第四讲力与物体平衡教师用.docx

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第四讲力与物体平衡教师用

第四讲力物体平衡（教师讲义）

知识网络：

教学目标：

1.理解和掌握三种最重要的性质力—重力、弹力和摩擦力的方向、大小的计算方法。

2.理解和掌握动力的合成、分解的方法。

3.掌握力和力矩平衡的条件。

4.熟练对物体进行运用受力分析，

教学重点：

对摩擦力和弹力的理解、熟练运用平行四边形定则进行力的合成和分解。

教学难点：

难点是受力分析。

教学方法：

复习、总结、巩固练习；讲练结合。

教学过程：

内容一力的概念三种性质力

知识点梳理

一、力：

1、概念：

力是是物体对物体的作用，不能离开实力物体和受力物体而存在。

（1）力不能离开物体而独立存在，有力就一定有“施力”和“受力”两个物体。

二者缺一不可。

（2）力的作用是相互的。

（3）力的作用效果：

①形变

②改变运动状态

（4）力的图示（黑板演示）

2、分类：

（1）按性质分：

重力（万有引力）、弹力、摩擦力、分子力、电场力、磁场力……

（2）按效果分：

压力、支持力、拉力、动力、阻力、向心力、回复力……

【例1】下列各组力中，都根据力的性质命名的是（）

A、重力、动力、分子力B、重力、弹力、摩擦力

C、电场力、磁力、浮力D、压力、拉力、阻力

解析：

根据力的分类标准可以得到答案选D

点拨：

力的分类具有绝对的意义，并且“效果力”大多是其它力的合力或是某一个力的分力。

二、重力：

1．定义：

由于地球的吸引而使物体受到的力。

2．方向：

总是竖直向下

3．大小：

G＝mg

注意：

重力是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转所需的向心力，在两极处重力等于万有引力。

由于重力远大于向心力，一般情况下近似认为重力等于万有引力。

4.重心：

重力的等效作用点。

重心的位置与物体的形状及质量的分布有关。

重心不一定在物体上。

质量分布均匀、形状规则的物体，重心在几何中心上．薄板类物体的重心可用悬挂法确定。

三、弹力：

1．定义：

是物体发生形变后由于要恢复原状而产生的力

2．产生条件

（1）两个物体直接接触

（2）并发生弹性形变（也就是要有挤压）

3．方向

（1）压力、支持力的方向总是垂直于接触面。

（2）绳对物体的拉力总是沿着绳收缩的方向。

（3）杆对物体的弹力不一定沿杆的方向。

如果轻直杆只有两个端点受力而处于平衡状态，则轻杆两端对物体的弹力的方向一定沿杆的方向。

4．弹力的大小

对有明显形变的弹簧，弹力的大小可以由胡克定律计算。

对没有明显形变的物体，如桌面、绳子等物体，弹力大小由物体的受力情况和运动情况共同决定。

胡克定律可表示为（在弹性限度内）：

F=kx，还可以表示成ΔF=kΔx，即弹簧弹力的改变量和弹簧形变量的改变量成正比。

【例2】下列关于弹力产生的说法中正确的是（）。

A、相互接触的物体之间一定能产生弹力

B、物体之间不直接接触也可能产生弹力

C、任何物体只要有形变就一定有弹力产生

D、两个物体接触，如果没有形变，就不产生弹力

解析：

A、B和D容易由弹力产生的条件判断，A缺少挤压，也缺少形变的条件，B答案中缺少接触的条件，D缺少形变不产生弹力。

C答案容易选错，有弹力的定义弹力是物体发生形变，要恢复原状而产生的一种力，如果没有恢复能力，就没有弹力，所以答案为D，

点拨：

判断物体产不产生弹力，首先要明确形变是否在弹性限度范围内，其次在看他是否满足弹力产生的两个条件。

四、摩擦力：

1．定义：

两个互相接触的物体，当它们有相对运动或相对运动趋势时存在一个阻碍作用的力，就是摩擦力

2．摩擦力产生条件

（1）两物体直接接触且相互挤压

（2）接触面粗糙

（3）有相对运动或相对运动的趋势。

以上三个条件缺一不可。

两物体间有弹力是这两物体间有摩擦力的必要条件。

（没有弹力不可能有摩擦力）

3．滑动摩擦力大小

（1）在接触力中，必须先分析弹力，再分析摩擦力。

（2）只有滑动摩擦力才能用公式F=μFN，其中的FN表示正压力，不一定等于重力G

静摩擦力大小

（1）必须明确，静摩擦力大小不能用滑动摩擦定律F=μFN计算，只有当静摩擦力达到最大值时，其最大值一般可认为等于滑动摩擦力，既Fm=μFN

（2）静摩擦力的大小要根据物体的受力情况和运动情况共同确定，其可能的取值范围是：

0＜Ff≤Fm

4．摩擦力方向

（1）摩擦力方向和物体间相对运动（或相对运动趋势）的方向相反。

（2）摩擦力的方向和物体的运动方向可能成任意角度。

通常情况下摩擦力方向可能和物体运动方向相同（作为动力），可能和物体运动方向相反（作为阻力），可能和物体速度方向垂直（作为匀速圆周运动的向心力）。

在特殊情况下，可能成任意角度

【例3】下列说法正确的是（）

A、在相对静止的两物体间一定存在静摩擦力

B、运动着的物体不可能受到静摩擦力的作用

C、滑动摩擦力的方向总是与物体的相对运动方向相反

D、摩擦力随物体间正压力的增大而增大

解析：

A中静摩擦力产生一定要用相对运动趋势才行，B有可能，比如木块在传送带上随传送带一起加速运动，相对于地面它是运动的，C正确，D，滑动摩擦力满足这个条件，但静摩擦力由受力情况决定，答案为C

点拨：

摩擦力有两种；滑动摩擦力和静摩擦力，它们的产生条件有一点差别，它们的大小的计算方式完全不同，弹力、静摩擦力的大小和方向都无法由公式直接计算得出，而是由物体的受力情况和运动情况共同决定的。

五、物体的受力分析：

1．明确研究对象

在进行受力分析时，研究对象可以是某一个物体，也可以是保持相对静止的若干个物体。

在解决比较复杂的问题时，灵活地选取研究对象可以使问题简洁地得到解决。

研究对象确定以后，只分析研究对象以外的物体施予研究对象的力（即研究对象所受的外力），而不分析研究对象施予外界的力。

2．按顺序找力

先场力（重力、电场力、磁场力），后接触力；接触力中必须先弹力，后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力）。

3．只画性质力，不画效果力

画受力图时，只能按力的性质分类画力，不能按作用效果（拉力、压力、向心力等）画力，否则将出现重复。

4．需要合成或分解时，必须画出相应的平行四边形（或三角形）

在解同一个问题时，分析了合力就不能再分析分力；分析了分力就不能再分析合力，千万不可重复。

【例4】质量为m的物块静止在质量为M的斜面体上，当对物体m施加一个由零逐渐增大到F的水平推力过程中，物块和斜面体始终保持静止状态，如图所示，则在此过程中，下列判断正确的是：

（）

A、斜面体对物块的支持力不断增大

B、地面对斜面体的支持力不断增大

C、斜面体对物块的静摩擦力不断增大

D、地面对斜面体的静摩擦力不断增大

解析：

首先用整体法；进行受力分析，受两物体的重力，大小为（M+m）g,方向竖直向下，地面的支持力N，垂直支持面向上，水平向右的推力F，及地面对斜面的静摩擦力f，由两个物体始终处于静止状态，受力平衡，则有N=（M+m）g,f=F。

可以得出N始终不变，f不断随F增大。

其次用隔离法：

对物块进行受力分析，（老师在黑板上演示），受重力，斜面的支持力N1，推力F及斜面对它的静摩擦力f1作用而平衡，得出N1=mgcosθ+Fsinθ,f1=Fcosθ-mgsinθ.所以斜面对物块的静摩擦力无法判断，斜面对物块的支持力不断地增大。

综上答案选AD

点拨：

由本题可以知道：

①灵活地选取研究对象可以使问题简化，学会用整体法和隔离法解题②灵活选定坐标系的方向也可以使计算简化。

后面在力的平衡中还会讲解。

课堂练习

1．下列关于力的说法，正确的是（）

A．两个物体一接触就会产生弹力

B．物体的重心不一定在物体上

C．滑动摩擦力的方向和物体运动方向相反

D．悬挂在天花板上的轻质弹簧在挂上重2N的物体后伸长2cm静止，那么这根弹簧伸长1cm后静止时，它的两端各受到1N的拉力

2．如图所示，在粗糙的水平面上叠放着物体A和B，A和B间的接触面也是粗糙的，如果用水平拉力F拉A，但A、B仍保持静止，则下面的说法中正确的是（）。

A．物体A与地面间的静摩擦力的大小等于F

B．物体A与地面的静摩擦力的大小等于零

C．物体A与B间的静摩擦力的大小等于F

D．物体A与B间的静摩擦力的大小等于零

3．关于两物体之间的弹力和摩擦力，下列说法中正确的是（）

A．有摩擦力一定有弹力

B．摩擦力的大小与弹力成正比

C．有弹力一定有摩擦力

D．弹力是动力，摩擦力是阻力

4．如上图所示，用水平力F将物体压在竖直墙壁上，保持静止状态，物体所受的摩擦力的大小（）

A．随F的增大而增大B．随F的减少而减少

C．等于重力的大小D．可能大于重力

5．用手握着一个玻璃杯，处于静止状态。

如果将手握得更紧，手对玻璃杯的静摩擦力将，如果手的握力不变，而向杯中倒入一些水（杯仍处于静止状态），手对杯的静摩擦力将。

6．一木块放在水平桌面上，在水平方向共受到两个拉力作用，拉力的大小如图所示，物体处于静止状态，

（1）若只撤去10N的拉力，则物体能否保持静止状态？

；

（2）若只撤去2N的力，物体能否保持静止状态？

。

7．如图所示，在μ=0.2的粗糙水平面上，有一质量为10kg的物体以一定的速度向右运动，同时还有一水平向左的力F作用于物体上，其大小为10N，则物体受到的摩擦力大小为______，方向为_______．（g取10N/kg）

8．如图所示，重20N的物体，在动摩擦因数为0.1的水平面上向左运动，同时受到大小为10N水平向右的力F作用，物体所受摩擦力的大小为，方向为。

参考答案：

1.BD2．AD3．A4．C5．不变；变大6．最大静摩擦力fm≥8N，若只撤去10N的拉力，则物体能保持静止；若只撤去2N的力，物体可能保持静止也可能产生滑动。

7．20N，水平向左8．2N，水平向右

内容二力的合成和分解

知识点梳理

一、标量和矢量：

1．将物理量区分为矢量和标量体现了用分类方法研究物理问题的思想。

2．矢量和标量的根本区别在于它们遵从不同的运算法则：

标量用代数法；矢量用平行四边形定则或三角形定则。

矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则（可简化成三角形定则）。

平行四边形定则实质上是一种等效替换的方法。

一个矢量（合矢量）的作用效果和另外几个矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用这一个矢量代替那几个矢量，也可以用那几个矢量代替这一个矢量，而不改变原来的作用效果。

二、力的合成与分解：

力的合成与分解体现了用等效的方法研究物理问题。

合成与分解是为了研究问题的方便而引人的一种方法．用合力来代替几个力时必须把合力与各分力脱钩，即考虑合力则不能考虑分力，同理在力的分解时只考虑分力而不能同时考虑合力。

1、力的合成：

（1）力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用，这个力就是那几个力的“等效力”（合力）。

力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律。

（2）平行四边形定则可简化成三角形定则。

由三角形定则还可以得到一个有用的推论：

如果n个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n个力的合力为零。

（3）共点的两个力合力的大小范围是

|F1－F2|≤F合≤F1＋F2

（4）共点的三个力合力的最大值为三个力的大小之和，最小值可能为零。

【例5】如图是描述两个力与它们的合力的关系图，下列说法中，正确的是：

（）

A、F1是表示合力

B、F2是表示合力

C、F3是表示合力

D、Fl、F2、F3都有可能是表示合力

解析：

本题主要考查合力的计算规则：

平行四边形（或三角形）原则，有图可以看出只有F1可以表示为F2，F3的三角形矢量加法。

2、力的分解：

（1）力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。

（2）两个力的合力惟一确定，一个力的两个分力在无附加条件时，从理论上讲可分解为无数组分力，但在具体问题中，应根据力实际产生的效果来分解。

（3）几种有条件的力的分解

①已知两个分力的方向，求两个分力的大小时，有唯一解。

②已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向时，有唯一解。

③已知两个分力的大小，求两个分力的方向时，其分解不惟一。

④已知一个分力的大小和另一个分力的方向，求这个分力的方向和另一个分力的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一。

（4）用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律：

①当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直。

如图所示，F2的最小值为：

F2min=Fsinα

②当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是：

所求分力F2与合力F垂直，如图所示，F2的最小值为：

F2min=F1sinα

③当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是：

已知大小的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为｜F－F1｜

（5）正交分解法：

把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。

用正交分解法求合力的步骤：

①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向

②把各个力向x轴、y轴上投影，但应注意的是：

与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向

③求在x轴上的各分力的代数和Fx合和在y轴上的各分力的代数和Fy合

④求合力的大小

，合力的方向：

tanα=

（α为合力F与x轴的夹角）

点评：

力的正交分解法是把作用在物体上的所有力分解到两个互相垂直的坐标轴上，分解最终往往是为了求合力（某一方向的合力或总的合力）。

【例6】如图所示，两个大人和一个小孩沿河岸拉一条船前进，两个大人的拉力分别是F1=400N和F2=320N，F1、F2的方向分别与河岸成600和300角。

要使船在河流中间行驶，求小孩对船施加的最小力的大小和方向。

解析：

解法一：

利用正交分解法

以水平方向为x轴，竖直方向为y轴，F1，F2的交点为原点建立坐标系将F1，F2分解在x轴，y轴上，要是要使船在河流中间行驶必须满足的条件是：

在垂直河岸的方向（也就是y轴）上没有力，小孩最小的应该在y轴负方向。

大小为F1，F2分解在y轴上的合力大小。

解法二先求处F1，F2的合力F再用作图法求解

x

【例7】质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为µ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪个?

（）A．µmgＢ．µ（mg+Fsinθ）

Ｃ．µ（mg+Fsinθ）Ｄ．Fcosθ

解析：

木块匀速运动时受到四个力的作用：

重力mg、推力F、支持力FN、摩擦力Fµ．沿水平方向建立x轴，将F进行正交分解如图（这样建立坐标系只需分解F），由于木块做匀速直线运动，所以，在x轴上，向左的力等于向右的力（水平方向二力平衡）；在y轴上向上的力等于向下的力（竖直方向二力平衡）．即

Fcosθ＝Fµ①

FN＝mg+Fsinθ②

又由于Fµ＝µFN③

∴Fµ＝µ（mg+Fsinθ）故Ｂ、Ｄ答案是正确的．

点拨：

（1）在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用。

也就是说，在分析问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量。

（2）矢量的合成分解，一定要认真作图。

在用平行四边形定则时，分矢量和合矢量要画成带箭头的实线，平行四边形的另外两个边必须画成虚线。

（3）各个矢量的大小和方向一定要画得合理。

（4）在应用正交分解时，两个分矢量和合矢量的夹角一定要分清哪个是大锐角，哪个是小锐角，不可随意画成45°。

（当题目规定为45°时除外）

三、力的合成和分解的综合应用举例

【例8】如图（甲）所示．质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β为多大时，AO所受压力最小？

解析：

虽然题目问的是挡板AO的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因挡板所受力均为未知力，将无法得出结论．以球为研究对象，球所受重力产生的效果有两个：

对斜面产生的压力N1、对挡板产生的压力N2，根据重力产生的效果将重力分解，如图（乙）所示，

当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，N1大小改变但方向不变，始终与斜面垂直，N2的大小和方向均改变，如图（乙）中虚线由图可看出挡板AO与斜面垂直时β=90°时，挡板AO所受压力最小，最小压力N2min=mgsinα。

课堂练习

1．如图所示．有五个力作用于一点P，构成一个正六边形的两个所示，

邻边和三条对角线，设F3=10N，则这五个力的合力大小为（）

A．10（2＋

）NB．20N

C．30ND．0

2．关于二个共点力的合成．下列说法正确的是（）

A．合力必大于每一个力

B．合力必大于两个力的大小之和

C．合力的大小随两个力的夹角的增大而减小

D．合力可以和其中一个力相等，但小于另一个力

3．如图所示质量为m的小球被三根相同的轻质弹簧a、b、c拉住，c竖直向下a、b、c三者夹角都是120°，小球平衡时，a、b、c伸长的长度之比是3∶3∶1，则小球受c的拉力大小为（）

A．mgB．0.5mg

C．1.5mgD．3mg

4．如图所示．物体处于平衡状态，若保持a不变，当力F与水平方向夹角β多大时F有最小值（）

A．β＝0B．β＝

C．β＝αD．β＝2α

5．如图所示一条易断的均匀细绳两端固定在天花板的A、B两点，今在细绳O处吊一砝码，如果OA＝2BO，则（）

A．增加硅码时，AO绳先断

B．增加硅码时，BO绳先断

C．B端向左移，绳子易断

D．B端向右移，绳子易断

6．图所示，A、A′两点很接近圆环的最高点．BOB′为橡皮绳，∠BOB′＝120°，且B、B′与OA对称．在点O挂重为G的物体，点O在圆心，现将B、B′两端分别移到同一圆周上的点A、A′，若要使结点O的位置不变，则物体的重量应改为

A．GB．

C．

D．2G

7．长为L的轻绳，将其两端分别固定在相距为d的两坚直墙面上的A、B两点。

一小滑轮O跨过绳子下端悬挂一重力为G的重物C，平衡时如图所示，求AB绳中的张力。

8．如图所示，质量为m，横截面为直角形的物快ABC，∠ABC＝α，AB边靠在竖直墙上，F是垂直于斜面BC的推力，现物块静止不动，求摩擦力的大小。

参考答案：

1．C2．B3．B4．C5．BD6．D7．FT＝

8．f=mg+Fsinα

内容三共点力作用下物体的平衡

知识点梳理

1、共点力：

定义：

几个力作用于物体的同一点，或它们的作用线交于同一点（该点不一定在物体上），这几个力叫共点力。

2、共点力的平衡条件：

在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F合＝0或Fx合＝0，Fy合＝0

3、判定定理：

物体在三个互不平行的力的作用下处于平衡，则这三个力必为共点力。

（表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形）

4、解题方法：

当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；当物体在三个共点力作用下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则；当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法。

5、解题步骤：

①选取研究对象（物体或结点）；

②对研究对象进行受力分析；

③建立适当的坐标系或画出力的三角形

④列方程，解出结果。

【例9】氢气球重10N，空气对它的浮力为16N，用绳拴住，由于受水平风力作用，绳子与竖直方向成30°角，则绳子的拉力大小是__________，水平风力的大小是________.

解析：

气球受到四个力的作用：

重力G、浮力F1、水平风力F2和绳的拉力F3，如图所示由平衡条件可得

F1=G+F3cos30°①

F2=F3sin30°②

解得F3=

NF1=2

N

6、综合应用举例：

（1）、静平衡问题的分析方法：

【例10】如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。

一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°。

两小球的质量比

为（）

A．

B．

C．

D．

解析：

小球受重力m1g、绳拉力F2=m2g和支持力F1的作用而平衡。

如图乙所示，由平衡条件得，F1=F2，

，得

。

故选项A正确。

点拨：

此题设计巧妙，考查分析综合能力和运用数学处理物理问题的能力，要求考生对于给出的具体事例，选择小球m1为对象，分析它处于平衡状态，再用几何图形处理问题，从而得出结论。

（2）、动态平衡类问题的分析方法：

【例11】重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。

若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？

解析：

由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。

应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动90°过程，F2矢量也逆时针转动90°，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大。

（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）

点拨：

力的图解法是解决动态平衡类问题的常用分析方法。

这种方法的优点是形象直观。

【例12】如图7所示整个装置静止时，绳与竖直方向的夹角为30º。

AB连线与OB垂直。

若使带电小球A的电量加倍，带电小球B重新稳定时绳的拉力多大？

解析：

小球A电量加倍后，球B仍受重力G、绳的拉力T、库伦力F，但三力的方向已不再具有特殊的几何关系。

若用正交分解法，设角度，列方程，很难有结果。

此时应改变思路，并比较两个平衡状态之间有无必然联系。

于是变正交分解为力的合成，注意观察，不难发现：

AOB与FBT′围成的三角形相似，则有：

AO/G=OB/T。

说明系统处于不同的平衡状态时，拉力T大小不变。

由球A电量未加倍时这一特殊状态可以得到：

T=Gcos30º。

球A电量加倍平衡后，绳的拉力仍是Gcos30º。

点评：

相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

（3）、平衡问题中的极值分析：

【例13】跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上（如图l—4－3（甲）所示），已知物体A的质量为m，物体A与斜面的动摩擦因数为μ（μ

解析：

先选物体B为研究对象，它受到重力mBg和拉力T的作用，根据平衡条件有：

T=mBg①

再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力N、轻绳拉力T和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图（乙）所示，根据平衡条件有：

N-mgcosθ＝0②

T-fm-mgsinθ＝0③

由摩擦力公式知：

fm=μN④

以上四式联立解得mB=m（sinθ＋μcosθ）

再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：

N-mgcosθ=0⑤

T＋fm-mgsinθ=0⑥

由摩擦力公式知：

fm=μN⑦

①⑤⑥⑦四式联立解得mB=m（sinθ-μcosθ）

综上所述，