研究生入学考试综合数学试题答案.docx
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研究生入学考试综合数学试题答案
2014年研究生入学考试综合数学试题答案
一、问题求解：
第1~15小题，每小题3分，共45分。
下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的。
请在答题卡上将所选项的字母涂黑。
1.某部门在一次联欢活动中共设了26个奖，奖品均价为280元，其中一等奖单价为400元，其他奖品均价为270元，一等奖的个数为
（A）6 （B）5 （C）4 （D）3 （E）2
【答案】E
【解析】设一等奖的个数为，则其他奖品个数为，由题可得：
，解得，所以答案选E。
【知识点】应用题-平均值问题
【难易度】★☆☆☆☆
2.某单位进行办公室装修，若甲、乙两个装修公司合作，需10周完成，工时费为100万元，甲公司单独做6周后由乙公司接着做18周完成，工时费为96万元。
甲公司每周的工时费为
（A）7.5万元 （B）7万元 （C）6.5万元 （D）6万元 （E）5.5万元
【答案】B
【解析】设甲公司每周工时费为万元，乙公司每周工时费为万元，根据题意可得方程组
解得。
【知识点】应用题-工程问题
【难易度】★★☆☆☆
3.如图1，已知AE=3AB，BF=2BC，若△ABC的面积是2，则△AEF的面积为
（A）14 （B）12
（C）10 （D）8 （E）6
【答案】B
【解析】利用等高三角形面积比等于底边比的性质：
故选B。
【知识点】平面几何
【难易度】★★★★☆
4.某公司投资一个项目。
已知上半年完成了预算的，下半年完成了剩余部分的，此时还有8千万元投资未完成，则该项目的预算为
（A）3亿元 （B）3.6亿元 （C）3.9亿元 （D）4.5亿元 （E）5.1亿元
【答案】B
【解析】设某公司的投资预算为亿元，则由题可知
,即，解得
所以答案选B。
【知识点】应用题
【难易度】★★★☆☆
5.如图2，圆A与圆B的半径均为1，则阴影部分的面积为
（A） （B）
（C） （D）
（E）
【答案】E
【解析】
故选E。
【知识点】平面几何
【难易度】★★★★☆
6.某容器中装满了浓度为90%的酒精，倒出1升后用水将容器注满，搅拌均匀后又倒出1升，再用水将容器注满，已知此时的酒精浓度为40%，则该容器的容积是
（A）2.5升 （B）3升 （C）3.5升 （D）4升 （E）4.5升
【答案】B
【解析】设容器的容积为，由题意得：
，解得：
，故选B。
【知识点】应用题-溶液
【难易度】★★★☆☆
7.已知为等差数列，且，则
（A）27 （B）45 （C）54 （D）81 （E）162
【答案】D
【解析】为等差数列，，已知，
所以，故选D。
【知识点】数列-等差数列的中项公式
【难易度】★★★☆☆
8.甲、乙两人上午8:
00分别自A，B出发相向而行，9:
00第一次相遇，之后速度均提高了1.5公里/小时，甲到B，乙到A后都立刻沿着原路返回。
若两人在10:
30第二次相遇，则A，B两地的距离为
（A）5.6公里 （B）7公里 （C）8公里 （D）9公里 （E）9.5
【答案】D
【解析】设两地相距S公里，甲的速度为，乙的速度为，由条件得
【知识点】应用题-行程问题
【难易度】★★☆☆☆
9.掷一枚均匀的硬币若干次，当正面向上次数大于反面向上次数时停止，则在4次之内停止的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D） （E）
【答案】C
【解析】
只抛一次：
正面向上的概率为：
抛三次，向上面依次为反正正的概率为：
：
以上两种情况相加：
，故选C。
【知识点】概率求概率
【难易度】★★★☆☆
10.若几个质数（素数）的乘积为770，则它们的和为（ ）
（A）85 （B）84 （C）28 （D）26 （E）25
【答案】E
【解析】，选E。
【知识点】数-质因数分解
【难易度】★★★☆☆
11.已知直线是圆在点处的切线，则在轴上的截距为
（A） （B） （C） （D） （E）5
【答案】D
【解析】直线是圆在点处的切线
直线为
在轴上的截距为。
选D。
【知识点】解析几何-圆的切线方程
【难易度】★★☆☆☆
12．如图3，正方体的棱长为2，F是棱的中点，则的长为
（A）3 （B）5 （C）
（D） （E）
【答案】A
【解析】由题意可知∆是直角三角形
故选A。
【知识点】立体几何-直角三角形边长公式
【难易度】★★★☆☆
13.在某项活动中，将3男3女6名志愿者随机地分成甲、乙、丙三组，每组2人，则每组志愿者都是异性的概率为
（A） （B） （C） （D） （E）
【答案】E
【解析】
志愿者随机地分成甲、乙、丙三组，每组2人的分法有：
种
志愿者随机地分成甲、乙、丙三组，每组2人，每组志愿者都是异性的分法有6种（数出）
,故选E。
【知识点】种数求概率
【难易度】★★★☆☆
14.某工厂在半径为5cm的球形工艺品上镀一层装饰金属，厚度为0.01cm.已知装饰金属的原材料是棱长为20cm的正方体锭子，则加工10000个该工艺品需要的锭子数最少为（不考虑加工损耗，）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）20
【答案】C
【解析】
每个球形工艺品需要装饰材料的体积为：
10000个所需装饰材料的体积为：
每个正方体锭子的体积为：
所以共需的定做的个数为
,即需要4个正方体锭子
故选C。
【知识点】立体几何-球的体积、正方体的体积
【难易度】★★★★☆
15．某单位决定对4个部门的经理进行轮岗，要求每位经理必须轮换到4个部门中的其他部门任职，则不同的轮岗方案有（ ）
（A）3种 （B）6种 （C）8种 （D）9种 （E）10种
【答案】D
【解析】该题属于4个数的错位排列，所以共有种。
故选D。
【知识点】排列组合-错排计数
【难易度】★★★☆☆
二、条件充分性判断：
第16-25小题，每小题3分，共30分。
要求判断每题给出的条件
（1）和
（2）能否充分支持题干所陈述的结论。
A、B、C、D、E五个选项为判断结果，请选择一项符合试题要求的判断，在答题卡上将所选字母涂黑。
A.条件
（1）充分，但条件
（2）不充分
B.条件
（2）充分，但条件
（1）不充分
C.条件
（1）和
（2）单独都不充分，但条件
（1）和
（2）联合起来充分
D.条件
（1）充分，条件
（2）也充分
E.条件
（1）和
（2）单独都不充分，条件
（1）和
（2）联合起来也不充分
16.已知曲线，则
（1）曲线过点（1，0）
（2）曲线过点（-1，0）
【答案】A
【解析】
由条件
（1）曲线过点（1，0），则有，则成立，
（1）为充分条件。
由条件
（2）曲线过点（-1，0），则有，推不出
故
（2）不充分。
【知识点】解析几何
【难易度】★☆☆☆☆
17.不等式的解集为空集。
（1）
（2）
【答案】B
【解析】
若的解集为空集，则恒成立，即函数的图像必定与x轴无交点，且最小值大于1，故，条件
（1）不是其子集，不充分，条件
（2）是其子集，充分，所以选B.
【知识点】不等式、二次函数图像-抛物线的性质
【难易度】★★★★☆
18.甲、乙、丙三人的年龄相同。
（1）甲、乙、丙三人的年龄成等差数列。
（2）甲、乙、丙三人的年龄成等比数列。
【答案】C
【解析】
（1）若当甲、乙、丙三人的年龄成等差数列时，很明显得不到三人年龄相同，故
（1）不充分。
（2）若当甲、乙、丙三人的年龄成等比数列时，很明显得不到三人年龄相同，故
（2）不充分。
条件
（1）、
（2）联合，则甲、乙、丙三人的年龄成等差数列又成等比数列，则甲=乙=丙，故
（1）
（2）联合充分，所以答案选C
【知识点】数列
【难易度】★★☆☆☆
19.设x是非零实数，则
（1）
（2）
【答案】A
【解析】
我们首先来看：
对于条件
（1），，因此
（1）充分，
对于条件
（2），，此时
因此，条件
（2）不充分
【知识点】式-立方和公式、完全平方公式
【难易度】★★★★☆
20.如图4，O是半圆的圆心，C是半圆上的一点，.则能确定OD的长。
（1）已知BC的长。
（2）已知AO的长。
【答案】A
【解析】
由于AB为圆的直径，因此在三角形ABC中，为直角
对于条件
（1），,条件
（1）充分
对于条件
（2），,但在已知AO的情况下，求不出BC的值，因此条件
（2）不充分
【知识点】平面几何-圆及三角形的性质
【难易度】★★★★☆
21.方程有实根。
（1）a,b,c是一个三角形的三边长。
（2）实数a,b,c成等差数列。
【答案】A
【解析】
方程的判别式
对于条件
（1），由三角形三边性质，有,即,方程有实根，所以
（1）充分
对于条件
（2），由等差数列性质，有,可举出反列，时,方程无实根，所以
（2）不充分
【知识点】方程-一元二次方程、等差数列
【难易度】★★★★☆
22.已知二次函数,则能确定a,b,c的值。
（1）曲线经过点（0,0）和点（1，1）
（2）曲线与直线相切
【答案】C
【解析】
对于条件
（1）：
将点（0，0）、（1，1）代入函数，可得，得不到a、b的确切值，所以
（1）不充分。
对于条件
（2）：
曲线与相切，即最小值为,无法求得a、b、c的确切值，所以
（2）不充分。
条件
（1）
（2）联合后：
，故条件
（1）
（2）联合起来充分，选C
【知识点】函数-一元二次函数的图像
【难易度】★★★★☆
23.已知袋中有红、黑、白三种颜色的球若干个，则红球最多。
（1）随机取出的一球是白球的概率为
（2）随机取出的两球中至少有一个黑球的概率小于
【答案】C
【解析】
设红球个数为m,黑球个数为n,白球个数为r
，可知红球和黑球占总数的，但无法确定红球的数量，因此条件
（1）不充分。
由条件
（2）：
至少一黑球的概率小于，即没有黑球的概率大于，即红球和白球占球总量大于，，但无法确定红球的数量，因此条件
（2）不充分。
由条件
（1）
（2）联合后：
，说明红球数量最多。
选C
【知识点】与不等式结合求概率
【难易度】★★★★☆
24.已知是一个整数的集合，则能确定集合M.
（1）a,b,c,d,e的平均值为10
（2）a,b,c,d,e的方差为2
【答案】C
【解析】条件
（1）、
（2）单独均不充分
考虑
（1）
（2）联合
由
（1）得
由
（2）得
因此，得到方程组，解为8、9、10、11、12，因此选C
【知识点】统计-方差的定义
【难易度】★★★★☆
25.已知x,y为实数，则
（1）
（2）
【答案】A
【解析】
对于条件
（1）：
对于条件
（2）：
选A.
【知识点】不等式
【难易度】★★★☆☆
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