数值计算方法期末考试题Word文档下载推荐.docx

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，

所以分段线性插值函数为

2.已知线性方程组

（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；

（2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.

计算题2.答案

1.解原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯－塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯－塞德尔迭代公式得

3.用牛顿法求方程在之间的近似根

（1）请指出为什么初值应取2

（2）请用牛顿法求出近似根，精确到.

计算题3.答案

3.解，，

，，，故取作初始值

迭代公式为

，

，，

方程的根

4.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.　

计算题4.答案

4解梯形公式

应用梯形公式得

辛卜生公式为

应用辛卜生公式得

四、证明题（本题10分）

确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度

证明题答案

证明：

求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得

得，。

所求公式至少有两次代数精确度。

又由于

故具有三次代数精确度。

一、填空（共20分，每题2分）

1.设，取5位有效数字，则所得的近似值x=.

2.设一阶差商，则二阶差商

3.设,则，。

4．求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么5．解初始值问题近似解的梯形公式是6、，则A的谱半径＝。

7、设，则和。

8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。

10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。

填空题答案

1、2、

3、6和

4、5、

6、

7、

8、收敛

9、10、

二、计算题（共75分，每题15分）

1．设

（1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足

以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式

1、

（1）

（2）　

2．已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛　

2、由，可得，

3．试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少它是否为Gauss型的

3、，该数值

求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的

4．推导常微分方程的初值问题的数值解公式：

（提示：

利用Simpson求积公式。

）

4、数值积分方法构造该数值解公式：

对方程在区间上积分，

得，记步长为h,

对积分用Simpson求积公式得

所以得数值解公式：

5．利用矩阵的LU分解法解方程组

计算题5.答案

5、解：

三、证明题（5分）

1．设，证明解的Newton迭代公式是线性收敛的。

1、

一、填空题（20分）

（1）.设是真值的近似值，则有位有效数字。

（2）.对,差商（）。

（3）.设,则。

（4）.牛顿—柯特斯求积公式的系数和。

（1）3

（2）1（3）7（4）1

二、计算题

1）.（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。

插值节点和相应的函数值是（0，0），（，），（，）。

1）　

2）.（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。

2）　

3）.（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代三次（要求按五位有效数字计算）.。

3）迭代公式

4）.（15分）求系数

。

4）

5）.（10分）对方程组

试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由

5）解：

调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：

.

三、简答题

1）（5分）在你学过的线性方程组的解法中,你最喜欢那一种方法,为什么

2）（5分）先叙述Gauss求积公式,再阐述为什么要引入它。

简答题答案

1）凭你的理解去叙述。

2）参看书本99页。

1.若a=是的近似值，则a有（）位有效数字.

2.是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则

（）.

3.设f（x）可微，则求方程的牛顿迭代格式是（）.

4.迭代公式收敛的充要条件是。

5.解线性方程组Ax=b（其中A非奇异，b不为0）的迭代格式中的B称为（）.给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为（）。

1．3

2.3.

4.5.迭代矩阵，

二、判断题（共10分）

1.若，则在内一定有根。

（）

2.区间[a,b]上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。

3.若方阵A的谱半径，则解方程组Ax=b的Jacobi迭代法收敛。

4.若f（x）与g（x）都是n次多项式，且在n+1个互异点上，则。

5.用近似表示产生舍入误差。

判断题答案

1.×

2.×

3.×

4.√5.×

三、计算题（70分）

1.（10分）已知f（0）＝1，f（3）＝，f（4）＝，求过这三点的

二次插值基函数l1（x）=（），=（）,插值多项式P2（x）=（）,用三点式求得（）.

1．

2.（15分）已知一元方程。

1）求方程的一个含正根的区间；

2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式（判断收敛性）；

3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。

2.

（1）

（2）

（3）

3.（15分）确定求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.

4.（15分）设初值问题.

（1）写出用Euler方法、步长h=解上述初值问题数值解的公式；

（2）写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。

4.

5.（15分）取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。

5．

=1+2（

，

一、填空题（每题4分，共20分）

1、数值计算中主要研究的误差有和。

2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则；

。

3、设是区间上的一组n次插值基函数。

则插值型求积公式的代数精度为；

插值型求积公式中求积系数；

且。

4、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。

5、则。

1.相对误差绝对误差

2.1

3.至少是nb-a

4.3

5.10

1、已知函数的相关数据

由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。

解：

差商表

由牛顿插值公式：

2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。

3、（15分）确定求积公式

中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；

并指出此时求积公式的代数精度。

分别将，代入求积公式，可得。

令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。

4、（15分）已知一组试验数据如下：

求它的拟合曲线（直线）。

设则可得

于是，即。

5、（15分）用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，

（1）需要二分几次；

（2）给出满足要求的近似根。

6次；

6、（15分）用列主元消去法解线性方程组

计算题6.答案

即

一、填空题（25分）

1）.设x*=是真值x=的近似值，则x*有位有效数字。

2）.，。

3）.求方程根的牛顿迭代格式是。

4）.已知,则,。

5）.方程求根的二分法的局限性是。

1）4；

2）1，0；

3）；

4）7,6；

5）收敛速度慢，不能求偶重根。

1）.（15分）已知

（1）用拉格朗日插法求的三次插值多项式；

（2）求，使。

2）.（15分）试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。

由等式对精确成立得：

解此方程组得

又当时左边右边

此公式的代数精度为2

3）.（15分）取步长h=,用梯形法解常微分方程初值问题

3）梯形法为

迭代得

4）.（15分）用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.

先选列主元，2行与1行交换得消元；

3行与2行交换；

消元；

回代得解；

行列式得

5）.（15分）用牛顿（切线）法求的近似值。

取x0=,计算三次，保留五位小数。

5）.解：

是的正根，，牛顿迭代公式为

，即

取x0=,列表如下：

1、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。

2、则。

4、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则；

5、按四舍五入原则数与具有五位有效数字的近似值分别为和。

1、3

2、

3、1

4、至少是n

5、

1、（10分）已知数据如下：

求形如拟合函数。

2、（15分）用二次拉格朗日插值多项式计算。

插值节点和相应的函数值如下表。

过点的二次拉格朗日插值多项式为

代值并计算得。

3、（15分）利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长

4、（15分）已知

（1）推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式

；

（2）指明求积公式所具有的代数精度；

（3）用所求公式计算。

计算题4.

（1）答案

计算题4.

（2）&

（3）答案

（2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将代入上述公式，可得

故代数精度是3次。

（3）由

（2）可得：

（1）所求插值型的求积公式形如：

5、（15分）讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。

其中.

三、简述题（本题10分）

叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么

简述题答案

数值运算中常用的误差分析的方法有：

概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。

误差分析的原则有：

1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；

2）要避免两近数相减；

3）要防止大数吃掉小数：

4）注意简化计算步骤，减少运算次数。

一、填空（共25分，每题5分）

1、，则A的谱半径＝

2、设则和

3、若x=,，则x*的近似数具有位有效数字.

4、抛物线求积公式为.

5、设可微，求方程根的牛顿迭代公式是。

1、；

2、；

3、4；

4、；

5、.

1）.（15分）设

（1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足,以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式

（1）

2）.（15分）设有解方程的迭代法:

（1）证明,均有（为方程的根）；

（2）取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；

（3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

（2）取，则有各次迭代值

取，其误差不超过

（3）

故此迭代为线性收敛。

3）.（15分）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度

令代入公式精确成立，得；

解得，得求积公式

对；

故求积公式具有2次代数精确度。

4）.（15分）用Gauss消去法求解下列方程组

本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。

故.

5）.（15分）已知方程组，其中

（1）试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性。

（2）若有迭代公式，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛。

（1），因此两种迭代法均收敛。

（2）当时，该迭代公式收敛。