新人教版六年级数学上册讲义.doc
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第一单元分数乘法
一、分数乘法的意义：
1.分数乘整数与整数乘法的意义相同。
都是求几个相同加数的和的简便运算。
例如：
×5表示求5个的和是多少？
也表示的5倍是多少？
5×表示求5的是多少？
2.分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。
例如：
×表示求的是多少？
二、分数乘法的计算法则：
1.分数与整数相乘：
分子与整数相乘的积做分子，分母不变。
（整数和分母约分）
2.分数与分数相乘：
用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。
3.为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。
▲（注意：
当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
）
4.分数连乘的计算方法：
先约分，就是把所有的分子中可与分母相约的数先约分，再用分子乘分子作积的分子，分母乘分母作积的分母。
三、规律：
（乘法中比较大小时）
一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。
一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。
一个数（0除外）乘1，积等于这个数。
四、分数混合运算的运算顺序
依据：
分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
没有括号的混合运算：
同级运算从左往右一次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。
有括号的混合运算：
先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
▲注：
加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
五、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律：
a×b＝b×a
乘法结合律：
a×b×c＝（a×b）×c＝a×（b×c）＝（a×c）×b
乘法分配律：
a×（b＋c）＝a×b＋a×c a×b＋a×c=a×（b＋c）
第三单元分数除法
一、倒数
1.倒数的意义：
乘积是1的两个数互为倒数。
▲强调：
互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。
（要说清谁是谁的倒数）
2.求倒数的方法：
求分数的倒数：
交换分子分母的位置。
求整数的倒数：
把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。
求带分数的倒数：
把带分数化为假分数，再求倒数。
④求小数的倒数：
把小数化为分数，再求倒数。
▲倒数归纳：
对于任意数，它的倒数为；非零整数的倒数为；分数的倒数是；
1的倒数是1；0没有倒数。
因为1×1=1；0乘任何数都得0，（分母不能为0）
真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。
二、分数除法
1.分数除法的意义：
乘法:
因数×因数=积除法:
积÷一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
2.分数除法的计算法则：
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
3.规律（分数除法比较大小时）：
当除数大于1，商小于被除数；
当除数小于1（不等于0），商大于被除数；
当除数等于1，商等于被除数。
4.分数四则运算的顺序和整数的四则运算顺序相同。
没有括号的混合运算：
同级运算从左往右一次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。
有括号的混合运算：
先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
▲注：
加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
常见分数、小数互化表
1.熟练的掌握常见分数和小数的互化，对于提高运算速度，增强数感，有着很好的帮助。
2.记忆方法：
（1）可以用一张卡片盖住左边的分数，看着小数说出与相等的分数，再交换。
（2）C列分数化小数的记法：
分子乘5，小数点向左移动两位。
（3）D、E两列分数化小数的记法：
分子乘4，小数点向左移动两位。
3
第四单元比
一、比的意义
1.定义：
两个数的比表示两个数相除。
2.在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
比的后项不能为0，因为比的后项相当于除法中的除数，除数不能为0.
例如：
15：
10=15÷10=（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）
前项比号后项比值
3.求比值的方法：
用比的前项除以比的后项。
4.区分比和比值
比：
表示两个数的倍数关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。
（有比的前项和比的后项）
比值：
相当于商，是一个数，是一个结果，可以是整数，分数，也可以是小数。
5.根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
例如3：
2也可以写成，仍读作“3:
2”。
比和除法、分数的联系
名称
相互关系
区别
比
前项
比号“：
”
后项
比值
两个数的关系
除法
被除数
除号“÷”
除数
商
一种运算
分数
分子
分数线“—”
分母
分数值
一种数
6.根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
▲注：
体育比赛中出现两队的分是2：
0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。
二、比的基本性质
1.根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。
比的基本性质：
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
2.最简整数比：
比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。
3.根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4
4.化简比：
①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
②两个分数的比：
用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。
③两个小数的比：
向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。
小学数学常用运算定律
加法交换率
a＋b＝b＋a
加法结合律
a＋b＋c＝（a＋b）＋ca＋（b＋c）＝（a＋c）+b
乘法交换率
a×b＝b×a
乘法结合律
a×b×c＝（a×b）×c＝a×（b×c）＝（a×c）×b
乘法分配律
a×（b＋c）＝a×b＋a×c a×b＋a×c=a×（b＋c）
减法的运算性质
a－b－c＝a－（b＋c）
除法的运算性质
a÷b÷c＝a÷（b×c）a÷（b×c）=a÷b÷c=a÷c÷b
a÷b×c＝a÷（b÷c）a÷（b÷c）=a÷b×c
第二单元位置与方向
（二）
回顾：
在地图上，人们通常是按照上北，下南，左西，右东来绘制地图的。
1.确定物体的位置必须具备两个条件：
一是方向，二是距离。
2.在平面图上标出物体位置的方法：
先确定方向，再确定距离，最后画出物体的具体位置，并标明名称。
确定方向时选择与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位；距离必须以选定的单位长度为基准来确定。
3.描述物体的位置与观测点有关。
观测点不同，物体位置的描述就不同。
“在”字后面的城市或人均为观测点。
4.在叙述物体的方向时，一般先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。
（靠近哪个方向就把那个方向放在前面），注意：
夹角与方向要对应。
5.两物体的位置关系是相对时，方向相反，度数相同，距离相等。
（东与西相对，南与北相对）
6.确定相对位置，要先确定观测点。
7.描述并绘制路线图时，先按行走路线确定观测点，再确定行走的方向和路程。
以谁为观测点，就以谁为中心画出方向标，然后判断出另一点的方向和距离。
每走到一个位置都要这样做。
▲工具：
刻度尺、量角器、铅笔
8.东偏南45°或者南偏东45°称为东南方向；
东偏北45°或者北偏东45°称为东北方向；
西偏南45°或者南偏西45°称为西南方向；
西偏北45°或者北偏西45°称为西北方向。
第五单元圆
一、圆的认识
1.圆的定义：
指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合。
2.圆心：
这个给定的点称为圆的圆心。
（将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
）一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等。
▲（画圆切忌别忘记标圆心0）
3.半径：
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
4.直径：
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
注：
（直径是一个圆内最长的线段。
）
5.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6.在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。
所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。
用字母表示为：
d＝2r或r＝或r=d÷2
8.轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9.长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。
这些图形都是轴对称图形。
10.只有1一条对称轴的图形有：
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是：
长方形
只有3条对称轴的图形是：
等边三角形
只有4条对称轴的图形是：
正方形;
有无数条对称轴的图形是：
圆、圆环。
二、圆的周长
1.圆的周长：
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
用字母C表示。
2.圆周率实验：
在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。
发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。
圆的周长总是它直径的3倍多一些。
3.圆周率：
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（pai）表示。
一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。
在计算时，一般取π≈3.14。
在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4.圆的周长公式：
周长=直径×л或周长=2×л×半径
字母表示C=πd=2πrd=C÷π或r=C÷2π
5.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
6.区分周长的一半和半圆的周长：
周长的一半：
等于圆的周长÷2计算方法：
2πr÷2即：
πr
半圆的周长：
等于圆的周长的一半加直径。
计算方法：
πr＋2r
三、圆的面积
1.圆的面积：
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
用字母S表示。
2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
3.圆面积公式的推导：
用逐渐逼近的转化思想：
体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。
拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=长方形的宽圆的周长的一半=长方形的长
因为：
长方形面积=长×宽
所以：
圆的面积=圆周长的一半×圆的半径
S圆=πr×r=πr2
圆的面积公式：
S圆=πr2r2=S÷π
圆的面积公式：
S圆=πr2÷2或S=πr2
圆的面积公式：
S圆=πr2÷4或S=πr2
4.环形的面积：
（环形的面积等于外圆面积与内圆面积的差）
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。
（R＝r＋环的宽度．）
环形的面积公式：
S环=πR²－πｒ²或S环=π（R²－ｒ²）。
▲求环形的面积一定要先想法分别求出外圆的半径（R）和内圆的半径（r）
再代入公式计算。
一步一步的来，这样不容易错误。
注意用公式S环=π（R²－ｒ²）
计算时，要先算出2个平方数，再相减。
切忌相减后再平方。
5.扇形的面积计算公式：
S扇=πr2×（n表示扇形圆心角的度数）
6.一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
（例如：
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
）
7.两个圆：
半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。
（例如：
两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9）
8.任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：
4∶π
圆的周长是直径的π倍，圆的周长与直径的比是π：
1
圆的周长是半径的2π倍，圆的周长与半径的比是2π：
1
9.当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。
反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
10.确定起跑线：
（1）每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。
（2）每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。
（因此起跑线不同）
（3）每相邻两个跑道相隔的距离是：
2×π×跑道的宽度
（4）当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；
当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。
小学数学图形计算公式
图形
符号意义
周长C
面积S
正方形
C：
周长 S：
面积
a：
边长
周长＝边长×4
C=4a
面积=边长×边长 S=a×a
长方形
C：
周长 S：
面积
a：
边长
周长=（长+宽）×2C=2（a+b）
面积=长×宽 S=ab
三角形
S：
面积S：
底
h：
高
面积=底×高÷2 S=ah÷2
平行四边形
S：
面积S：
底
h：
高
面积=底×高 s=ah
梯形
S：
面积 a：
上底
b：
下底 h：
高
面积=（上底+下底）×高÷2
s=（a+b）×h÷2
圆形
S：
面积C：
周长
лd=直径 r=半径
周长=直径×л
周长=2×л×半径
C=лd=2лr
面积=半径×半径×л
S=лr²
扇形
n：
表示扇形圆心角的度数
S扇=πr2×
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