学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语111集合的概念学案新人教A版必修第一册Word文件下载.docx
《学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语111集合的概念学案新人教A版必修第一册Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语111集合的概念学案新人教A版必修第一册Word文件下载.docx(16页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
[答案]
(1)是
(2)不是
2.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)本班的高个子同学组成集合.( )
(2)联合国常任理事国组成集合.( )
(3)由1,2,2,4,1组成的集合有五个元素.( )
(4)由a,b,c组成的集合与由b,a,c组成的集合是同一个集合.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)×
(4)√
题型一集合的基本概念
【典例1】 判断下列每组对象的全体能否构成一个集合?
(1)接近于2019的数;
(2)大于2019的数;
(3)育才中学高一
(1)班视力较好的同学;
(4)方程x2-2=0在实数范围内的解;
(5)函数y=x2图象上的点.
[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象,即元素不能模糊不清、模棱两可.
[解]
(1)(3)由于标准不明确,故不能构成集合;
(2)(4)(5)能构成集合.
对集合含义的理解
给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了,所谓“确定”,是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素,没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素.
[针对训练]
1.下列所给的对象能构成集合的是______.(填序号)
①所有的正三角形;
②比较接近1的数的全体;
③某校高一年级16岁以下的学生;
④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的全体;
⑤我校教职员工中的年轻人;
⑥
的近似值的全体.
[解析] ①能构成集合,其中的元素需满足三条边相等;
②不能构成集合,因为“比较接近1”的标准不明确,所以元素不确定,故不能构成集合;
③能构成集合,其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”;
④能构成集合,其中的元素是“平面直角坐标系内到原点距离等于1的点”;
⑤不能构成集合,因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的,故不能构成集合;
⑥不能构成集合,因为“
的近似值”不明确精确到什么程度,所以不能构成集合.
[答案] ①③④
题型二元素与集合的关系
【典例2】
(1)下列关系中,正确的有( )
①
∈R;
②
∉Q;
③|-3|∈N;
④|-
|∈Q.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
(2)集合A中的元素x满足
∈N,x∈N,则集合A中的元素为________.
[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素,关键是抓住集合中元素的特征.
[解析]
(1)
是实数;
是无理数;
|-3|=3,是自然数;
|-
|=
,是无理数.故①②③正确,选C.
(2)当x=0时,
=2;
当x=1时,
=3;
当x=2时,
=6;
当x≥3时不符合题意,故集合A中元素有0,1,2.
[答案]
(1)C
(2)0,1,2
判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法:
如果集合中的元素是直接给出,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:
对于一些没有直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
2.已知集合A中有四个元素0,1,2,3,集合B中有三个元素0,1,2,且元素a∈A,a∉B,则a的值为( )
A.0B.1
C.2D.3
[解析] ∵a∈A,a∉B,∴由元素与集合之间的关系知,a=3.
[答案] D
3.用适当的符号填空:
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数,则有:
17
________A;
-5________A.
[解析] 由题意可设x=3k+2,k∈Z,令3k+2=17得,k=5∈Z.所以17∈A.
令3k+2=-5得,k=-
∉Z.所以-5∉A.
[答案] ∈ ∉
题型三集合中元素的特性
【典例3】 已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为________.
[思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入.
[解析] 若a=1,则a2=1,此时集合A中两元素相同,与互异性矛盾,故a≠1;
若a2=1,则a=-1或a=1(舍去),此时集合A中两元素为-1,1,故a=-1.
综上所述a=-1.
[答案] -1
[变式]
(1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”,其他条件不变,求实数a的值.
(2)本例若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数a的取值范围是什么?
[解]
(1)若a=2,则a2=4,符合元素的互异性;
若a2=2,则a=
或a=-
,符合元素的互异性.
所以a的取值为2,
,-
.
(2)根据集合中元素的互异性可知,a≠a2,所以a≠0且a≠1.
应用集合元素的特性解题的要点
(1)集合问题的核心即研究集合中的元素,在解决这类问题时,要明确集合中的元素是什么.
(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性),而且是互不相同的(互异性),在书写时可以不考虑先后顺序(无序性).
(3)利用集合元素的特性求参数问题时,先利用确定性解出字母所有可能值,再根据互异性对集合中元素进行检验,要注意分类讨论思想的应用.
4.已知集合A由三个元素m,m2+1,1组成,若2∈A,求实数m的值.
[解] ∵2∈A,∴m=2或m2+1=2,
则m=2或m=±
1.
当m=2时,集合A中的元素为:
2,5,1,符合题意;
当m=1时,集合A中的元素为:
1,2,1,不满足互异性,舍去;
当m=-1时,集合A中的元素为:
-1,2,1,符合题意.
综上知,m=2或m=-1.
课堂归纳小结
1.判断一组对象的全体能否构成集合,关键是看研究对象是否确定.若研究对象不确定,则不能构成集合.
2.集合中的元素是确定的,某一元素a要么满足a∈A,要么满足a∉A,两者必居其一.这也是判断一组对象能否
构成集合的依据.
3.集合中元素的三种特性:
确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时,一定要检验是否满足集合中元素的互异性.
1.已知a∈R,且a∉Q,则a可以为( )
A.
B.
C.-2D.-
[解析]
是无理数,所以
∉Q,
∈R.
[答案] A
2.若由a2,2019a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是( )
A.a=0B.a=2019
C.a=1D.a=0或a=2019
[解析] 若集合M中有两个元素,则a2≠2019a.即a≠0,且a≠2019.故选C.
[答案] C
3.下列各组对象能构成集合的有( )
①接近于0的实数;
②小于0的实数;
③(2019,1)与(1,2019);
④1,2,3,1.
A.1组B.2组
C.3组D.4组
[解析] ①中“接近于0”不是一个明确的标准,不满足集合中元素的确定性,所以不能构成集合;
②中“小于0”是一个明确的标准,能构成集合;
③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象,是确定的,能构成集合,注意该集合有两个元素;
④中的对象是确定的,可以构成集合,根据集合中元素的互异性,可知构成的集合为{1,2,3}.
4.若方程ax2+ax+1=0的解构成的集合中只有一个元素,则a为( )
A.4B.2
C.0D.0或4
[解析] 当a=0时,方程变为1=0不成立,故a=0不成立;
当a≠0时,Δ=a2-4a=0,a=4,故选A.
5.下列说法正确的是________.
①及第书业的全体员工形成一个集合;
②2019年高考试卷中的难题形成一个集合;
③方程x2-1=0与方程x+1=0所有解组成的集合中共有3个元素;
④x,
,
,|x|形成的集合中最多有2个元素.
[解析] ①及第书业的全体员工是一个确定的集体,能形成一个集合,正确;
②难题没有明确的标准,不能形成集合,错误;
③方程x2-1=0的解为x=±
1,方程x+1=0的解为x=-1,由集合中元素的互异性知,两方程所有解组成的集合中共有2个元素1,-1,故错误;
④x=
=|x|,故正确.
[答案] ①④
课后作业
(一)
复习巩固
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B.由1,2,3和
,1,
组成的集合不相等
C.不超过20的非负数组成一个集合
D.方程(x-1)(x+1)2=0的所有解构成的集合中有3个元素
[解析] A项中元素不确定.B项中两个集合元素相同,因集合中的元素具有无序性,所以两个集合相等.D项中方程的解分别是x1=1,x2=x3=-1.由互异性知,构成的集合含2个元素.
2.已知集合A由x<
1的数构成,则有( )
A.3∈AB.1∈A
C.0∈AD.-1∉A
[解析] 很明显3,1不满足不等式,而0,-1满足不等式.
3.下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是( )
A.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
B.P是由π构成的集合,Q是由3.14159构成的集合
C.P是由元素1,
,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-
|构成的集合
D.P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集
[解析] 由于C中P、Q元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而A、B、D中元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.故选C.
4.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,则a为( )
A.2B.2或4
C.4D.0
[解析] 若a=2∈A,则6-a=4∈A;
或a=4∈A,则6-a=2∈A;
若a=6∈A,则6-a=0∉A.故选B.
[答案] B
5.由实数-a,a,|a|,
所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
[解析] 当a=0时,这四个数都是0,所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时,
=|a|=
所以一定与a或-a中的一个一致.故组成的集合中有两个元素.故选B.
二、填空题
6.给出下列关系:
∈Z;
③|-5|∉N+;
|∈Q;
⑤π∈R.
其中,正确的个数为________.
[解析] 由Z,R,Q,N+的含义,可知②⑤正确,①③④不正确.故正确的个数为2.
[答案] 2
7.由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含有3个元素,则实数a满足的条件是________.
[解析] 由元素的互异性,得
即a≠±
2,且a≠1.
[答案] a≠±
2且a≠1
8.若集合A中含有三个元素a-3,2a-1,a2-4,且-3∈A,则实数a的值为________.
[解析] ①若a-3=-3,则a=0,此时A中元素为-3,-1,-4,满足题意.
②若2a-1=-3,则a=-1,此时A中元素为-4,-3,-3,不满足元素的互异性.
③若a2-4=-3,则a=±
1.当a=1时,A中元素为-2,1,-3,满足题意;
当a=-1时,由②知不合题意.
综上可知:
a=0或a=1.
[答案] 0或1
三、解答题
9.已知集合A中含有两个元素x,y,集合B中含有两个元素0,x2,若A=B,求实数x,y的值.
[解] 因为集合A,B相等,则x=0或y=0.
①当x=0时,x2=0,B中元素为0,0,不满足集合中元素的互异性,故舍去.
②当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1.由①知x=0应舍去.
综上知:
x=1,y=0.
10.设集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x.
[解]
(1)由集合中元素的互异性可知,x≠3.
且x≠x2-2x,x2-2x≠3.
解之得x≠-1,且x≠0,x≠3.
(2)由-2∈A,知x=-2或x2-2x=-2,
当x=-2时,x2-2x=(-2)2-2×
(-2)=8.
此时A中含有三个元素3,-2,8满足条件.
当x2-2x=-2,
即x2-2x+2=0时,Δ=(-2)2-4×
1×
2=4-8<
0,
故方程无解,显然x2-2x≠-2.
综上,x=-2.
综合运用
11.下面有四个命题:
①集合N中最小的数是1;
②若-a不属于N,则a属于N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;
④x2+1=2x的解构成的集合有两个元素.
其中正确命题的个数为( )
A.0个B.1个
C.2个D.3个
[解析] ①最小的数应该是0;
②反例:
-0.5∉N,且0.5∉N;
③当a=0,b=1时,a+b=1;
④因为元素的互异性,故集合中有一个元素.
12.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( )
A.梯形B.平行四边形
C.菱形D.矩形
[解析] 由于a,b,c,d四个元素互不相同,故它们组成的四边形的四条边都不相等.
13.已知集合P中元素x满足:
x∈N,且2<
x<
a,又集合P中恰有三个元素,则整数a=________.
[解析] ∵x∈N,2<
a,且集合P中恰有三个元素,
∴整数a为6.
[答案] 6
14.若集合A中有三个元素1,a+b,a;
集合B中有三个元素0,
,b.若集合A与集合B相等,则b-a的值为______.
[解析] 由题意可知a+b=0且a≠0,∴a=-b,
∴
=-1.∴a=-1,b=1,故b-a=2.
15.集合A中共有3个元素-4,2a-1,a2,集合B中也共有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值?
若能,则求出a的值,若不能,则说明理由.
[解] ∵9∈A,∴2a-1=9或a2=9,
若2a-1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25;
B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去.
若a2=9,则a=±
3,当a=3时,A中的元素为-4,5,9;
B中的元素为9,-2,-2,B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去.
当a=-3时,A中的元素为-4,-7,9;
B中的元素为9,-8,4,符合题意.
综上所述,满足条件的a存在,且a=-3.