小升初数学总复习归类讲解及训练4-圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积.doc

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小学数学总复习归类讲解及训练4-圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积

（四）

主要内容

圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积

学习目标

1、使学生在观察、操作、交流等活动中感知和发现圆柱、圆锥的特征，知道圆柱和圆锥的底面、侧面和高。

2、使学生理解圆柱侧面积和圆柱表面积的含义，掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。

3、使学生在活动中进一步积累认识立体图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。

4、使学生进一步体验立体图形与生活的关系，感受立体图形的学习价值，提高学习数学的兴趣和学好数学的信心。

考点分析

1、圆柱上、下两个面叫做圆柱的底面，它们是完全相同的两个圆。

形成圆柱的面还有一个曲面，叫做圆柱的侧面。

圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。

2、圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是一个曲面。

从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

3、把圆柱的侧面展开得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。

4、圆柱的侧面积=底面周长×高

5、圆柱的表面积=侧面积+底面积×2

典型例题

例1、（圆柱和圆锥的特征）圆柱和圆锥分别有什么特点？

分析与解：

长方体和正方体的六个面都是平面图形（长方形或正方形），而圆柱和圆锥除了底面是平面图形（圆）外，都有一个曲面。

圆柱和圆锥的特征见下表。

圆柱

圆锥

底面

两个底面完全相同，都是圆形。

一个底面，是圆形。

侧面

曲面，沿高剪开，展开后是长方形。

曲面，沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开，展开后是扇形。

高

两个底面之间的距离，有无数条。

顶点到底面圆心的距离，只有一条。

例2、求下面立体图形的底面周长和底面积。

半径3厘米直径10米

分析与解：

根据圆的面积和周长计算公式计算圆柱和圆锥的底面周长和底面积。

圆柱：

底面周长3.14×3×2=18.84（厘米）

底面积3.14×3²=28.26（平方厘米）

圆锥：

底面周长3.14×10=31.4（米）

底面积3.14×（10÷2）²=78.5（平方米）

点评：

圆柱和圆锥的底面都是圆，在计算它们的周长和面积时只要按照圆的周长和面积计算公式进行计算。

例3、判断：

圆柱和圆锥都有无数条高。

错误解法：

正确

分析与解：

圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。

正确解答：

错误

点评：

圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。

两个底面之间有无数个对应的点，圆柱有无数条高。

从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

顶点和底面圆心都是唯一的点，所以圆锥只有一条高。

例4、（圆柱的侧面积）体育一个圆柱，底面直径是5厘米，高是12厘米。

求它的侧面积。

分析与解：

高

底面周长

沿着圆柱侧面的一条高剪开，将侧面展开，就得到一个长方形。

这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。

因此，用圆柱的底面周长乘圆柱的高就得到这个长方形的面积，即圆柱的侧面积。

解答：

3.14×5×12=188.4（平方厘米）

答：

它的侧面积是188.4平方厘米。

点评：

圆柱的侧面是个曲面，不能直接求出它的面积。

推导出侧面积的计算公式也用到了转化的思想。

把这个曲面沿高剪开，然后平展开来，就能得到一个长方形，这个长方形的面积就是这个圆柱的侧面积。

例5、（圆柱的表面积）

做一个圆柱形油桶，底面直径是0.6米，高是1米，至少需要多少平方米铁皮？

（得数保留整数）

分析与解：

求铁皮的面积，就是求圆柱形油桶的表面积，即两个底面积和一个侧面积的和。

解答：

底面积：

3.14×（0.6÷2）²=0.2826（平方米）

侧面积：

3.14×0.6×1=1.884（平方米）

表面积：

0.2826×2+1.884=2.4492（平方米）≈3（平方米）

答：

至少需要铁皮3平方米。

点评：

这里不能用四舍五入法取近似值。

因为在实际生活中使用的材料要比计算得到的结果多一些。

因此这儿保留整数，十分位上虽然是4，但也要向个位进1。

例6、（辨析）一个无盖的圆柱铁皮水桶，底面直径是30厘米，高是50厘米。

做这样一个水桶，至少需用铁皮6123平方厘米。

分析与解：

题目中是做一个无盖的圆柱铁皮水桶，只有一个底面。

在计算铁皮面积时只要用圆柱的侧面积加上一个底面的面积。

解答：

底面积：

3.14×（30÷2）²=706.5（平方厘米）

侧面积：

3.14×30×50=4710（平方厘米）

表面积：

706.5+4710=5416.5（平方厘米）

答：

做这样一个水桶，至少需用铁皮5416.5平方厘米。

例7、（考点透视）一个圆柱的侧面积展开是一个边长15.7厘米的正方形。

这个圆柱的表面积是多少平方厘米？

分析与解：

圆柱的侧面积展开是一个正方形，即圆柱的高和底面周长都是15.7厘米。

根据圆柱的底面周长可以算出底面积。

解答：

底面半径：

15.7÷3.14÷2=2.5（厘米）

底面积：

3.14×2.5²=19.625（平方厘米）

侧面积：

15.7×15.7=246.49（平方厘米）

表面积：

19.625×2+246.49=285.74（平方厘米）

答：

这个圆柱的表面积是285.74平方厘米。

例8、（考点透视）一个圆柱形的游泳池，底面直径是10米，高是4米。

在它的四周和底部涂水泥，每千克水泥可涂5平方米，共需多少千克水泥？

分析与解：

要求水泥的质量，先要求水泥的面积。

在圆柱形的游泳池的四周和底部涂水泥，涂水泥的面积是一个底面积加上侧面积。

解答：

侧面积：

3.14×10×4=125.6（平方米）

底面积：

3.14×（10÷2）²=78.5（平方米）

涂水泥的面积：

125.6+78.5=204.1（平方米）

水泥的质量：

204.1÷5=40.82（千克）

答：

共需40.82千克水泥。

例9、（考点透视）把一个底面半径是2分米，长是9分米的圆柱形木头锯成长短不同的三小段圆柱形木头，表面积增加了多少平方分米？

分析与解：

锯圆柱形木头，表面积增加的部分是若干个相同的底面积。

锯成三段，要锯两次，每锯一次增加两个面，锯了两次增加了四个面。

3.14×2²×4=50.24（平方分米）

答：

表面积增加了50.24平方分米。

点评：

这是一道在实际生活中应用的题目，对于这一类题目，它的规律就是每切一次就增加两个面。

但切的方式不同，增加的面也不同。

如果是沿着底面直径把圆柱切成相同的两个部分，增加的面就是以底面直径和高为两邻边的长方形。

模拟试题

下面（）图形旋转会形成圆柱。

3、在下图中，以直线为轴旋转，可以得出圆锥的是（）。

4、求下列圆柱体的侧面积

（1）底面半径是3厘米，高是4厘米。

（2）底面直径是4厘米，高是5厘米。

（3）底面周长是12.56厘米，高是4厘米。

5、求下列圆柱体的表面积

（1）底面半径是4厘米，高是6厘米。

（2）底面直径是6厘米，高是12厘米。

（3）底面周长是25.12厘米，高是8厘米。

6、用铁皮制作一个圆柱形烟囱，要求底面直径是3分米，高是15分米，制作这个烟囱至少需要铁皮多少平方分米？

（接头处不计，得数保留整平方分米）

7、请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。

8、一个圆柱形蓄水池，底面周长是25.12米，高是4米，将这个蓄水池四周及底部抹上水泥。

如果每平方米要用水泥20千克，一共要用多少千克水泥？

  例2、用宽4米，长8.28米的厚铁皮做一个带盖的油桶，要求尽量少浪费材料又要把油桶做大些并把油桶涂上漆，计算油桶油漆

1.牙膏厂将牙膏口的直径由原来的0.4厘米改为0.5厘米。

如果每人每天用牙膏的长度是2厘米左右，一年里，每个人大约要比原来多用去多少立方厘米牙膏？

2.一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长15米，横截面是一个半径2米的半圆。

（1）搭建这个大棚至少要用多少平方米的塑料薄膜？

（2）大棚内的空间大约有多大？

3.有两个底面半径相等的圆柱，高的比是2：

5。

第二个圆柱的体积是175立方厘米，第二个圆柱的体积比第一个圆柱多多少立方厘米？

4.蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成。

圆柱的底面直径是6米，高是2米；圆锥的高是1米。

蒙古包所占的空间大约是多少立方米？

5.一种压路机的前轮是圆柱形状的，轮宽1.6米，直径0.8米。

前轮滚动一周，压路的面积是多少平方米？

5.一个圆柱形水桶，高6分米。

水桶底部的铁箍大约长15.7分米。

（1）做这个水桶至少用去木板多少平方分米？

（2）这个水桶能盛120升水吗？

6.一种圆柱形的饮料罐，底面直径7厘米，高12厘米。

将24罐这样的饮料放入一个长方体的纸箱。

（1）这个长方体的纸箱的长、宽、高至少各是多少厘米？

（2）这个纸箱的容积至少是多少？

（3）做一个这样的纸箱，至少要用硬纸板多少平方厘米？

（纸箱盖和箱底的重叠部分按2000平方厘米计算）

7.一个圆柱形木料长2米，将这根木料沿长锯掉8分米，表面积减少了50.24平方分米。

这根木料原来的体积是多少立方分米？

8.把一段长20分米的圆柱形木头沿着底面直径劈开，表面积增加80平方分米，原来这段圆柱形木头的表面积是多少？

9.一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差50.24立方厘米。

如果圆锥体的底面半径是2厘米，这个圆锥体的高是多少厘米？

10.两个底面积相等的圆柱，一个圆柱的高是7分米，体积是56立方分米，另一个圆柱的高5分米，另一个圆柱的体积是多少立方分米？

（用比例解）

11.直角三角形ABC，两条直角边是AB和BC,已知AB=8厘米，BC=7厘米，以AB边为轴旋转一周，可以得到一个什么形体？

这个形体的体积是多少立方厘米？

1、切割、拼接表面积增加、减少问题。

例：

一个圆柱高15分米，底面积是3.14平方分米，把它截成两个同样的小圆柱后，表面积比原来增加了（  ）平方分米。

注：

这是切割表面积增加问题，而且是切成两个小圆柱，切一次（两个小圆柱），

  表面积增加两个底面圆的面积。

题目变形：

1、沿直径切，增加的是（长是圆柱的高，宽是圆柱的直径）这样的长方形。

          例：

一个圆柱沿底面的一条直径纵切后，可以得到一个边长6厘米的正方形截面，

          这个圆柱的体积是（  ）。

      2、切的次数变化，切一次增加两个面

        例：

一个长是120厘米的圆柱，把它截成9个小圆柱所得的表面积总和，比截成6个小圆柱所得的表面积总和多180平方厘米，原来的圆柱的体积是多少？

        3、扩展到正方体、长方体。

        例1：

把一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木块锯成两个小长方体，表面积至少增加（  ）平方厘米，至多增加（  ）平方厘米。

      例2：

一个长2米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加2.4平方分米，这根钢材原来的体积是（    ）。

2、高增加减少，表面积增加减少问题。

例：

有一个圆柱体，如果把高增加2厘米后，表面积增加了50.24平方厘米，原圆柱体的底面积是（  ）。

注：

高增加，圆柱表面积增加的只是侧面积。

解析：

根据题目条件可先求出底面周长，然后再求半径，最后可以求出底面积。

变形题目：

一个长方体，如果长减少2厘米，就成为一个正方体，这时，正方体的表面积是

      96平方厘米，原来长方体的体积是（  ）。

3、把一个直径是2分米的圆柱体的底面分成许多相等的扇形，然后沿直径把圆柱切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面比原来圆柱体表面积增加7平方分米，这个长方体的体积是（  ）立方分米。

  注：

表面积增加的是两个（长为圆柱半径，宽为圆柱高）这样的长方形。

4、实际问题求表面积

  例：

一根2米长的通风管，横截面是直径为2分米的圆，制作这个通风管至少需要铁皮多少平方分米？

注：

没有底面

归纳：

无底面：

通风管、烟囱、教学楼里的支撑柱、出水管

    有一个底面：

鱼缸、厨师帽

提高题：

一个钢管，长30厘米，内直径8厘米，外直径10厘米，求它的表面积。

5、难点题：

表面积最大，做一个圆柱省料问题

  例1、用一个长是8厘米，宽是6厘米，高是4厘米的长方体做一个圆柱体，这个圆柱体的侧面积最大是多少？

如果让圆柱的表面积最大，那么最大是多少？