高考数学一轮复习13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词文.docx
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高考数学一轮复习13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词文
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、基础知识批注——理解深一点
1．简单的逻辑联结词
（1）命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．
①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；
②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；
③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.❷
❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.
❷“命题的否定”与“否命题”的区别
（1）命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．
（2）命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．
（2）命题真值表：
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
假
真
真
真
假
真
假
假
假
命题真假的判断口诀
p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.
2．全称量词与存在量词
量词名称
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
3.全称命题与特称命题
命题名称
命题结构
命题简记
全称命题
对M中任意一个x，有p（x）成立
∀x∈M，p（x）
特称命题
存在M中的一个x0，使p（x0）成立
∃x0∈M，p（x0）
4．全称命题与特称命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p（x）
∃x0∈M，綈p（x0）
∃x0∈M，p（x0）
∀x∈M，綈p（x）
二、常用结论汇总——规律多一点
含逻辑联结词命题真假的等价关系
（1）p∨q真⇔p，q至少一个真⇔（綈p）∧（綈q）假．
（2）p∨q假⇔p，q均假⇔（綈p）∧（綈q）真．
（3）p∧q真⇔p，q均真⇔（綈p）∨（綈q）假．
（4）p∧q假⇔p，q至少一个假⇔（綈p）∨（綈q）真．
三、基础小题强化——功底牢一点
（1）若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．（ ）
（2）命题p和綈p不可能都是真命题．（ ）
（3）若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．（ ）
（4）若命题綈（p∧q）是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．（ ）
（5）“长方形的对角线相等”是特称命题．（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）√ （4）× （5）×
（二）选一选
1．命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是（ ）
A．∃x0∈R，x
＋x0≤0 B．∃x0∈R，x
＋x0<0
C．∀x∈R，x2＋x≤0D．∀x∈R，x2＋x<0
解析：
选B 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．
2．已知命题p：
若x>y，则－x<－y；命题q：
若
>
，则xA．①③B．①④
C．②③D．②④
解析：
选C 由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③綈q为真命题，则p∧（綈q）为真命题；④綈p为假命题，则（綈p）∨q为假命题，故真命题为②③.
3．下列四个命题中的真命题为（ ）
A．∃x0∈Z,1<4x0<3B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0
C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2>0
解析：
选D 选项A中，
，与x0∈Z矛盾，不成立；选项B中，x0＝－
，与x0∈Z矛盾；选项C中，x≠±1时，x2－1≠0；选项D正确．
（三）填一填
4．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________________________________．
答案：
存在两个全等三角形的面积不相等
5．若命题p：
不等式ax＋b>0的解集为
，命题q：
关于x的不等式（x－a）（x－b）<0的解集为{x|a解析：
由题知命题p为假命题，命题q为假命题，故只有“綈p”是真命题．
答案：
綈p
考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假
[典例]
（1）（2017·山东高考）已知命题p：
∀x>0，ln（x＋1）>0；命题q：
若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧綈q
C．綈p∧qD．綈p∧綈q
（2）（2019·安徽安庆模拟）设命题p：
∃x0∈（0，＋∞），x0＋
>3；命题q：
∀x∈（2，＋∞），x2>2x，则下列命题为真的是（ ）
A．p∧（綈q）B．（綈p）∧q
C．p∧qD．（綈p）∨q
[解析]
（1）当x>0时，x＋1>1，因此ln（x＋1）>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．
（2）对于命题p，当x0＝4时，x0＋
＝
>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈（2，＋∞），使得2x0＝x
成立，故命题q为假命题，所以p∧（綈q）为真命题，故选A.
[答案]
（1）B
（2）A
[解题技法] 判断含有逻辑联结词命题真假的步骤
[题组训练]
1．（2019·惠州调研）已知命题p，q，则“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选B 充分性：
若綈p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：
p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则綈p为假命题．所以“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．
2．已知命题p：
“若x2－x>0，则x>1”；命题q：
“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是（ ）
A．p∨（綈q）B．p∨q
C．p∧qD．（綈p）∧（綈q）
解析：
选B 若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．
[典例]
（1）命题∀x∈R，ex－x－1≥0的否定是（ ）
A．∀x∈R，ex－x－1≤0
B．∀x∈R，ex－x－1≥0
C．∃x0∈R，ex0－x0－1≤0
D．∃x0∈R，ex0－x0－1<0
（2）对命题∃x0>0，x
>2x0，下列说法正确的是（ ）
A．真命题，其否定是∃x0≤0，x
≤2x0
B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2x
C．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2x
D．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x
[解析]
（1）改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.
（2）已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.
[答案]
（1）D
（2）C
[解题技法]
1．全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
2.全称命题与特称命题的否定
（1）改写量词：
确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
（2）否定结论：
对原命题的结论进行否定．
[题组训练]
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2
C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x
D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x
解析：
选D ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x
”．
2．已知命题p：
∃n∈R，使得f（x）＝nxn2＋2n是幂函数，且在（0，＋∞）上单调递增；命题q：
“∃x0∈R，x
＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧qB．（綈p）∧q
C．p∧（綈q）D．（綈p）∧（綈q）
解析：
选C 当n＝1时，f（x）＝x3为幂函数，且在（0，＋∞）上单调递增，故p是真命题，则綈p是假命题；“∃x0∈R，x
＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，綈q是真命题．所以p∧q，（綈p）∧q，（綈p）∧（綈q）均为假命题，p∧（綈q）为真命题，选C.
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围
[典例] 已知p：
存在x0∈R，mx
＋1≤0，q：
任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．
[解] 依题意知p，q均为假命题，
当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；
当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2因此由p，q均为假命题得
即m≥2.
所以实数m的取值范围为[2，＋∞）．
[变透练清]
1.
若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．
解析：
依题意，当p是真命题时，有m<0；
当q是真命题时，有－2由
可得－2所以m的取值范围为（－2,0）．
答案：
（－2,0）
2.
若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假，p或q为真”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．
解析：
若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．
当p真q假时
所以m≤－2；
当p假q真时
所以0≤m<2.
所以m的取值范围为（－∞，－2]∪[0,2）．
答案：
（－∞，－2]∪[0,2）
3.
若本例将条件q变为：
存在x0∈R，x
＋mx0＋1<0，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．
解析：
依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，
所以m>2或m<－2.由
得0≤m≤2，
所以m的取值范围为[0,2]．
答案：
[0,2]
[解题技法]
根据命题的真假求参数的取值范围的步骤
（1）求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；
（2）根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；
（3）根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．
1．（2019·西安摸底）命题“∀x>0，
>0”的否定是（ ）
A．∃x0≥0，
≤0 B．∃x0>0,0≤x0≤1
C．∀x>0，
≤0D．∀x<0,0≤x≤1
解析：
选B ∵
>0，∴x<0或x>1，∴
>0的否定是0≤x≤1，
∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．
2．下列命题中，假命题的是（ ）
A．∀x∈R,21－x>0
B．∃a0∈R，y＝xa0的图象关于y轴对称
C．函数y＝xa的图象经过第四象限
D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝
相切
解析：
选C 对于A，由指数函数的性质可知为真命题；对于B，当a＝2时，其图象关于y轴对称；对于C，当x>0时，y>0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D，因为圆心（0,0）到直线x＋y＋1＝0的距离等于
，等于圆的半径，命题成立．
3．（2019·陕西质检）已知命题p：
对任意的x∈R，总有2x>0；q：
“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧qB．（綈p）∧（綈q）
C．（綈p）∧qD．p∧（綈q）
解析：
选D 由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q为假命题．由复合命题真值表可知p∧（綈q）为真命题．
4．（2018·湘东五校联考）下列说法中正确的是（ ）
A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件
B．命题p：
∀x∈R,2x>0，则綈p：
∃x0∈R,2x0<0
C．命题“若a>b>0，则
<
”的逆命题是真命题
D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件
解析：
选A 对于选项A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题p：
∀x∈R,2x>0的否定是綈p：
∃x0∈R,2x0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：
若
<
，则a>b>0，可举反例，如a＝－1，b＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选A.
5．（2019·唐山五校联考）已知命题p：
“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：
∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则（ ）
A．（綈p）∨q为真命题B．p∧（綈q）为假命题
C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题
解析：
选D 由题意可知命题p为真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q为假命题，所以p∨q为真命题．
6．下列说法错误的是（ ）
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若命题p：
存在x0∈R，x
＋x0＋1<0，则綈p：
对任意x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥
2”的充要条件
D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假
解析：
选D 由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy≥
2⇔4xy≥（x＋y）2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔（x－y）2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．
7．（2019·长沙模拟）已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，＋∞）B．（0,4]
C．（－∞，4]D．[0,4）
解析：
选C 当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.
8．下列命题为假命题的是（ ）
A．存在x>y>0，使得lnx＋lny<0
B．“φ＝
”是“函数y＝sin（2x＋φ）为偶函数”的充分不必要条件
C．∃x0∈（－∞，0），使3x0<4x0成立
D．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥β
解析：
选C 对于A选项，令x＝1，y＝
，则lnx＋lny＝－1<0成立，故排除A.对于B选项，“φ＝
”是“函数y＝sin（2x＋φ）为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数y＝xα，当α<0时，函数单调递减，故不存在x0∈（－∞，0），使3x0<4x0成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n，再由线面平行的判定定理可得n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，选C.
9．若命题p的否定是“∀x∈（0，＋∞），
＞x＋1”，则命题p可写为________________________．
解析：
因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案：
∃x0∈（0，＋∞），
≤x0＋1
10．已知命题p：
x2＋4x＋3≥0，q：
x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.
解析：
若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“綈q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，
由题意，得x＝－2.
答案：
－2
11．已知p：
a<0，q：
a2>a，则綈p是綈q的________条件（填：
充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．
解析：
由题意得綈p：
a≥0，綈q：
a2≤a，即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以綈p是綈q的必要不充分条件．
答案：
必要不充分
12．已知命题p：
a2≥0（a∈R），命题q：
函数f（x）＝x2－x在区间[0，＋∞）上单调递增，则下列命题：
①p∨q；②p∧q；③（綈p）∧（綈q）；④（綈p）∨q.
其中为假命题的序号为________．
解析：
显然命题p为真命题，綈p为假命题．
∵f（x）＝x2－x＝
2－
，
∴函数f（x）在区间
上单调递增．
∴命题q为假命题，綈q为真命题．
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，（綈p）∧（綈q）为假命题，（綈p）∨q为假命题．
答案：
②③④
13．设t∈R，已知命题p：
函数f（x）＝x2－2tx＋1有零点；命题q：
∀x∈[1，＋∞），
－x≤4t2－1.
（1）当t＝1时，判断命题q的真假；
（2）若p∨q为假命题，求t的取值范围．
解：
（1）当t＝1时，
max＝0，
－x≤3在[1，＋∞）上恒成立，故命题q为真命题．
（2）若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．
当p为假命题时，Δ＝（－2t）2－4<0，解得－1当q为真命题时，
max≤4t2－1，即4t2－1≥0，
解得t≤－
或t≥
，
∴当q为假命题时，－
，
∴t的取值范围是
.
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