等腰三角形的判定.docx

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等腰三角形的判定

等腰三角形的判定

篇一：

等腰三角形的性质定理和判定定理

一.本周教学内容：

等腰三角形的性质和判定

二.教学目标：

（一）知识与技能：

（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。

（2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。

（二）情感态度与价值观：

通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。

三.重点、难点：

重点是等腰三角形的性质定理和判定定理

难点是利用定理解决实际问题

四.教学过程：

（一）知识梳理

知识点1：

等腰三角形的性质定理1

（1）文字语言：

等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）

（2）符号语言：

如图，在△Abc中，因为Ab=Ac，所以∠b=∠

c

（3）证明：

取bc的中点D，连接AD

在△AbD和△AcD中

∴△AbD≌△AcD（sss）

∴∠b=∠c（全等三角形对应角相等）

（4）定理的作用：

证明同一个三角形中的两个角相等。

知识点2：

等腰三角形性质定理2

（1）文字语言：

等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）

（2）符号语言：

∵Ab=Ac∵Ab=Ac∵Ab=Ac

∠1=∠2AD⊥bcbD=Dc

∴AD⊥bc，bD=Dc∴∠1=∠2∴∠1=∠2

bD=DcAD⊥bc

（3）定理的作用：

可证明角相等，线段相等或垂直。

说明：

在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。

知识3：

等腰三角形的判定定理

（1）文字语言：

如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）

（2）符号语言：

在△Abc中

∵∠b=∠c∴

Ab=Ac

（3）证明：

过A作AD⊥bc于D，则∠ADb=∠ADc=90°。

在△AbD和△AcD中

∴△AbD≌△AcD（AAs）

∴Ab=Ac

（4）定理的作用：

证明同一个三角形中的边相等。

说明：

①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。

②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：

1、利用定义2、利用定理。

【典型例题分析】

基础知识应用题：

例1.如图，已知p、Q是△Abc边bc上两点，且bp=pQ=Ap=AQ=Qc，求∠bAc的度数。

解：

∵Ap=pQ=AQ（已知）

∴△ApQ是等边三角形（等边三角形的定义）

∴∠ApQ=∠AQp=∠pAQ=60°（等边三角形的性质）

∵Ap=bp（已知）

∴∠pbA=∠pAb（等边对等角）

又∠ApQ=∠pAb+∠pbA=60°

∴∠pbA=∠pAb=30°

同理∠QAc=30°

∴∠bAc=∠pAb+∠pAQ+∠QAc=30°+60°+30°=120°

解答此类题的步骤如下：

（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。

（2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。

例2.已知：

如图，在△Abc中，∠b=∠c，D、e、F分别为Ab，bc，Ac上的点，且bD=ce，∠DeF=∠b。

求证：

△DeF是等腰三角形。

证明：

∵∠b+∠bDe+∠beD=180°（三角形内角和定理）

∠beD+∠DeF+∠Fec=180°（平角性质）

∠b=∠DeF（已知）

∴∠bDe=∠Fec（等角的补角相等）

在△beD和△cFe中

∠bDe=∠Fec中（已证）

bD=ce（已知）

∠b=∠c（已知）

∴△beD≌△cFe（AsA）

∴De=eF（全等三角形对应边相等）

∴△DeF是等腰三角形（等腰三角形定义）

综合应用题：

例3.已知：

如图，Ac和bD相交于点o，Ab∥cD，oA=ob，求证：

oc=oD

证明：

∵Ab∥cD（已知）

∴∠A=∠c，∠b=∠D（两直线平行，内错角相等）

∵oA=ob（已知）

∴∠A=∠b（等边对等角）

∴∠c=∠D（等量代换）

∴oc=oD（等角对等边）

例4.如图，在四边形AbDc中，Ab=2Ac，∠1=∠2，DA=Db，试判断Dc与Ac的位置关系，并证明你的结论。

证法一：

证明：

作De⊥Ab于e

∵DA=Db

De⊥Ab

∴Ae=be=

∵Ab=2Ac

∴Ae=Ac

在△AeD和△AcD中

∴△AeD≌△AcD

∴∠c=∠AeD=90°

∴Dc与Ac的位置关系为：

Dc⊥

Ac

证法二：

证明：

延长Ac到F，使cF=Ac，连结DF

∵Ab=2Ac，AF=2Ac

∴Ab=AF

在△AbD和△AFD中

∴△AbD≌△AFD

∴DF=Db

∵DA=Db

∴DA=DF

又∵Ac=cF

∴Dc⊥

AF

说明：

法一是利用了“截长法”即在长线段Ab上截取Ae=Ab

法二是利用了“补短法”即在短线段Ac上补足AF=Ab，从而达到解决问题的目的。

例5.求证：

等腰三角形两腰上的中线相等

解：

已知：

如图所示，在△Abc中，Ab=Ac，bD，ce是△Abc的中线

求证：

bD=ce

证明：

∵bD，ce是△Abc的中线

∴Ae=Ab，AD=Ac

∵Ab=Ac

∴Ae=AD

在△AbD和△Ace中

∴△AbD≌△Ace（sAs）

∴bD=ce（全等三角形的对应边相等）

说明：

这是一个证明文字叙述的几何命题的题目，做这类题时首先要分清题设，结论，画出草图，结合图形写出：

已知、求证、然后再证明。

例6.如图，点c为线段Ab上的一点，△Acm，△bcn是等边三角形，An，mc相交于点e，cn与bm相交于点F。

（1）求证An=bm

（2）求证△ceF为等边三角形

证明：

（1）∵△Acm，△cbn是等边三角形

∴Ac=mc，cn=cb，∠Acm=∠ncb=60°

∴∠Acn=∠bcm=120°

在△Acn和△mcb中

∴△Acn≌mcb（sAs）

∴An=bm

（2）由

（1）中△Acn≌△mcb

∴∠Anc=∠mbc

在△cen和△cFb中

∴△cen≌△cFb（AsA）

∴ce＝cF

又∵∠ecF＝60°

篇二：

14.6-1等腰三角形的判定

日星期__第__12_周

篇三：

等腰三角形的判定定理

等腰三角形的判定定理

等腰三角形判定

某学校某老师

上课前感觉大家的心情很好，所以老师的心情也很棒。

所以老师临时决定于大家做一个游戏好不好？

（好）

游戏的规则是这样的，当老师说的是一个陈述句时，请大家重复老师说的话，当老师说的是一个疑问句时，请大家大声并快速的回答，大家听明白了吗？

（听明白了，老师说规则一定要慢点，否则有的同学反映慢，游戏效果不好）

今天是星期一（今天是星期一）我的心情特别好（我的心情特别好）你们的心情好吗（好）我是最棒的（我是最棒的）你们是最棒的吗（是）

好！

上课！

起立！

前面我们学习了等腰三角形的性质，今天我们继续的来学习等腰三角形

-1-

请大家回顾一下三角形的定义是什么？

有两条边相等的三角形叫等腰三角形。

那等腰三角形的性质呢？

等腰三角形的两个底角相等（在同一个三角形中，等边对等角）.

等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）.

请大家思考:

根据等腰三角形的意义我们可知,如果一个三角形的两条边相等,那么就一定可判定这个三角形是等腰三角形.除此之外,还有其他的判定方法吗?

我们学习过平行线的性质判定，平行线的性质判定是互逆的，那等腰三角形的性质判定是互逆的吗？

要是成立的话我们就可以得到等腰三角形的判定了。

-2-

我们看看当三角形的两个角相等的话，能能证明出它是等腰三角形吗？

联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以Ab、Ac为对应边的全等三角形．因为已知∠b=∠c.，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引出．再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作ΔAbc的平分线AD或作bc边上的高AD等，证三角形全等的不同方法，从而推出Ab=Ac．

-3-

要说明两条边相等，我们已经有哪些经验？

怎样添加一条辅助线，把△Abc分成两个全等的三角形？

这样，我们首先过A点做作bc边上的高AD．在三角形bAD和三角形cAD中，由已知可得∠b＝∠c，∠ADb＝∠ADc=90°，AD为公共边，所以三角形bAD全等于三角形cAD即Ab＝Ac（全等三角形的对应边相等），由定义可知道三角形Abc为等腰三角形。

-4-

所以，性质：

等腰三角形两个底角相等（等边对等角）和它的逆定理是互逆，且也是成立的，即可以当成等腰三角形的判定。

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

这个时候有的同学可能要想了，我们等腰三角形一共学习了两个性质，第一个性质的逆定理是判定。

那第二个性质的逆定理也可以当成等腰三角形的判定吗？

这样，一会咱们再说？

老师再给大家介绍其他的证明这个判定的方法.

-5-