人教版数学七年级下册《垂线》教学详案Word文档格式.docx

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思路一

　　1.垂直的概念.

　　　相交线所形成的四个角中有邻补角、对顶角,都会形成怎样的角呢?

请同学们观察老师手中的相交线模型.

　　利用相交线模型引入直线相互垂直的概念.

　　教师出示相交线模型,如图

（1）所示,固定其中一个木条a,转动另一个木条b,在这一过程中,它们的交角∠α在不停地变化,这一过程中,一定会出现它们的交角等于90°

的情况,这时我们说a与b互相垂直,这时其中一条直线叫另一条直线的垂线,记作a⊥b,它们的交点叫做垂足,如图

（2）所示,可记作:

AB⊥CD,垂足为O.

　　推理过程如下:

因为∠AOC=90°

（已知）,

所以AB⊥CD（垂直定义）.

　通过模型的展示让学生认识到,垂直是相交的一种特殊情形,使学生对垂直首先有一个感性的认识,进而引入相关的概念.同时通过教师对图形的描述,使学生逐步学习用几何语言描述图形的语句.

（1）垂直是相交线中一种特殊形式,当垂直时,这个公共点即为垂足.

（2）线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段与直线或射线与直线垂直,特指它们所在的直线互相垂直.

（3）根据两条直线互相垂直的定义可知:

若两条直线互相垂直,则所成的四个角都为直角;

反之,若两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°

则这两条直线互相垂直.

2.感受生活中互相垂直的实例.

【思考】　生活中有许多垂直的例子,你能举出一些例子吗?

教师出示图片:

（提示学生观察铁轨和枕木之间的位置关系）

学生从中观察相互垂直的直线,然后举出一些互相垂直的例子.

　通过对实物的感知,使学生认识到生活中处处有数学图形,在感受生活中的数学的同时加深对垂线的理解与掌握.

3.例题讲解（自设）.

　如图所示,三条直线相交于点O.若CO⊥AB,∠1=56°

则∠2等于（　　）

A.30°

B.34°

C.45°

D.56°

〔解析〕　∠1和∠2既不是对顶角也不是邻补角,这就需要根据给出的∠1的度数和相关位置进行思考.根据已知条件,把CO⊥AB转化为∠AOC=∠COB=90°

是关键.发现∠AOD,∠DOB分别是∠2的邻补角和对顶角后,问题即可解决.方法1:

因为CO⊥AB,所以∠COB=90°

所以∠DOB=90°

-∠1=90°

-56°

=34°

.所以∠2=∠DOB=34°

（对顶角相等）.方法2:

所以∠AOD=90°

+∠1=90°

+56°

=146°

.所以∠2=180°

-146°

（邻补角互补）.故选B.

　角度计算题,目的是考查学生利用垂直定义以及对顶角性质解决问题的能力.

思路二

1.实验探究.

教师自制教具,将两根木条钉在一起（如图所示）,固定其中一根木条a,转动木条b,请学生观察:

问题:

在木条b的转动过程中,哪个量也随之发生改变?

师生活动:

学生发言,相互补充.教师借机和学生一起回忆上节课学习的内容:

对顶角和邻补角的概念和性质.

教师追问

（1）:

当a与b所成角α为90°

时,其余各角分别为多少度?

教师引导学生发现,当a与b所成角α为90°

时,其余各角都为90°

是木条相交中最特殊的一种情况.

教师追问

（2）:

这时木条a与b有何位置关系呢?

学生根据小学已学的知识可以知道,此时木条a与b互相垂直.

　让学生借助已有的知识发现数学问题,并解决问题,进一步提高对垂直概念的认识.

2.变换角度,认识垂直.

仔细观察下图,当两条直线相交时所形成的4个角中,有一个角为90°

可以得出这两条直线有何位置关系呢?

学生回答,并归纳概括出垂直的定义.教师补充指出垂线和垂足的概念,并给出垂直的符号表示.

如图所示,如何用符号语言表示垂直的定义呢?

学生观察图形,独立完成用符号语言表示垂直的定义,教师点拨,规范学生的书写过程.

如图所示,若AB和CD相交,且∠1=90°

则直线AB和CD互相垂直,记作“AB⊥CD”（或CD⊥AB）,读作“AB垂直于CD”.如果垂足是O,记作“AB⊥CD,垂足为O”.一般地,垂直在图中用“

”表示,在推理计算的过程中用“⊥”表示.

如何判定两条射线互相垂直?

两条线段呢?

学生积极踊跃发言,教师做总结,提醒学生注意:

两条线段垂直、两条射线垂直、射线与直线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直,都是指它们所在的直线垂直.

根据两条直线互相垂直的定义可知:

若两条直线互相垂直,则相交所成的四个角为直角;

反之,若两条直线的交角为直角,则这两条直线互相垂直.如图所示,这个推理过程可以写成:

因为AB⊥CD（已知）,所以∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°

（垂直的定义）;

反之,因为∠AOC=90°

（已知）,所以AB⊥CD.

　教师引导学生用几何语言描述图形的位置关系,并学会用符号语言表示,培养学生表达几何图形的能力.

教师追问（3）:

你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗?

　学生列举身边的实物,能由实物的形状想象出直线的垂直关系,将新知识应用到对周围环境的直接感知中,有利于学生建立直观、形象的数学模型.

二、垂线的画法和性质

　　　在一条直线上可以画无数条这条直线的垂线,那么经过直线外一点可以画几条这样的直线呢?

利用三角尺或量角器,可以过一点画出已知直线的垂线.下面我们来学习垂线的画法.

1.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条?

　　2.经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条?

　　3.经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条?

画法点拨:

过一点画已知直线的垂线,可以用直角三角板来画,具体步骤为:

（1）贴:

将三角板的一条直角边紧贴在已知直线上;

（2）过:

使三角板的另一直角边经过已知点;

（3）画:

沿已知点所在直角边画出所求的直线.如图所示,图

（1）是点在直线l上,图

（2）是点在直线l外.

两直线垂直的概念中的核心内容是直角,所以在画垂线时这个直角的位置就显得相当重要了,画错了位置,已知直线的垂线也就画错了.在画垂线时要注意让直角的一边与已知直线重合,而另一边要过已知点（即过此点画已知直线的垂线）,在画垂线时要注意只有满足上述条件时,这两条直线才是垂直的.另外要画的已知直线的垂线是一条直线,千万不要画成线段或射线.

提示:

（1）过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在延长线上.

（2）过一点包括两种情况:

①点在直线外;

②点在直线上.

活动方式:

教师出示问题,学生分小组讨论尝试,然后找学生回答讨论的结果,并找学生到黑板上画一画.师生共同归纳结论:

经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线,即在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

　通过尝试、讨论、探究,找到画已知直线垂线的方法,使学生手脑并用,加深印象.通过师生的共同总结,培养学生的归纳总结能力,同时让学生认识到作已知直线的垂线的两种情况.

　（补充）如图

（1）所示,在三角形ABC中,∠BCA为钝角.

（1）画出过点C且与线段BA垂直的直线;

（2）画出过点A且与线段BC垂直的直线.

〔解析〕　利用三角尺的直角正确画出图形,注意垂足的位置.

（1）过点C作AB的垂线,垂足在线段AB上.

（2）因为∠BCA是钝角,过点A画BC的垂线时,垂足在BC的延长线上.

解:

（1）过点C画AB的垂线,交AB于D,CD就是所求,如图

（2）所示.

（2）过点A画BC的垂线,交BC的延长线于E点,AE就是要求的垂线,如图

（2）所示.

（1）在同一平面内,经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线,只能画出一条.

（2）经过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上（如图所示）.

（3）画垂线时是实线,此时如需延长线段或反向延长射线,要用虚线延长或反向延长.

1.垂线的概念:

当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.

2.垂线的性质:

（1）在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

（2）“有且只有”中,“有”指“存在性”,“只有”指“唯一性”.

（3）“过一点”中的“点”在直线上或直线外都可以.

1.下列说法中,正确的个数是（　　）

①相等的角是对顶角;

②在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直;

③两条直线相交有且只有一个交点;

④两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直.

A.1B.2C.3D.4

解析:

两角相等指的是数量关系上的相等,对顶角是特殊位置关系的相等的角,故①错误;

在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直,故②正确;

两条直线相交有且只有一个交点,故③正确;

两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直,故④正确.即正确的个数是3.故选C.

2.下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的有（　　）

①两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角;

②两条直线相交所成的四个角相等;

③两条直线相交所成的四个角中,有一组相邻的角相等;

④两条直线相交所成的四个角中,有一组对顶角的和为180°

.

A.4个B.3个C.2个D.1个

①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,是定义,能判断;

②两条直线相交所成的四个角相等,则四个角都是直角,能判断;

③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等,根据邻补角的定义能求出这两个角都是直角,能判断;

④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°

根据对顶角相等求出这两个角都是直角,能判断.所以四个条件都能判断两条直线互相垂直.故选A.

3.如图所示,过P点,画出射线OA,OB的垂线.

图

（1）的P点在射线OA,OB之外,图

（2）的P点在射线OA之外,在射线OB之上.图

（2）过点P作射线OA的垂线时,要注意垂足在射线OA的反向延长线上,需要用虚线表示延长线.

如图所示.

4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°

求∠AOE和∠DOF的度数.

因为OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°

所以∠AOE=90°

-25°

=65°

∠DOF=90°

+25°

=115°

第1课时

1.探究垂线的概念

例1

2.垂线的画法和性质

在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

例2

一、教材作业

【必做题】

教材第5页练习第1,2题.

【选做题】

教材第8页习题5.1第3,4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=145°

则∠3的度数为（　　）

A.35°

B.45°

C.55°

D.65°

2.两条直线相交所构成的四个角中:

①有三个角都相等;

②有一对对顶角互补;

③有一个角是直角;

④有一对邻补角相等.

其中能判定这两条直线垂直的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图所示,在正方体中和AB同在一个平面,且和AB垂直的边有（　　）

A.1条B.2条C.3条D.4条

4.如图所示,已知AB,CD相交于O,OE⊥CD于O,∠AOC=30°

则∠BOE等于（　　）

B.60°

C.120°

D.130°

【能力提升】

5.如图所示,已知直线AB和CD相交于O点,CO⊥OE,OF平分∠AOE,∠COF=34°

求∠BOD的度数.

6.如图所示,已知OC⊥AB于O,∠AOD∶∠COD=1∶2.

（1）若OE平分∠BOC,求∠DOE的度数;

（2）若∠AOE的度数比∠COE的度数的3倍多30°

试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.

7.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠BOD=40°

按下列要求画图并回答问题.

（1）在直线AB上方画射线OE,使OE⊥AB;

（2）分别在射线OA,OE上截取线段OM,ON,使OM=ON,连接MN;

（3）画∠AOD的平分线OF,交MN于点F;

（4）直接写出∠COF和∠EOF的度数:

∠COF=　　　　度,∠EOF=　　　　度. 

【拓展探究】

8.

（1）在图

（1）中以P为顶点画∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直;

（2）量一量图

（1）中∠P和∠1的度数,它们之间的数量关系是　　　　;

（3）同样在图

（2）和图（3）中以P为顶点作∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直,分别写出图

（2）和图（3）中∠P和∠1之间的数量关系（不要求写出理由）.图2:

　　　　,图3:

　　　　;

（4）由上述三种情形可以得到一个结论:

如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角　　　　.（不要求写出理由） 

【答案与解析】

1.C（解析:

因为∠1=145°

所以∠2=180°

-145°

=35°

因为CO⊥DO,所以∠COD=90°

所以∠3=90°

-∠2=90°

-35°

=55°

.故选C.）

2.D（解析:

根据垂直的定义:

两直线的交角为90°

时,这两条直线互相垂直进行分析即可.）

3.D（解析:

因为正方体的每一个面都是正方形,即每一个角都为90°

所以与AB垂直的边有4条.故选D.）

4.C（解析:

因为OE⊥CD,所以∠EOD=90°

因为∠AOC=30°

所以∠BOD=∠AOC=30°

所以∠BOE=∠EOD+∠BOD=90°

+30°

=120°

5.解:

因为CO⊥OE,所以∠COE=90°

.因为∠COF=34°

所以∠EOF=90-34°

=56°

.又因为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=56°

所以∠AOC=56°

-34°

=22°

.则∠BOD=∠AOC=22°

6.解:

（1）因为OC⊥AB于O,所以∠AOC=∠BOC=90°

.因为∠AOC=90°

∠AOD∶∠COD=1∶2,所以∠DOC=60°

.因为OE平分∠BOC,∠BOC=90°

所以∠COE=45°

∠DOE=∠DOC+∠COE=60°

+45°

=105°

.　

（2）OD⊥OE.理由如下:

OC⊥AB于O,所以∠AOC=∠BOC=90°

因为∠AOE-∠COE=2∠COE+30°

且∠AOE-∠COE=90°

所以2∠COE+30°

=90°

所以∠COE=30°

.因为∠DOE=∠DOC+∠COE=60°

所以OD⊥OE.

7.解:

（1）如图所示的射线OE.　

（2）如图所示的ON,OM,线段MN.　（3）如图所示的OF平分∠AOD,交MN于点F.　（4）110　20

8.解:

（1）如图

（1）所示.　

（2）∠P+∠1=180°

　（3）如图

（2）（3）所示.　∠P=∠1　∠APB+∠1=180°

　（4）相等或互补

在这堂课中,学生的主体地位突出,真正经历了知识形成的全过程.在自主学习、合作交流的活动中升华了对知识的理解.教学实践也证明,在自由探索与合作交流的学习方式中,学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多.在本节课中的每一个学习活动,都以学生个性思维、自我感悟为前提,多次设计了让学生自主探索、合作交流的活动.通过学生和谐有效地互动,强化了学生的自主学习意识.

（1）在教学过程中学生归纳的少,教师说明的多,没有让学生充分发表自己的见解.

（2）在学习画垂线的过程中,部分学生画的不够规范,教师在指导上不够到位.

对于知识的形成,教师要充分让学生探索、观察,用自己的语言表述发现的问题,然后充分发挥集体的合力,取长补短,逐步完善,教师再给以适当的点拨,形成结论.

画已知直线的垂线,教师要注意画图的指导,一要注意规范,二要注意对知识的分析与强化,使学生对垂线有更深一步的认识.从而达到对知识的理解和掌握,对于学生出现的问题一定要及时点评.

练习（教材第5页）

1.解:

垂直.理由如下:

因为两条直线相交所成的角的度数之和为360°

而四个角都相等,所以每个角都为90°

所以两条直线垂直.

2.解:

　　平行直线和垂直直线在社会生活中起着非常大的作用,在建筑和艺术中的应用比比皆是,如图所示的是我国古代钱币的图案,有人如此解释为什么这么设计这个图案,圆代表国土、疆域,方取正直、无私的寓意,圆中有方表明钱财要为国家建设服务.这种说法体现了人们对“方”——垂直的认识.生活中垂直的应用还很多,如家居中,墙角都做得轮廓分明,给人以整齐的感觉.

　（2014·

厦门中考）已知直线AB,CB,l在同一平面内,若AB⊥l,垂足为B,CB⊥l,垂足也为B,则符合题意的图形可以是下图中的（　　）

〔答案〕　C

　此题主要考查了垂线,关键是掌握垂线的定义:

河南中考）如图所示,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM=35°

则∠CON的度数为（　　）

〔解析〕　因为射线OM平分∠AOC,∠AOM=35°

所以∠MOC=35°

因为ON⊥OM,所以∠MON=90°

所以∠CON=∠MON-∠MOC=90°

.故选C.

　如图所示,已知直线AB与CD相交于点O,OB平分∠EOD,∠1+∠2=90°

那么图中的线是否存在互相垂直的关系?

若有,请写出哪些线互相垂直,并说明理由;

若无,直接说明理由.

〔解析〕　根据角的定义,以及对顶角相等可求出∠1=∠2=45°

再根据角平分线的定义可求出∠2=∠3=45°

可求出EO⊥CD.

OE⊥CD.理由如下:

因为∠1+∠2=90°

又因为∠1=∠2,

所以∠1=∠2=45°

因为OB平分∠EOD,

所以∠EOD=2∠2=2×

45°

所以OE⊥CD.

　在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中,我们把每个小正方形的顶点称为格点,如图所示,已知O,A,B都是方格纸上的格点.

（1）画线段OA和直线OB;

（2）过O点画AB的垂线,垂足为D;

（3）求△ABO的面积.

〔解析〕　根据直线、线段、垂线的定义,利用作图工具即可解答

（1）

（2）,根据三角形的面积公式,即

可解答（3）.

　　解:

（1）如图

（1）所示.

（2）如图

（2）所示.

（3）由图可知AB=4,OD为AB的垂线,OD=3,根据三角形面积公式可得三角形AOB的面积为4×

3÷

2=6.

1.理解并掌握垂线段的意义.

2.理解点到直线的距离的概念.

在对垂线段的学习过程中,体验从操作中发现数学事实,感受简单的推理.

培养学生乐于动手,勤于思考的品质.

【重点】

1.点到直线的距离的概念.

2.垂线段的性质—垂线段最短.

【难点】　区分垂线段与点到直线的距离.

【教师准备】　教材图5.1-8,教材图5.1-9的投影图片.

【学生准备】　复习垂线的定义及性质.

如图所示的是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是哪条线段的长度呢?

　通过生活实例引入本课时垂线段的定义,帮助学生注意从生活中发现数学问题.

在学校运动会准备中,老师提醒班级的百米运动员,在跑道中要尽量按照直线跑,减少左右摆动.老师的提醒有什么道理呢?

（如图所示）

　通过生活实例帮助学生感受“垂线段最短”的道理.

如图所示,路灯底部到路中间分隔线的距离是多少呢?

　　　（针对导入三）如果把路灯杆看成一个点,到公路中间分隔线可以有无数条线段,在这些线段中,哪条是路灯杆到分隔线的距离呢?

这就是我们接下来要研究的垂线段问题.

一、垂线段及其性质

　　出示教材图5.1-9,提出问题:

（1）图中哪条线段垂直于直线l?

（2）通过观察和测量,线段PO,PA1,PA2,PA3中哪条线段最长?

（3）继续比较,PAm和PAm+1哪条线段长?

（4）上述的线段都是在垂线PO的左侧,在垂线PO的右侧也有这个结论吗?

（5）从上述比较中,你发现了什么结论?

　首先通过观察帮助学生发现图中的线段长短不一,在此基础上根据测量和生活常识,帮助学生认同“垂线段最短”这个基本事实.

（在学生讨论后总结）

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:

垂线段最短.

垂线段的定义:

如图所示,设点P是直线l外一点,PO⊥l,垂足为O.线段PO叫做点P到直线l的垂线段,过点P画线段PA,PB,…,交l于A,B,…,因为过点P只有一条直线垂直于l,所以线段PA,PB,…都不与l垂直.我们把不与l垂直的线段PA,PB,…叫做点P到直线l的斜线段.