高中数学函数的极值与导数综合测试题有答案.docx

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高中数学函数的极值与导数综合测试题有答案

高中数学函数的极值与导数综合测试题（有答案）

　　选修2-21.3.2函数的极值与导数

一、选择题

1．已知函数f（x）在点x0处连续，下列命题中，正确的是（）

A．导数为零的点一定是极值点

B．如果在点x0附近的左侧f（x）0，右侧f（x）0，那么f（x0）是极小值

C．如果在点x0附近的左侧f（x）0，右侧f（x）0，那么f（x0）是极大值

D．如果在点x0附近的左侧f（x）0，右侧f（x）0，那么f（x0）是极大值

[答案]　C

[解析]　导数为0的点不一定是极值点，例如f（x）＝x3，f（x）＝3x2，f（0）＝0，但x＝0不是f（x）的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.

2．函数y＝1＋3x－x3有（）

A．极小值－2，极大值2

B．极小值－2，极大值3

C．极小值－1，极大值1

D．极小值－1，极大值3

[答案]　D

[解析]　y＝3－3x2＝3（1－x）（1＋x）

令y＝0，解得x1＝－1，x2＝1

当x－1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，

当－11时，y0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，

当x1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，

当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.

当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.

3．设x0为f（x）的极值点，则下列说法正确的是（）

A．必有f（x0）＝0

B．f（x0）不存在

C．f（x0）＝0或f（x0）不存在

D．f（x0）存在但可能不为0

[答案]　C

[解析]　如：

y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f（0）不存在．

4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．

5．对于函数f（x）＝x3－3x2，给出命题：

①f（x）是增函数，无极值；

②f（x）是减函数，无极值；

③f（x）的递增区间为（－，0），（2，＋），递减区间为（0,2）；

④f（0）＝0是极大值，f

（2）＝－4是极小值．

其中正确的命题有（）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

[答案]　B

[解析]　f（x）＝3x2－6x＝3x（x－2），令f（x）0，得x2或x0，令f（x）0，得02，①②错误．

6．函数f（x）＝x＋1x的极值情况是（）

A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值

B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值

C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2

D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2

[答案]　D

[解析]　f（x）＝1－1x2，令f（x）＝0，得x＝1，

函数f（x）在区间（－，－1）和（1，＋）上单调递增，在（－1,0）和（0,1）上单调递减，

当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.

7．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

[答案]　A

[解析]　由f（x）的图象可知，函数f（x）在区间（a，b）内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极小值点．

8．已知函数y＝x－ln（1＋x2），则函数y的极值情况是（）

A．有极小值

B．有极大值

C．既有极大值又有极小值

D．无极值

[答案]　D

[解析]　∵y＝1－11＋x2（x2＋1）

＝1－2xx2＋1＝（x－1）2x2＋1

令y＝0得x＝1，当x1时，y0，

当x1时，y0，

函数无极值，故应选D.

9．已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于（1,0）点，则函数f（x）的极值是（）

A．极大值为427，极小值为0

B．极大值为0，极小值为427

C．极大值为0，极小值为－427

D．极大值为－427，极小值为0

[答案]　A

[解析]　由题意得，f

（1）＝0，p＋q＝1①

f

（1）＝0，2p＋q＝3②

由①②得p＝2，q＝－1.

f（x）＝x3－2x2＋x，f（x）＝3x2－4x＋1

＝（3x－1）（x－1），

令f（x）＝0，得x＝13或x＝1，极大值f13＝427，极小值f

（1）＝0.

10．下列函数中，x＝0是极值点的是（）

A．y＝－x3B．y＝cos2x

C．y＝tanx－xD．y＝1x

[答案]　B

[解析]　y＝cos2x＝1＋cos2x2，y＝－sin2x，

x＝0是y＝0的根且在x＝0附近，y左正右负，

x＝0是函数的极大值点．

二、填空题

11．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．

[答案]　1－1

[解析]　y＝2（1＋x）（1－x）（x2＋1）2，

令y0得－11，令y0得x1或x－1，

当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.

12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．

[答案]　a＋42　a－42

[解析]　y＝3x2－6＝3（x＋2）（x－2），

令y0，得x2或x－2，

令y0，得－22，

当x＝－2时取极大值a＋42，

当x＝2时取极小值a－42.

13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.

[答案]　－3－9

[解析]　y＝3x2＋2ax＋b，方程y＝0有根－1及3，由韦达定理应有

14．已知函数f（x）＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．

[答案]　（－2,2）

[解析]　令f（x）＝3x2－3＝0得x＝1，

可得极大值为f（－1）＝2，极小值为f

（1）＝－2，

y＝f（x）的大致图象如图

观察图象得－22时恰有三个不同的公共点．

三、解答题

15．已知函数f（x）＝x3－3x2－9x＋11.

（1）写出函数f（x）的递减区间；

（2）讨论函数f（x）的极大值或极小值，如有试写出极值．

[解析]　f（x）＝3x2－6x－9＝3（x＋1）（x－3），

令f（x）＝0，得x1＝－1，x2＝3.

x变化时，f（x）的符号变化情况及f（x）的增减性如下表所示：

x（－，－1）－1（－1,3）3（3，＋）

f（x）＋0－0＋

f（x）增极大值

f（－1）减极小值

f（3）增

（1）由表可得函数的递减区间为（－1,3）；

（2）由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f（－1）＝16；当x＝3时，函数有极小值为f（3）＝－16.

16．设函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f

（1）＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．

[解析]　f（x）＝3ax2＋2bx＋c.

∵x＝1是函数的极值点，－1、1是方程f（x）＝0的根，即有

又f

（1）＝－1，则有a＋b＋c＝－1，

此时函数的表达式为f（x）＝12x3－32x.

f（x）＝32x2－32.

令f（x）＝0，得x＝1.

当x变化时，f（x），f（x）变化情况如下表：

x（－，－1）－1（－1,1）1（1，＋）

f（x）＋0－0＋

f（x）?

极大

值1?

极小

值－1?

由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.

17．已知函数f（x）＝ax3＋bx2－3x在x＝1处取得极值．

（1）讨论f

（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；

（2）过点A（0,16）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线方程．

[解析]　

（1）f（x）＝3ax2＋2bx－3，依题意，

f

（1）＝f（－1）＝0，即

解得a＝1，b＝0.

f（x）＝x3－3x，

f（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1）．

令f（x）＝0，得x1＝－1，x2＝1.

若x（－，－1）（1，＋），则f（x）＞0，故

f（x）在（－，－1）上是增函数，

f（x）在（1，＋）上是增函数．

若x（－1,1），则f（x）＜0，故

f（x）在（－1,1）上是减函数．

f（－1）＝2是极大值；f

（1）＝－2是极小值．

（2）曲线方程为y＝x3－3x.点A（0,16）不在曲线上．

设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0＝x30－3x0.

∵f（x0）＝3（x20－1），故切线的方程为

y－y0＝3（x20－1）（x－x0）．

注意到点A（0,16）在切线上，有

16－（x30－3x0）＝3（x20－1）（0－x0）．

化简得x30＝－8，解得x0＝－2.

切点为M（－2，－2），

切线方程为9x－y＋16＝0.

18．（2019北京文，18）设函数f（x）＝a3x3＋bx2＋cx＋d（a0），且方程f（x）－9x＝0的两个根分别为1,4.

（1）当a＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在（－，＋）内无极值点，求a的取值范围．

[解析]　本题考查了函数与导函数的综合应用．

由f（x）＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f（x）＝ax2＋2bx＋c

∵f（x）－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.

（1）当a＝3时，由（*）式得，

解得b＝－3，c＝12.

又∵曲线y＝f（x）过原点，d＝0.

故f（x）＝x3－3x2＋12x.

（2）由于a0，所以“f（x）＝a3x3＋bx2＋cx＋d在（－，＋）内无极值点”等价于“f（x）＝ax2＋2bx＋c0在（－，＋）内恒成立”

由（*）式得2b＝9－5a，c＝4a.

又∵＝（2b）2－4ac＝9（a－1）（a－9）

解得a[1,9]，

“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何为出此言也？

”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？

”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。

其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。

可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。

看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。

称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?

曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。

要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。

在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。

即a的取值范围[1,9]．

家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。