学年数学必修二第二章训练卷解析版.docx

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学年数学必修二第二章训练卷解析版

2018-2019学年必修二第二章训练卷

点、直线、平面之间的位置关系

（二）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：

每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：

用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）

1．下列推理错误的是（）

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C．l⊄α，A∈l⇒A∉α

D．A∈l，l⊂α⇒A∈α

【答案】C

【解析】若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α．故选C．

2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【答案】D

【解析】由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°．故选D．

3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（）

A．E，F，G，H一定是各边的中点

B．G，H一定是CD，DA的中点

C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC

D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC

【答案】D

【解析】由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC．故选D．

4．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n等于（）

A．8B．9C．10D．11

【答案】A

【解析】如图，取CD的中点H，连接EH，HF．

在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EFH平行，其余4个平面与EFH相交，

即n＝4．又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8．故选A．

5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（）

A．ACB．BDC．A1DD．A1D1

【答案】B

【解析】易证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．故选B．

6．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是（）

A．90°B．60°C．45°D．30°

【答案】A

【解析】连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，

则B′D＝DC＝a，

，所以∠B′DC＝90°．故选A．

7．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．

现有结论：

①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是（）

A．①②B．①②③C．①D．②③

【答案】B

【解析】对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，

∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，

又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；

对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，

∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC；

对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离．

故①②③都正确．

8．如图，三棱柱

中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）

A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1

C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E

【答案】C

【解析】由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，

又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故C正确．故选C．

9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）

A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β

【答案】D

【解析】∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l．∵AB∥l，∴AB∥m．故A一定正确．

∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m．故B一定正确．

∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α．∴AB⊄β，l⊂β．∴AB∥β．故C也正确．

∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，

当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．故选D．

10．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为

，底面是边长为

的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】如图所示，作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，连接AP，AO．

．

，

．又

，∴

，又

，∴

．故选B．

11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．以下结论中，错误的是（）

A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1

C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成的角为45°

【答案】D

【解析】因为AH⊥平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以BD⊥AH．

又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A．所以BD⊥平面AA1H．

又A1H⊂平面AA1H．所以A1H⊥BD，

同理可证BH⊥A1D，所以点H是△A1BD的垂心，故A正确．

因为平面A1BD∥平面CB1D1，所以AH⊥平面CB1D1，B正确．

易证AC1⊥平面A1BD．因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正确．

因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．

因为∠AA1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故D错误．故选D．

12．已知矩形ABCD，AB＝1，

，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

【答案】B

【解析】A错误．理由如下：

过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，

若直线AC与直线BD垂直，则可得BD⊥平面ACE，

于是BD⊥CE，而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直．所以直线AC与直线BD不垂直．

B正确．理由：

翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时，平面ABC⊥平面BCD，此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC，于是有AB⊥CD．故B正确．

C错误．理由如下：

若直线AD与直线BC垂直，则由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD，于是BC⊥AC，但是AB

由以上分析显然D错误．故选B．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

13．下列四个命题：

①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．其中正确命题的序号是________．

【答案】④

【解析】①中b可能在α内；②a与b可能异面或者垂直；③a可能与α内的直线异面或垂直．

14．如图所示，在直四棱柱

中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件_______时，有A1C⊥B1D1．（注：

填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）

【答案】B1D1⊥A1C1（答案不唯一）

【解析】由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件．

15．已知四棱锥

的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则

①棱AB与PD所在直线垂直；

②平面PBC与平面ABCD垂直；

③△PCD的面积大于

的面积；

④直线AE与直线BF是异面直线．

以上结论正确的是________．（写出所有正确结论的编号）

【答案】①③

【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，故①正确；

若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，

这是不可能的，故②错；

，

，由AB＝CD，PD>PA知③正确；

由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，

故AE与BF共面，④错．

16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．

【答案】a>6

【解析】由题意知：

PA⊥DE，又PE⊥DE，PA∩PE＝P，∴DE⊥面PAE，∴DE⊥AE．易证△ABE∽△ECD．设BE＝x，则

，即

．∴

，

由

，解得a>6．

三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）如图所示，长方体

中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？

【答案】平行，见解析．

【解析】直线MN∥平面A1BC1．证明如下：

∵

平面A1BC1，

平面A1BC1．∴

平面A1BC1．

如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1．

∵

，

，∴

．∴四边形NO1BM为平行四边形．

∴MN∥BO1．又∵BO1⊂平面A1BC1，∴MN∥平面A1BC1．

18．（12分）如图，三棱柱

的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．

（1）求证：

AC⊥B1C；

（2）求证：

AC1∥平面CDB1．

【答案】

（1）见解析；

（2）见解析．

【解析】

（1）∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC．

∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC．

又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C．

（2）连接BC1交B1C于O点，连接OD．如图，

∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1．

又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1．∴AC1∥平面CDB1．

19．（12分）如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．

（1）求证：

BC⊥平面PAC．

（2）是否存在点E使得二面角

为直二面角？

并说明理由．

【答案】

（1）见解析；

（2）存在，见解析．

【解析】

（1）证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．

又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．

（2）∵DE∥BC，又由

（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．

又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．

∴∠AEP为二面角

的平面角．

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，

故存在点E，使得二面角

为直二面角．

20．（12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．

（1）证明：

B1C⊥AB；

（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱

的高．

【答案】

（1）见解析；

（2）

．

【解析】

（1）证明连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．

因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1．

又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO．

由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB．

（2）解在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD．

在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H．

由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC．

又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC．

因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．

又BC＝1，可得

．由于AC⊥AB1，所以

．

由OH·AD＝OD·OA，且

，得

．

又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为

，

故三棱柱

的高为

．

21．（12分）如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．

（1）求证：

PA∥面BDE；

（2）求证：

平面PAC⊥平面BDE；

（3）若二面角

为30°，求四棱锥

的体积．

【答案】

（1）见解析；

（2）见解析；（3）

．

【解析】

（1）证明连接OE，如图所示．

∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA．

∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，∴PA∥面BDE．

（2）证明∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．

在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥面PAC．

又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE．

（3）解取OC中点F，连接EF．∵E为PC中点，

∴EF为

的中位线，∴EF∥PO．

又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD，∴EF⊥BD．

∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥面EFO，∴OE⊥BD．

∴∠EOF为二面角

的平面角，∴∠EOF＝30°．

在Rt△OEF中，

，∴

，

∴

．∴

．

22．（12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

（1）求证：

平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求证：

C1F∥平面ABE；

（3）求三棱锥

的体积．

【答案】

（1）见解析；

（2）见解析；（3）

．

【解析】

（1）证明

在三棱柱

中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB．

又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，

又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1．

（2）证明　取AB的中点G，连接EG，FG．

因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且

．

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，

所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG．

又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE．

（3）解因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以

．

所以三棱锥E－ABC的体积

．