最新北师大版七年级下册数学 第五章 生活中的轴对称 全章教案.docx

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最新北师大版七年级下册数学第五章生活中的轴对称全章教案

5．1　轴对称现象

1．在生活实例中认识轴对称图形；（重点）

2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念；（重点）

3．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．（难点）

一、情境导入

观察下面的图片：

面对生活中这些美丽的图片，你是否强烈地感受到美就在我们身边！

这是一种怎样的美呢？

请谈谈你的感想．

二、合作探究

探究点一：

轴对称图形

【类型一】轴对称图形的识别

下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

解析：

根据轴对称图形的概念可得

（1）

（2）（4）都不是轴对称图形，只有（3）是轴对称图形．故选B.

方法总结：

要确定一个图形是否是轴对称图形要根据定义进行判断，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

【类型二】判断对称轴的条数

下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是（　　）

A．正方形B．等腰三角形

C．长方形D．圆

解析：

A.正方形有四条对称轴；B.等腰三角形有一条对称轴；C.长方形有两条对称轴；D.圆有无数条对称轴．故选C.

方法总结：

判断轴对称的条数，仍然是根据定义进行判断，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，注意不要遗漏．

探究点二：

两个图形成轴对称

如图所示，哪一组的右边图形与左边图形成轴对称？

解析：

根据轴对称的意义，经过翻折，看两个图形能否完全重合，若能重合，则两个图形成轴对称．

解：

（4）（5）（6）．

方法总结：

动手操作或结合轴对称的概念展开想象，在脑海中尝试完成一个动态的折叠过程，从而得到结论．

三、板书设计

1．轴对称图形的定义

2．对称轴

3．两个图形成轴对称

这节课充分利用多媒体教学，给学生以直观指导，主动向学生质疑，促使学生思考与发现，形成认识，独立获取知识和技能．另外，借助多媒体教学给学生创设宽松的学习氛围，使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态，有利于学生主体性的发挥和创新能力的培养

5．2　探索轴对称的性质

1．进一步复习生活中的轴对称现象，探索轴对称的性质；

2．掌握轴对称的性质，会利用轴对称的性质解决问题．（重点，难点）

一、情境导入

观察下图，水面上的图形与映在水里的像有什么关系？

二、合作探究

探究点：

轴对称的性质

【类型一】应用轴对称的性质求角度

如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是（　　）

A．130°B．150°C．40°D．65°

解析：

∵这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，∴∠D＝40°，∴∠BCD＝360°－150°－40°－40°＝130°.故选A.

方法总结：

轴对称其实就是一种全等变换，所以轴对称往往和三角形的内角和等性质综合考查．

【类型二】利用轴对称的性质求阴影部分的面积

如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．4cm2

B．8cm2

C．12cm2

D．16cm2

解析：

根据正方形的轴对称性，可得阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半．∵正方形ABCD的边长为4cm，∴S阴影＝

×42＝8cm2.故选B.

方法总结：

正方形是轴对称图形，根据图形判断出阴影部分的面积等于正方形面积的一半是解题的关键．

【类型三】折叠问题

如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝（　　）

A．20°B．30°C．40°D．50°

解析：

根据图形翻折变换后全等可得△ADE≌△FDE，∴∠EAD＝∠EFD＝90°.∵∠EFB＝60°，∴∠CFD＝30°.故选B.

方法总结：

折叠是一种轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．

【类型四】画一个图形关于已知直线对称的另一个图形

画出△ABC关于直线l的对称图形．

解析：

分别作出点A、B、C关于直线l的对称点，然后连接各点即可．

解：

如图所示．

方法总结：

我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可得到．

三、板书设计

1．轴对称图形的性质：

在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．

2．画轴对称图形的步骤：

（1）确定对称轴；

（2）根据对称轴确定关键点的对称位置；

（3）将找到的对称点顺次连接起来．

本节教学从学生熟知的生活情境出发，让学生初步感知对称的事物，从而引入对称，逐步将实物抽象成平面图形，通过操作实践发现其共同特征，导入教学新授，达到串连教材的效果，让学生在这教学情景中快乐地学习，激发了学生学习数学的兴趣．在列举实际生活中的轴对称的例子时，可以让更多的同学说，更广泛地思考，最后应提醒学生要善于用学到的数学知识认识世界、认识自然

5．3　简单的轴对称图形

第1课时　等腰三角形的性质

1．理解并掌握等腰三角形的性质；（重点）

2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．（难点）

一、情境导入

探究：

如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？

二、合作探究

探究点：

等腰三角形的性质

【类型一】利用“等边对等角”求角度

等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是（　　）

A．65°或50°B．80°或40°

C．65°或80°D．50°或80°

解析：

当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.

方法总结：

等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．

【类型二】利用方程思想求等腰三角形的角度

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．

解析：

设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．

解：

设∠A＝x.∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC.∵∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∠ADB＋∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°.

方法总结：

利用等腰三角形的性质和三角形内角和可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.

【类型三】利用“等边对等角”的性质进行证明

如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，试说明：

EC∥DF.

解析：

先由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据角平分线定义得到∠DBC＝

∠ABC，∠ECB＝

∠ACB，那么∠DBC＝∠ECB，再由∠DBC＝∠F，等量代换得到∠ECB＝∠F，于是根据平行线的判定得出EC∥DF.

解：

∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线，∴∠DBC＝

∠ABC，∠ECB＝

∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.

方法总结：

证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．

【类型四】利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明

如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.

（1）若AD＝AE，如图①，试说明：

BD＝CE；

（2）若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，试说明：

AF⊥BC.

解析：

（1）过A作AG⊥BC于G.根据等腰三角形的性质得出BG＝CG，DG＝EG即可得出BD＝CE；

（2）先求出BF＝CF，再根据等腰三角形的性质求解．

解：

（1）如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；

（2）∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.

方法总结：

在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．

三、板书设计

1．等腰三角形的性质：

等腰三角形是轴对称图形；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴；等腰三角形的两个底角相等．

2．运用等腰三角性质解题的一般思想方法：

方程思想、整体思想和转化思想．

本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高

第2课时　线段垂直平分线的性质

1．理解线段的垂直平分线的概念；

2．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）

3．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．（难点）

一、情境导入

1．我们学过轴对称图形，这类图形因为具有轴对称的特征而显得匀称美丽．那么什么样的图形是轴对称图形？

2．我们学过的图形中，有哪些图形是轴对称图形？

线段是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

二、合作探究

探究点一：

线段垂直平分线的性质

【类型一】利用线段垂直平分线的性质进行证明

如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.试说明：

∠B＝∠CAF.

解析：

由EF垂直平分AD，则可得AF＝DF，进而再转化为角之间的关系，通过角之间的关系转化，最终得出结论．

解：

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAF.∵∠ADF＋∠ADB＝180°，∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°，∴∠ADF＝∠B＋∠BAD.又∵∠DAF＝∠CAF＋∠CAD，∠BAD＝∠CAD，∴∠B＝∠CAF.

方法总结：

解题时，往往利用线段垂直平分线的性质得出线段相等，进而得出角相等，这体现了数学的转化思想．

【类型二】利用线段垂直平分线的性质进行判断

如图，已知AB是CD的垂直平分线，下列结论：

①CO＝DO；②AO＝BO；③AB⊥CD；④CD⊥AB.正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：

因为AB是CD的垂直平分线，所以AB垂直于CD，且把CD分成相等的两部分．所以①CO＝DO，③AB⊥CD，④CD⊥AB都正确，只有②AO＝BO错误．故选C.

方法总结：

AB是CD的垂直平分线，它包含两个方面的含义：

一是AB与CD垂直，二是AB把CD分成相等的两部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“单向”的．

【类型三】与线段垂直平分线有关的计算

如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为（　　）

A．22厘米B．16厘米

C．26厘米D．25厘米

解析：

要求△BCD的周长，已知BC的长度，只要求出BD＋CD即可．根据线段垂直平分线的性质得CD＝AD，故△BCD的周长为BD＋DC＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12＋10＝22（厘米）．故选A.

方法总结：

此题主要考查线段的垂直平分线的性质：

线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．对相等的线段进行转化是解答本题的关键．

【类型四】线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.试说明：

（1）FC＝AD；

（2）AB＝BC＋AD.

解析：

（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；

（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可解答．

解：

（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD；

（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.又∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.

方法总结：

此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．

探究点二：

线段垂直平分线的作图

如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）?

解析：

作线段AB的垂直平分线，由垂直平分线的定理可知，垂直平分线上的点到A，B的距离相等．

解：

连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.

∵EO是线段AB的垂直平分线，∴点O到A，B的距离相等，∴这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．

方法总结：

对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．

三、板书设计

1．线段垂直平分线的定义

2．线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

本节课学习了线段的垂直平分线的定义、性质、判定，由线段的垂直平分线的性质可以得出线段相等；要判定线段的垂直平分线有两种方法：

（1）根据定义；

（2）根据判定定理．在教学中，让学生主动参与，理解线段的垂直平分线的性质与判定的区别与联系．同时由线段的垂直平分线的性质的教学渗透数学的转化思想

第3课时　角平分线的性质

1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；（重点）

2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．（难点）

一、情境导入

问题：

在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．

问题1：

怎样修建道路最短？

问题2：

往哪条路走更近呢？

二、合作探究

探究点一：

角平分线的性质

【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，∠FDC＝∠BDE.试说明：

（1）CF＝EB；

（2）AB＝AF＋2EB.

解析：

（1）根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即DE＝DC.再根据△CDF≌△EDB，得CF＝EB；

（2）利用角平分线的性质可得△ADC和△ADE全等，从而得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行求解．

解：

（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在△CDF和△EDB中，∵

∴△CDF≌△EDB（ASA）．∴CF＝EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴∠CAD＝∠EAD，∠ACD＝∠AED＝90°.在△ADC和△ADE中，∵

∴△ADC≌

△ADE（AAS），∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.

方法总结：

角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等．

【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　）

A．6B．5C．4D．3

解析：

过点D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝

×4×2＋

AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.

方法总结：

利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

【类型三】角平分线的性质与全等三角形综合

如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：

CE＝CF.

解析：

由△DEC≌△DFC得出CD平分∠EDF，根据角平分线的性质，得出CE＝CF.

解：

∵CD是∠ACG的平分线，∴∠ECD＝∠FCD.在△DEC和△DFC中，∵

∴△DEC≌△DFC（AAS），∠EDC＝∠FDC.又∵DE⊥AC，DF⊥CG，∴CE＝CF.

方法总结：

全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．

【类型四】角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用

如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.

（1）找出图中相等的线段；

（2）OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．

解析：

（1）由垂直平分线的性质可得出相等的线段；

（2）由条件可得△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.

解：

（1）∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，AC＝BC＝AD＝BD；

（2）OE＝OF，理由如下：

在△AOC和△AOD中，∵

∴△AOC≌△AOD（SSS），∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.

方法总结：

本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．

【类型五】角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D.

（1）请你写出图中所有的等腰三角形；

（2）请你判断AD与BE垂直吗？

并说明理由．

（3）如果BC＝10，求AB＋AE的长．

解析：

（1）由△ABC是等腰直角三角形，BE为角平分线，可得△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均为等腰三角形．由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△EDC也是等腰三角形；

（2）BE是∠ABC的平分线，AE⊥AB，DE⊥BC，根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称，可得出BE⊥AD；（3）根据

（2），可知△ABE关于BE与△DBE对称，且△DEC为等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.

解：

（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；

（2）AD与BE垂直．理由如下：

由BE为∠ABC的平分线，知∠ABE＝∠DBE.又∵∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合，∴A、D是对称点，∴AD⊥BE；

（3）∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠DBE，∵DE⊥BC，EA⊥AB，∴∠BAE＝∠BDE.在△ABE和△DBE中，

∴△ABE≌△DBE（AAS），∴AB＝BD，AE＝DE.又∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝DC＝AE，即AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.

探究点二：

角平分线的画法

如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于

EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．

解析：

根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°.再根据尺规作图得出AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．

解：

∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°.又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°.由尺规作图知AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝

∠CAB＝30°.

方法总结：

通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．

三、板书设计

1．角平分线的性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

2．角平分线的作法

本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练

5．4　利用轴对称进行设计

1．理解图形轴对称变换的性质；（难点）

2．能按要求画出一个图形关于某直线对称的另一个图形．（重点）

一、情境导入

观察下面的图形：

（1）这些图案有什么共同特点？

（2）能否根据其中一部分画出整个图案？

二、合作探究

探究点：

利用轴对称进行设计

【类型一】在方格中设计轴对称图形

在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.

解析：

对称轴可以随意确定，根据你确定的对称轴去画另一半对称图形即可．

解：

如图所示．

方法总结：

作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来．

【类型二】利用轴对称设计图案

某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地（如下图）上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆与正方形的个数不限），并且使整个矩形场地成轴对称图形．请在下边长方形中画出你的设计方案．

解析：

长方形是轴对称图形，而正方形和圆也是轴对称图形，设计出的图案只要折叠重合即可．

解：

如图所示．

方法总结：

利用轴对称可以设计出精美的图案，一个图形经过不同位置的几次变换，若再结合平移、旋转等，便可以得到非常美丽的图案．

三、板书设计

1．如何由一个平面图形得到它的轴对称图形

2．利用轴对称设计图案

本节课尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容．重视动手操作，实践探究，但如果只有操作，而没有数学体验，数学课很容易上成劳技课，所以本节课的设计在重视活动的同时，又重视知识的获取．因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识．练习的设计具有一定的层次性，使不同的学生在学习数学的过程中得到不同的发展