第三讲截长补短.docx
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第三讲截长补短
三角形全等之截长补短（讲义）
一、知识点睛
截长补短：
题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是__________________________________
二、精讲精练
1.已知：
如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．
求证：
AC=AB+BD．
2.已知：
如图，在正方形ABCD中，AD=AB，
∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．求证：
EF=BF+DE．
3.已知：
如图，在△ABC中，∠ABC=60º，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．求证：
AC=AE+CD．
4.
已知：
如图，在△ABC中，∠A=90º，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：
CE=
BD．
5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD，CE与BD交于F，连接AF．求证：
CF=AB+AF．
【参考答案】
【知识点睛】
线段间的和差倍分；
把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．
【精讲精练】
1．证明略
提示：
方法一：
在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，然后再证明CE=BD；
方法二：
延长AB到E，使BE=BD，证明△ADE≌△ADC
2．证明略
提示：
延长FB到G，使BG=DE，连接AG，证明
△ABG≌△ADE，再证明△AFG≌△AFE）
3．证明略
提示：
在AC上截取AF=AE，连接OF，证明△AEO≌△AFO，∠AOC=120°，再证明△COF≌△COD）
4．证明略
提示：
延长CE交BA的延长线于点F，证明△BEF≌△BEC，得EC=EF，再证明△ACF≌△ABD，得CF=BD）
5．证明略
提示：
方法一：
延长BA交CD的延长线交于点H，证明
△BDH≌△CDF，得DH=DF，BH=CF，再证明
△ADH≌△ADF，得AH=AF；
方法二：
在CF上截取CH=AB，连接DH，证明
△DHC≌△DAB，得DH=DA，CH=BA，∠HDF=∠ADF=45°，再证明△ADF≌△HDF，得AF=HF）
三角形全等之截长补短（每日一题）姓名_________
1.在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C．
求证：
CD=AB+BD．
2.如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．
求证：
AB-AC>PB-PC．
3.已知：
如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠A+∠C=180°．
求证：
BD=AB+CD．
4.在正方形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在DC延长线上，
EAF=45°．
求证：
DF=EF+BE．
5.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．
求证：
AE=BE+DF．
【参考答案】
1.证明：
如图，在线段DC上截取DE，使DE=BD，连接AE．
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADE=90°
在△ABD和△AED中
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴∠B=∠1，AB=AE
∵∠B=2∠C
∴∠1=2∠C
∵∠1是△AEC的一个外角
∴∠1=∠C+∠2
∴∠C=∠2
∴AE=CE
∵CD=CE+ED
∴CD=AE+BD
∴CD=AB+BD
（如果延长DB到点F，使BF=AB，连接AF也可进行证明）
2.
证明：
如图，在线段AB上截取AE=AC，连接PE．
则AB-AC=AB-AE=EB
在△AEP和△ACP中
∴△AEP≌△ACP（SAS）
∴PE=PC
在△PEB中，PB-PE∴PB-PC即AB-AC>PB-PC
（延长AC到点F，使AF=AB，连接PF，也可证明结论）
3.证明：
如图，在BC上截取BE=BA，连接PE．
在△ABP和△EBP中
∴△ABP≌△EBP（SAS）
∴∠A=∠3
∵∠A+∠C=180°，∠3+∠4=180°
∴∠4=∠C
∵PD⊥BC
∴∠PDE=∠PDC=90°
在△PDE和△PDC中
∴△PDE≌△PDC（AAS）
∴DE=DC
∴BD=BE+ED
∴BD=AB+CD（过点P作PF⊥BA于F，也可进行证明）
4.证明：
如图，在DF上截取DG=BE，连接AG．
∵四边形ABCD为正方形
∴∠D=∠BAD=∠ABC=90°，AB=AD
∴∠ABE=∠D=90°
在△ABE和△ADG中
∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴AG=AE，∠1=∠2
∵
EAF=45°，
∴∠2+∠3=45°
∴∠1+∠3=45°
∴∠GAF=45°=∠EAF
在△EAF和△GAF中
∴△EAF≌△GAF（SAS）
∴EF=GF
∵DF=GF+DG
∴DF=EF+BE
5.证明：
如图，延长EB到点G，使BG=DF，连接AG．
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD，∠D=∠ABC=∠BAD=90°
∴∠ABG=∠D=90°
在△ABG和△ADF中
∴△ABG≌△ADF（SAS）
∴∠1=∠2，∠5=∠G
∵AF平分∠DAE
∴∠1=∠3
∵∠1+∠5=90°
∴∠3+∠G=90°
∵∠1+∠3+∠4=90°
∴∠2+∠3+∠4=90°
∴∠2+∠4=∠G
∴AE=EG=BE+BG
∴AE=BE+DF
三角形全等之截长补短随堂测试题姓名________
6.
已知：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC．
求证：
AB=AD+BC．
【参考答案】
证明略
提示
方法一：
在AB上截取AF=AD，连接EF，证明△ADE≌△AFE，再证明△BFE≌△BCE；
方法二：
延长AE交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△FBE，再证明△ADE≌△FCE）
三角形全等之截长补短（作业）
1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD是∠BAC的平分线．求证：
AC=AB+BD．
2.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°．
求证：
AE=AD+BE．
3.
如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：
BC=AB+CE．
4.如图，在等边三角形ABC中，点E，F分别在AB，AC上，
EDF=60°，DB=DC，
BDC=120°．
求证：
EF=BE+CF．
5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE=ED=DC，∠1=∠2，则：
①AD是△ABC的边_________上的高，也是________的边BD上的高，还是△ABE的边___________上的高；
②AD既是_________的边_______上的中线，又是_______边上的高，还是_________的角平分线．
6.
已知：
如图，AD∥EF，BF∥DG，∠A=∠B=∠G=35°．
求∠EFG的度数．
【参考答案】
1．证明略
提示：
方法一：
在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，再证明CE=BD；
方法二：
延长AB到E，使BE=BD，证明△ADE≌△ADC
2．证明略
提示：
在AE上截取AF=AD，证明△CDA≌△CFA，再证明BE=FE
3．证明略
提示：
在BC上截取BF=BA，连接DF，证明△ABD≌△FBD，再证明△DFC≌△DEC
4．证明略
提示：
延长FC到G，使CG=BE，证明△BED≌△CGD，得ED=GD，∠BDE=∠CDG，再证明△EFD≌△GFD，得EF=GF
5．5；16x4，±16x，-4，-16x2；
6．①BC，△ABD，BE；②△AEC，EC，EC，∠EAC
7．略；
8．
（1）-2a2+2b2；
（2）
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