简单的逻辑联结词全称量词与存在量词复习专题.docx

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简单的逻辑联结词全称量词与存在量词复习专题

考点测试3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、基础小题

1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是（　　）

A．对任意实数x，都有x>1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

答案　C

解析　特称命题的否定为全称命题，所以将“存在”改为“任意”，“x>1”改为“x≤1”．故选C.

2．下列特称命题中真命题的个数为（　　）

①存在实数x，使x2＋2＝0；

②有些角的正弦值大于1；

③有些函数既是奇函数又是偶函数．

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　x2＋2≥2，故①是假命题；∀x∈R均有|sinx|≤1，故②是假命题；f（x）＝0既是奇函数又是偶函数，③是真命题，故选B.

3．设非空集合A，B满足A⊆B，则以下表述正确的是（　　）

A．∃x0∈A，x0∈BB．∀x∈A，x∈B

C．∃x0∈B，x0∉AD．∀x∈B，x∈A

答案　B

解析　根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得B正确．

4．若命题p：

对数函数都是单调函数，则綈p为（　　）

A．所有对数函数都不是单调函数

B．所有单调函数都不是对数函数

C．存在一个对数函数不是单调函数

D．存在一个单调函数不是对数函数

答案　C

解析　命题p：

对数函数都是单调函数的否定綈p为存在一个对数函数不是单调函数．

5．下列命题中的假命题为（　　）

A．∀x∈R，ex>0B．∀x∈N，x2>0

C．∃x0∈R，lnx0<1D．∃x0∈N*，sin

＝1

答案　B

解析　对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；对于选项C，当x0＝

时，ln

＝－1<1，故选项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sin

＝1，故选项D为真命题．综上选B.

6．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（　　）

A．锐角三角形有一个内角是钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使

>2

答案　B

解析　A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为

＋（－

）＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有

<0，不满足

>2，所以D是假命题．

7．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）

A．（綈p）∨（綈q）B．p∨（綈q）

C．（綈p）∧（綈q）D．p∨q

答案　A

解析　綈p表示甲没有降落在指定范围，綈q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围或乙没有降落在指定范围”．故选A.

8．已知命题p：

∀x∈R，x2＋ax＋a2≥0；命题q：

∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．p∧qB．p∨q

C．（綈p）∨qD．（綈p）∧（綈q）

答案　B

解析　因为x2＋ax＋a2＝

2＋

a2≥0，所以命题p为真命题；因为（sinx＋cosx）max＝

，所以命题q为假命题．所以p∨q是真命题．

9．若命题“∃x0∈R，x

＋（a－1）x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．[－1,3]B．（－1,3）

C．（－∞，－1]∪[3，＋∞）D．（－∞，－1）∪（3，＋∞）

答案　D

解析　因为命题“∃x0∈R，x

＋（a－1）x0＋1<0”等价于x

＋（a－1）x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝（a－1）2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3，故选D.

10．已知命题p：

∀x∈R，x2－a≥0，命题q：

∃x0∈R，x

＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为________．

答案　（－∞，－2]

解析　由已知条件可知，p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2.

11．若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为________．

答案　（－∞，－2）∪（2，＋∞）

解析　由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.

12．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：

x∈（A∩B），那么“綈p”是________．

答案　x∉A或x∉B

解析　x∈（A∩B）即x∈A且x∈B，所以其否定为：

x∉A或x∉B.

二、高考小题

13．[2015·湖北高考]命题“∃x0∈（0，＋∞），lnx0＝x0－1”的否定是（　　）

A．∀x∈（0，＋∞），lnx≠x－1

B．∀x∉（0，＋∞），lnx＝x－1

C．∃x0∈（0，＋∞），lnx0≠x0－1

D．∃x0∉（0，＋∞），lnx0＝x0－1

答案　A

解析　该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.

14．[2014·天津高考]已知命题p：

∀x>0，总有（x＋1）ex>1，则綈p为（　　）

A．∃x0≤0，使得（x0＋1）ex0≤1

B．∃x0>0，使得（x0＋1）ex0≤1

C．∀x>0，总有（x＋1）ex≤1

D．∀x≤0，总有（x＋1）ex≤1

答案　B

解析　全称命题的否定是特称命题，所以命题p：

∀x>0，总有（x＋1）ex>1的否定是綈p：

∃x0>0，使得（x0＋1）ex0≤1.

15．[2016·浙江高考]命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（　　）

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n

答案　D

解析　先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D.

16．[2014·辽宁高考]设a，b，c是非零向量．已知命题p：

若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：

若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（　　）

A．p∨qB．p∧q

C．（綈p）∧（綈q）D．p∨（綈q）

答案　A

解析　由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题，故选A.

17．[2015·浙江高考]命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）

A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）>n

B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）>n

C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）>n0

D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）>n0

答案　D

解析　“f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定为“f（n）∉N*或f（n）>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.

18．[2015·山东高考]若“∀x∈

，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

答案　1

解析　∵0≤x≤

，∴0≤tanx≤1.

∵“∀x∈

，tanx≤m”是真命题，

∴m≥1，∴实数m的最小值为1.

三、模拟小题

19．[2017·安徽蚌埠质检]命题“∀a∈R，函数y＝x是增函数”的否定是（　　）

A．∀a∈R，函数y＝x是减函数

B．∀a∈R，函数y＝x不是增函数

C．∃a∈R，函数y＝x不是增函数

D．∃a∈R，函数y＝x是减函数

答案　C

解析　全称命题与特称命题的否定应先否定量词，再否定结论，它们的真假性相反．

20．[2017·广东适应性考试]设p，q是两个命题，若綈（p∨q）是真命题，那么（　　）

A．p是真命题且q是假命题

B．p是真命题且q是真命题

C．p是假命题且q是真命题

D．p是假命题且q是假命题

答案　D

解析　由綈（p∨q）是真命题可得p∨q是假命题，由真值表可得p是假命题且q是假命题．故选D.

21．[2017·河南郑州一中联考]已知命题p：

“存在x0∈[1，＋∞），使得（log23）x0≥1”，则下列说法正确的是（　　）

A．p是假命题；綈p：

“任意x∈[1，＋∞），都有（log23）x<1”

B．p是真命题；綈p：

“不存在x0∈[1，＋∞），使得（log23）x0<1”

C．p是真命题；綈p：

“任意x∈[1，＋∞），都有（log23）x<1”

D．p是假命题；綈p：

“任意x∈（－∞，1），都有（log23）x<1”

答案　C

解析　对于命题p：

“存在x0∈[1，＋∞），使得（log23）x0≥1”，因为log23>1，所以对于任意的x0∈[1，＋∞），（log23）x0≥1成立，故命题p为真命题．根据命题的否定的规则，可得綈p：

“任意x∈[1，＋∞），都有（log23）x<1”．故选C.

22．[2017·甘肃诊断]已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（　　）

A．∀x∈R，f（－x）≠f（x）

B．∀x∈R，f（－x）≠－f（x）

C．∃x0∈R，f（－x0）≠－f（x0）

D．∃x0∈R，f（－x0）≠f（x0）

答案　D

解析　根据偶函数的定义可知，如果一个函数f（x）不是偶函数，那么在定义域上一定存在x0，使得函数值不满足偶函数的定义f（－x0）＝f（x0）．故选D.

23．[2017·成都树德中学月考]设命题p：

函数f（x）＝tanx是其定义域上的增函数；命题q：

函数g（x）＝3x－3－x为奇函数，则下列命题中真命题是（　　）

A．p∧qB．p∧（綈q）

C．（綈p）∧（綈q）D．（綈p）∧q

答案　D

解析　函数f（x）＝tanx在

，k∈Z上是增函数，在其定义域上并不单调，故命题p是假命题；函数g（x）＝3x－3－x的定义域为R，g（－x）＝3－x－3x＝－（3x－3－x）＝－g（x），故g（x）为奇函数，所以命题q为真命题．结合选项可知应选D.

24．[2016·皖江名校联考]命题p：

存在x0∈

，使sinx0＋cosx0>

；命题q：

命题“∃x0∈（0，＋∞），lnx0＝x0－1”的否定是∀x∈（0，＋∞），lnx≠x－1，则四个命题（綈p）∨（綈q）、p∧q、（綈p）∧q、p∨（綈q）中，正确命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　B

解析　因为sinx＋cosx＝

sin

≤

，故命题p为假命题；特称命题的否定为全称命题，易知命题q为真命题，故（綈p）∨（綈q）真，p∧q假，（綈p）∧q真，p∨（綈q）假．故选B.

一、高考大题

本考点在近三年高考中未涉及此题型．

二、模拟大题

1．[2017·福建三明一中月考]已知a>0，设命题p：

函数y＝logax在R上单调递增；命题q：

不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．

解　若p真，∵函数y＝logax在R上单调递增，∴p：

a>1.

若q真，不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立，

∴a>0且a2－4a<0，解得0

0

∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p，q中必有一真一假．

①当p真q假时，

解得a≥4.

②当p假q真时，

解得0

故a的取值范围为（0,1]∪[4，＋∞）．

2．[2016·浙江金华二模]已知命题p：

“存在a>0，使函数f（x）＝ax2－4x在（－∞，2]上单调递减”，命题q：

“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16（a－1）x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．

解　若p为真，则对称轴x＝－

＝

在区间（－∞，2]的右侧，即

≥2，∴0

∴Δ＝[16（a－1）]2－4×16<0，∴

.

∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p、q都为真，

∴

∴

故实数a的取值范围为

3．[2016·福建晨曦中学联考]已知命题p：

函数y＝x2－2x＋a在区间（1,2）上有1个零点，命题q：

函数y＝x2＋（2a－3）x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围．

解　若命题p为真，则函数y＝x2－2x＋a在区间（1,2）上有1个零点，因为二次函数图象开口向上，对称轴为x＝1，所以

所以0

若命题q为真，则函数y＝x2＋（2a－3）x＋1的图象与x轴交于不同的两点，由Δ＝（2a－3）2－4>0，得4a2－12a＋5>0，解得a<

或a>

.

因为p∧q是假命题，p∨q是真命题，所以p，q一真一假．

①若p真q假，则

所以

≤a<1；

②若p假q真，则

所以a≤0或a>

.

故实数a的取值范围是a≤0或

≤a<1或a>

.

4．[2017·山西联考]已知f（x）＝m（x－2m）（x＋m＋3），g（x）＝2x－2.若同时满足条件：

①∀x∈R，f（x）<0或g（x）<0；②∃x∈（－∞，－4），f（x）g（x）<0，求m的取值范围．

解　由题意知m≠0，∴f（x）＝m（x－2m）（x＋m＋3）为二次函数，若∀x∈R，f（x）<0或g（x）<0，必须抛物线开口向下，即m<0.

f（x）＝0的两根x1＝2m，x2＝－m－3，则x1－x2＝3m＋3.

（1）当x1>x2，即m>－1时，必须大根x1＝2m<1，即m<

.

（2）当x1－4.

（3）当x1＝x2，即m＝－1时，x1＝x2＝－2<1也满足条件．

∴满足条件①的m的取值范围为－4

若∃x∈（－∞，－4），f（x）g（x）<0，则满足方程f（x）＝0的小根小于－4.

（1）当m>－1时，小根x2＝－m－3<－4且m<0，无解．

（2）当m<－1时，小根x1＝2m<－4且m<0，解得m<－2.

（3）当m＝－1时，f（x）＝－（x＋2）2≤0恒成立，∴不满足②.

∴满足①②的m的取值范围是－4