中考专题复习--平行四边形辅助线(培优训练)Word文档下载推荐.docx

中考专题复习--平行四边形辅助线(培优训练)Word文档下载推荐.docx

《中考专题复习--平行四边形辅助线(培优训练)Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考专题复习--平行四边形辅助线(培优训练)Word文档下载推荐.docx（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

具有平行四边形的一切性质，四个角都是直角；

对角线相等。

判定：

有一个角是直角的平行四边形是矩形；

对角线相等的平行四边形是矩形；

有三个角是直角的四边形是矩形。

（6）直角三角形：

斜边的中线等于斜边的一半。

（7）菱形：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

具有平行四边形的一切性质；

四条边都相等；

两条对角线互相垂直；

并且每一条对角线平分一组对角。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

四边相等的四边形是菱形。

（8）正方形：

四条边都相等，四个角都是直角，即是菱形又是矩形，即具有菱形的性质又具有矩形的性质。

平行四边形相关的辅助线

（一）

一、本节概述

本节重点讲解与平行四边形相关的辅助线，即通过构造平行四边形改变线段和角的位置，从而使条件结合更紧密，达到解题的目的，同时构造平行四边形也是线段平移的过程，因此平行四边形与平移变换紧密相关。

二、典例精析

知识点一：

平行四边形相关辅助线

【例1】如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AB+AD=BC+CD,求证：

四边形ABCD是平行四边形。

思路分析：

由AB+AD=BC+CD知，可构造和为AB+AD与BC+CD的线段。

构造AB+AD。

证明：

延长DA至M，使AM=AB

构造BC+CD。

延长BC至点N,使CN=CD.

方法总结：

利用平行四边形改变线段和角的位置，达到解题的目的，此方法可以理解为图形变换中的“平移变换”

【例2】如图，在中，

题目中线段的位置无法比较大小，需要构造辅助线，可通过平移改变线段的位置。

由平行四边形的定义。

构造全等三角形转化边的关系

作角平分线构造出全等三角形。

知识点2：

平行四边形面积相关性质

【例3】如图：

点E是平行四边形ABCD内一点，求证：

求面积关系，可根据面积公式表示出三角形和四边形的面积，因为已经有底了，故需作出它们的高。

本题是与平行四边形面积相关的一个典型题目，注意利用面积公式和平行四边形性质即可。

三、成果检测：

1.已知：

如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE=CF.

求证：

四边形BEDF是平行四边形。

2.如图,在▱ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是___.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

①∠DCF=∠BCD;

②EF=CF;

③；

④∠DFE=3∠AEF.

3.如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD.

（1）求证：

四边形MNCD是平行四边形；

（2）求证：

BD=MN.

平行四边形相关的辅助线

（二）

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因为它们比平行四边形有更多的限制条件，因此在解题的时候，充分利用这些特殊的关系是解题的关键。

知识点1：

矩形

能力目标：

1.了解矩形的特征：

2.灵活运用矩形的特性解决相关问题

【例1】如图，点E是矩形ABCD内点，求证：

.

求线段的平方关系，优先考虑勾股定理，需要构造直角三角形表示出所求线段的平方。

过点E向矩形各边作垂线。

证明:

本题是利用矩形的四个角都是直角这一特性结合勾股定理证明。

【例2】如图，在矩形ABCD中，已知AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点，

因为要求PE+PF的值，可知它是定值，P在不同位置这个值不变，取P与A重合这个特殊位置。

作

与矩形相关的题目，注意利用矩形相对于平行四边形特有的性质，如对角线相等的四个角都是直角。

菱形

1.理解菱形的性质：

2.灵活运用菱形的特性解决相关问题

在菱形ABCD中，,E是AB边的中点，P是AC边上动点，PB+PE的最小值是，求AB的值。

利用菱形的轴对称性构造全等三角形

解：

连接DP，

【例4】如图，四边形ABCD是平行四边形，

解题过程：

延长AB、FG交于点H,连接DH。

补全图形后，观察图形猜测四边形AHFD是菱形。

且这个菱形是由两个等边三角形组成的。

再证明

知识点3：

正方形

1.理解正方形的特性

2.灵活运用正方形的特性解决相关问题

【例5】如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且

通过平移构造辅助线：

所以

【例6】如图：

E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD于G，

连接BE交AG于点H。

若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是多少？

三、成果检测

1.如图所示,正方形ABCD的边长为3,E为CD边上一点,∠DAE=30,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ=AE,则AP长为

2.请阅读下列材料

（1）问题：

如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60,探究PG与PC的位置关系及PG/PC的值。

（2）实验与探究：

延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决。

写出上面问题中线段PG与PC的位置关系___;

及PG/PC=___.

（3）归纳与发现：

将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变（如图2）.你在

（1）中得到的两个结论是否发生变化?

写出你的猜想并加以证明。

运用与拓广：

若图1中∠ABC=∠BEF=2（0<

α<

90）,将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出PG/PC的值（用含α的式子表示）.

3.在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90,G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。

4.已知：

如图,平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的边长为4,它的顶点A在x轴的正半轴上运动,顶点D在y轴的正半轴上运动（点A,D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP.

（1）当OA=OD时,点D的坐标为___,∠POA=___；

（2）当OA<

OD时，求证：

OP平分∠DOA；

（3）设点P到y轴的距离为d，则在点A，D运动的过程中，d的取值范围是什么?

5.已知,如图①,∠MON=60,点A,B为射线OM,ON上的动点（点A,B不与点O重合）,且AB=,在∠MON的内部,△AOB的外部有一点P,且AP=BP,∠APB=120.

（1）求AP的长；

点P在∠MON的平分线上。

（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.

①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；

②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围。

6.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB>

CE.

（1）如图1，连接BG、DE.求证：

BG=DE；

（2）如图2,如果正方形ABCD的边长为,将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BG=BD.

①求∠BDE的度数；

②请直接写出正方形CEFG的边长的值。

7.如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB.

PE=PD；

（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论。

8.如图,正方形ABCD的边长为6,点E是BC上的一点,连接AE并延长,交射线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折,点B落在点N处,AN的延长线交DC于点M,当AB=2CF时,则NM的长.

9.

（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点。

直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系；

（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E.

①若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；

②当0<

∠A<

___时,上述结论成立;

当___⩽∠A<

180时，上述结论不成立。