一轮复习课时作业简单的逻辑联结词全称量词与存在量词2.docx
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一轮复习课时作业简单的逻辑联结词全称量词与存在量词2
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1．[2014·唐山市期末]已知命题p：
∀x∈R，x3＜x4；命题q：
∃x∈R，sinx－cosx＝－
，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∧q
C．p∧￢qD．￢p∧￢q
2．已知命题p：
所有有理数都是实数，命题q：
正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．（￢p）∨qB．p∧q
C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）
3．已知命题p1：
∃x0∈R，x
＋x0＋1＜0；p2：
∀x∈[1,2]，x2－1≥0，以下命题为真命题的是（ ）
A．（￢p1）∧（￢p2）B．p1∨（￢p2）
C．（￢p1）∧p2D．p1∧p2
4．下列说法中错误的是（ ）
A．对于命题p：
∃x0∈R，使得x0＋
＞2，则￢p：
∀x∈R，均有x＋
≤2
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：
“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
5．已知命题p：
∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：
∃x0∈R，x
＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＝1或a≤－2B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1D．－2≤a≤1
6．下列说法错误的是（ ）
A．如果命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是：
若“a≠0，则ab≠0”
C．若命题p：
∃x0∈R，ln（x
＋1）＜0，则￢p：
∀x∈R，ln（x2＋1）≥0
D．“sinθ＝
”是“θ＝30°”的充分不必要条件
7．命题p：
若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角；命题q：
若函数f（x）在（－∞，0]及（0，＋∞）上都是减函数，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数．下列说法中正确的是（ ）
A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题
C．￢p为假命题D．￢q为假命题
8．已知命题p：
∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：
∀x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≥2B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否定为：
“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”
D．已知命题p：
∃x∈R，x2＋x－1＜0，则￢p：
∃x∈R，x2＋x－1≥0
10．已知命题：
p1：
函数y＝2x－2－x在R上为增函数；
p2：
函数y＝2x＋2－x在R上为减函数；
则在命题q1：
p1∨p2，q2：
p1∧p2，q3：
（￢p1）∨p2和q4：
p1∧（￢p2）中，真命题是（ ）
A．q1，q3B．q2，q3
C．q1，q4D．q2，q4
二、填空题
11．若命题“存在实数x0，使x
＋ax0＋1＜0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为__________（用区间表示）．
12．已知命题p：
“∃x0∈R,4x0－2x0＋1＋m＝0”，若命题￢p是假命题，则实数m的取值范围是__________（用区间表示）．
13．已知命题p：
∃a0∈R，曲线x2＋
＝1为双曲线；命题q：
≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（￢q）”是真命题；③命题“（￢p）∨q”是真命题；④命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．其中正确的是__________．
14．下列四个命题：
①∃x0∈R，使sinx0＋cosx0＝2；②对∀x∈R，sinx＋
≥2；③对∀x∈
，tanx＋
≥2；④∃x0∈R，使sinx0＋cosx0＝
.
其中正确命题的序号为__________．
三、解答题
15．已知命题p：
方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：
只有一个实数x0满足不等式x
＋2ax0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围．
16．设命题p：
实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：
实数x满足
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
教师备选
1．有下列四个命题：
p1：
若a·b＝0，则一定有a⊥b；
p2：
∃x，y∈R，sin（x－y）＝sinx－siny；
p3：
∀a∈（0,1）∪（1，＋∞），函数f（x）＝a1－2x＋1都恒过定点
；
p4：
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F≥0.
其中假命题的是（ ）
A．p1，p4 B．p2，p3
C．p1，p3D．p2，p4
2．设函数f（x）＝ax＋bx－cx，其中a，b，c是△ABC的三条边，且c＞a，c＞b，则“△ABC为钝角三角形”是“∃x∈（1,2），使f（x）＝0”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．设有两个命题p：
不等式
＋
＞a的解集为R；q：
函数f（x）＝－（7－3a）x在R上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a的取值范围是（ ）
A．1≤a＜2B．2＜a≤
C．2≤a＜
D．1＜a≤2
4．若命题p：
关于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－
}，命题q：
关于x的不等式（x－a）（x－b）＜0的解集是{x|a＜x＜b}，则在命题“p∧q”“p∨q”“￢p”“￢q”中，是真命题的有__________.
5．下列结论：
①若命题p：
∃x0∈R，tanx0＝2；命题q：
∀x∈R，x2－x＋
＞0，则命题“p∧（￢q）”是假命题；②已知直线l1：
ax＋3y－1＝0，l2：
x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是
＝－3；③“设a、b∈R，若ab≥2，则a2＋b2＞4”的否命题为：
“设a、b∈R，若ab＜2，则a2＋b2≤4”．其中正确结论的序号为__________．（把你认为正确结论的序号都填上）
6．已知p：
方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：
方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1．[2014·唐山市期末]已知命题p：
∀x∈R，x3＜x4；命题q：
∃x∈R，sinx－cosx＝－
，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∧q
C．p∧￢qD．￢p∧￢q
解析：
∵x＝0时，x3＝x4，∴命题p为假命题，￢p为真命题．又∵x＝
时，sinx－cosx＝－
，∴q为真命题．∴￢p∧q为真命题，故选B.
答案：
B
2．已知命题p：
所有有理数都是实数，命题q：
正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．（￢p）∨qB．p∧q
C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）
解析：
不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，所以￢p为假命题，￢q为真命题，所以（￢p）∨（￢q）为真命题．
答案：
D
3．已知命题p1：
∃x0∈R，x
＋x0＋1＜0；p2：
∀x∈[1,2]，x2－1≥0，以下命题为真命题的是（ ）
A．（￢p1）∧（￢p2）B．p1∨（￢p2）
C．（￢p1）∧p2D．p1∧p2
解析：
∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，
∴x2＋x＋1＜0无解，故命题p1为假命题，￢p1为真命题；
由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1，∴∀x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，￢p2为假命题．
∵￢p1为真命题，p2为真命题，∴（￢p1）∧p2为真命题．
答案：
C
4．下列说法中错误的是（ ）
A．对于命题p：
∃x0∈R，使得x0＋
＞2，则￢p：
∀x∈R，均有x＋
≤2
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：
“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
解析：
显然选项A正确；对于B，由x＝1可得x2－3x＋2＝0；反过来，由x2－3x＋2＝0不能得知x＝1，此时x的值可能是2，因此“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，选项B正确；对于C，原命题的逆否命题是：
“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，因此选项C正确；对于D，若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，选项D错误，故选D.
答案：
D
5．已知命题p：
∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：
∃x0∈R，x
＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＝1或a≤－2B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1D．－2≤a≤1
解析：
若命题p：
∀x∈[1,2]，x2－a≥0真，则a≤1.
若命题q：
∃x0∈R，x
＋2ax0＋2－a＝0真，则Δ＝4a2－4（2－a）≥0，a≥1或a≤－2，又p且q为真命题，所以a＝1或a≤－2.
答案：
A
6．下列说法错误的是（ ）
A．如果命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是：
若“a≠0，则ab≠0”
C．若命题p：
∃x0∈R，ln（x
＋1）＜0，则￢p：
∀x∈R，ln（x2＋1）≥0
D．“sinθ＝
”是“θ＝30°”的充分不必要条件
解析：
sinθ＝
是θ＝30°的必要不充分条件，故选D.
答案：
D
7．命题p：
若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角；命题q：
若函数f（x）在（－∞，0]及（0，＋∞）上都是减函数，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数．下列说法中正确的是（ ）
A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题
C．￢p为假命题D．￢q为假命题
解析：
∵当a·b＞0时，a与b的夹角为锐角或零度角，
∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f（x）＝
综上可知，“p或q”是假命题．
答案：
B
8．已知命题p：
∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：
∀x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≥2B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2
解析：
若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，则￢p：
∀x∈R，mx2＋1＞0与￢q：
∃x∈R，x2＋mx＋1≤0均为真命题．根据￢p：
∀x∈R，mx2＋1＞0为真命题可得m≥0，根据￢q：
∃x∈R，x2＋mx＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.
答案：
A
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否定为：
“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”
D．已知命题p：
∃x∈R，x2＋x－1＜0，则￢p：
∃x∈R，x2＋x－1≥0
解析：
若p∨q为真命题，则p、q有可能一真一假，此时p∧q为假命题，故A错；易知由“x＝5”可以得到“x2－4x－5＝0”，但反之不成立，故B正确；选项C错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D错．
答案：
B
10．已知命题：
p1：
函数y＝2x－2－x在R上为增函数；
p2：
函数y＝2x＋2－x在R上为减函数；
则在命题q1：
p1∨p2，q2：
p1∧p2，q3：
（￢p1）∨p2和q4：
p1∧（￢p2）中，真命题是（ ）
A．q1，q3B．q2，q3
C．q1，q4D．q2，q4
解析：
∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数，∴y＝2x－2－x在R上是增函数，p1为真，p2为假，故q1：
p1∨p2为真，q2：
p1∧p2为假，q3：
（￢p1）∨p2为假，q4：
p1∧（￢p2）为真，故真命题是q1，q4，故选C.
答案：
C
二、填空题
11．若命题“存在实数x0，使x
＋ax0＋1＜0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为__________（用区间表示）．
解析：
由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图像知Δ＝a2－4＞0，解得a＞2或a＜－2.
答案：
（－∞，－2）∪（2，＋∞）
12．已知命题p：
“∃x0∈R,4x0－2x0＋1＋m＝0”，若命题￢p是假命题，则实数m的取值范围是__________（用区间表示）．
解析：
若￢p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解．
由于m＝－（4x－2·2x）＝－（2x－1）2＋1≤1，
∴m≤1.
答案：
（－∞，1]
13．已知命题p：
∃a0∈R，曲线x2＋
＝1为双曲线；命题q：
≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（￢q）”是真命题；③命题“（￢p）∨q”是真命题；④命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．其中正确的是__________．
解析：
因为命题p是真命题，命题q是假命题，所以命题“p∧q”是假命题，命题“p∧（￢q）”是真命题，命题“（￢p）∨q”是假命题，命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．
答案：
②④
14．下列四个命题：
①∃x0∈R，使sinx0＋cosx0＝2；②对∀x∈R，sinx＋
≥2；③对∀x∈
，tanx＋
≥2；④∃x0∈R，使sinx0＋cosx0＝
.
其中正确命题的序号为__________．
解析：
∵sinx＋cosx＝
sin
∈[－
，
]，故①∃x0∈R，使sinx0＋cosx0＝2错误；④∃x0∈R，使sinx0＋cosx0＝
正确；∵sinx＋
≥2或sinx＋
≤－2，故②对∀x∈R，sinx＋
≥2错误；③对∀x∈
，tanx＞0，
＞0，由基本不等式可得tanx＋
≥2正确．
答案：
③④
三、解答题
15．已知命题p：
方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：
只有一个实数x0满足不等式x
＋2ax0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围．
解析：
由2x2＋ax－a2＝0，得（2x－a）（x＋a）＝0，
∴x＝
或x＝－a，
∴当命题p为真命题时，|
|≤1或|－a|≤1，
∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足不等式x
＋2ax0＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p∨q”为假命题，
∴a＞2或a＜－2.
即a的取值范围为{a|a＞2，或a＜－2}．
答案：
{a|a＞2，或a＜－2}
16．设命题p：
实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：
实数x满足
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解析：
（1）由x2－4ax＋3a2＜0，得（x－3a）（x－a）＜0.
又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a＝1时，1＜x＜3，即p为真命题时，1＜x＜3.
由
解得
即2＜x≤3.
所以q为真时，2＜x≤3.
若p∧q为真，则
⇔2＜x＜3，
所以实数x的取值范围是（2,3）．
（2）设A＝{x|x≤a，或x≥3a}，B＝{x|x≤2，或x＞3}，
因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以AB.
所以0＜a≤2且3a＞3，即1＜a≤2.
所以实数a的取值范围是（1,2]．
答案：
（1）（2,3）；
（2）（1,2]．
教师备选
1．有下列四个命题：
p1：
若a·b＝0，则一定有a⊥b；
p2：
∃x，y∈R，sin（x－y）＝sinx－siny；
p3：
∀a∈（0,1）∪（1，＋∞），函数f（x）＝a1－2x＋1都恒过定点
；
p4：
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F≥0.
其中假命题的是（ ）
A．p1，p4 B．p2，p3
C．p1，p3D．p2，p4
解析：
对于p1：
∵a·b＝0⇔a＝0或b＝0或a⊥b，当a＝0，则a方向任意，a，b不一定垂直，故p1假，排除B、D，又p3显然为真，排除C，故选A.
答案：
A
2．设函数f（x）＝ax＋bx－cx，其中a，b，c是△ABC的三条边，且c＞a，c＞b，则“△ABC为钝角三角形”是“∃x∈（1,2），使f（x）＝0”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：
设g（x）＝
x＋
x－1，则g（x）在R上单调递减，且g
（1）＝
－1＞0，
g
（2）＝
－1＜0.所以在[1,2]上存在零点f（x）＝0，故选A.
答案：
A
3．设有两个命题p：
不等式
＋
＞a的解集为R；q：
函数f（x）＝－（7－3a）x在R上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a的取值范围是（ ）
A．1≤a＜2B．2＜a≤
C．2≤a＜
D．1＜a≤2
解析：
记A＝{a|不等式
＋
＞a的解集为R}；
B＝{a|f（x）＝－（7－3a）x在R上是减函数}．
由于函数y＝
＋
的最小值为1，故A＝{a|a＜1}．
又因为函数f（x）＝－（7－3a）x在R上是减函数，
故7－3a＞1，即a＜2，所以B＝{a|a＜2}．
要使这两个命题中有且只有一个真命题，a的取值范围为[（∁RA）∩B]∪[（∁RB）∩A]，
而（∁RA）∩B＝[1，＋∞）∩（－∞，2）＝[1,2），
（∁RB）]∩A＝[2，＋∞）∩（－∞，1）＝∅，
因此[（∁RA）∩B]∪[（∁RB）∩A]＝[1,2），故选A.
答案：
A
4．若命题p：
关于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－
}，命题q：
关于x的不等式（x－a）（x－b）＜0的解集是{x|a＜x＜b}，则在命题“p∧q”“p∨q”“￢p”“￢q”中，是真命题的有__________.
解析：
依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“￢p”为真、“￢q”为真．
答案：
￢p，￢q
5．下列结论：
①若命题p：
∃x0∈R，tanx0＝2；命题q：
∀x∈R，x2－x＋
＞0，则命题“p∧（￢q）”是假命题；②已知直线l1：
ax＋3y－1＝0，l2：
x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是
＝－3；③“设a、b∈R，若ab≥2，则a2＋b2＞4”的否命题为：
“设a、b∈R，若ab＜2，则a2＋b2≤4”．其中正确结论的序号为__________．（把你认为正确结论的序号都填上）
解析：
在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧（￢q）”是假命题是正确的．在②中l1⊥l2⇔a＋3b＝0，所以②不正确．在③中“设a、b∈R，若ab≥2，则a2＋b2＞4”的否命题为：
“设a、b∈R，若ab＜2，则a2＋b2≤4”正确．
答案：
①③
6．已知p：
方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：
方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
解析：
若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根x1，x2，
则
即
解得m＞2，即p：
m＞2.
若方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根，
则Δ＝16（m－2）2－16＝16（m2－4m＋3）＜0，
解得1＜m＜3，即q：
1＜m＜3.
∵p或q为真，p且q为假，
∴p、q两命题应一真一假，即p为真、q为假或p为假、q为真．
∴
或
解得m≥3或1＜m≤2.
∴m的取值范围是（1,2]∪[3，＋∞）．
答案：
（1,2]∪[3，＋∞）
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