2b-3ab2-3ab
=（a+b+）[（a+b）2-（a+b）+2]-3ab（a+b+）
=（a+b+）[（a+b）2+（a+）2+（b+）2]≥0,&
=&
a+b+≥0
∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1＞0∴ab＞a+b
6取特殊值a=－，计算可得A=，B=，=，D=
∴D＜B＜A＜
【解答题】
7设实数a,b,满足①b+＝6-4a+3a2,②-b＝4-4a+a2，试确定a,b,的大小关系
∵-b＝（a-2）2≥0，∴≥b,又2b＝2+2a2，∴b＝1+a2,∴b-a＝a2-a+1＝（a-）2+&
0,∴b&
a，从而≥b&
a
8已知函数f（x）=x3+x证明:
（1）f（x）是增函数;
（2）若a,b,∈R,且,a+b&
0,b+&
0,+a&
0,则f（a）+f（b）+f（）&
证明:
（1）设x1&
x2
f（x1）-f（x2）=x13+x1-x23-x2
=（x1-x2）（x12+x1x2+x22+1）①
当x1,x2同号时,①=（x1-x2）[（x1-x2）2+3x1x2+1）]&
当x1,x2异号时,①=（x1-x2）[（x1+x2）2-x1x2+1）]&
综上有f（x1）&
f（x2）,故f（x）是增函数
（2）∵f（-x）=-f（x）,∴f（x）是奇函数又a+b&
0即a&
-b
∴f（a）&
f（-b）=－f（b）,即f（a）+f（b）&
同理,f（b）+f（）&
0,f（a）+f（）&
三式相加得2[f（a）+f（b）+f（）]&
0,所以f（a）+f（b）+f（）&
0成立
9在等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中，a1＝b1&
0，a3＝b3&
0，a1≠a3试比较下面两组数的大小
（1）a2与b2
（2）
（2）a与b
设an＝a1+（n-1）d,bn＝a1qn-1，依题意a1+2d＝a1q2,∴d＝a1q2-a1,
∴
（1）a2-b2＝a1+d-a1q＝a1-a1q+a１q2-a１＝aq2-a1q+１＝a（q-1）2，
∵a1≠a3，∴a1≠a1+2d，即d≠0,q≠1,
∴a2-b2＝a１（q-1）2&
0,∴a2&
b2
（2）a-b＝a1+4d-a1q4＝a1-a1q4+2a1q2-2a1＝-a1q4+2a1q2-a1＝-a1（q2-1）2&
0,∴a&
b
101+lgx3与2lgx2（x＞0且x≠1）的大小
（1+lgx3）－2lgx2=lgx
当或
即0＜x＜1或x＞时，
有lgx＞0，1+lgx3＞2lgx2
当①或②时，lgx＜0
解①得无解，解②得1＜x＜，
即当1＜x＜时，有lgx＜0，
1+lgx3＜2lgx2
当x=1，即x=时，有lgx=0
∴1+lgx3=2lgx2
综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1+lgx3＞2lgx2；
当1＜x＜时，1+lgx3＜2lgx2；
当x=时，1+lgx3=2lgx2
【探索题】x、是正实数,记
A（x,）=,B（x,）=
（1）证明:
A（x,）≤B（x,）
（2）是否存在常数,使得A（x,）≤≤B（x,）恒成立?
证明你的结论
（1）B（x,）－A（x,）=∴A（x,）≤B（x,）
（2）鉴于二式中关于x,的轮换对称性,令x=,得A（x,）=B（x,）=
下证A（x,）≤≤B（x,）
同理
所以,存在正常数=,使A（x,）≤≤B（x,）成立
（2）法2:
（放缩法）
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