第九单元 重积分.docx
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第九单元重积分
第九单元重积分
一、填空题
1、设为常数,则=______________________
2、区域D由闭区域构成,则=______________________
3、设函数在闭区域D上连续,就是D得面积,则在D上至少存在一点使得=______________________
4、计算=______________________,其中D就是由直线所围成得闭区域。
5、设D就是顶点分别为得直边梯形,计算=______________________
6、改变下列二次积分得积分次序
=______________________;
=______________________;
=______________________;
=______________________;
7、把下列二重积分表示为极坐标形式得二次积分
=__________________________;
=__________________________;
=______________________;
8、二重积分=__________________________,其中D就是由中心在原点、半径为a得圆周所围成得闭区域。
9、将下列三重积分化为三次积分
=__________________________,为曲面及平面所围成得闭区域;
=__________________________,为曲面及面所围成得闭区域;
10、区域为三坐标面及平面所围成得闭区域,则三重积分=__________________________、
二、选择题
1、分别为单位圆盘在一、二、三、四象限得部分,则=（）
（A）;（B）;（C）;（D）0、
2、,则=（）
（A）;（B）;
（C）;（D）、
3、由不等式确定:
,则=（）
（A）;（B）;
（C）;（D）、
4、为单位球:
则=
（A）;（B）;
（C）;（D）、
5、由不等式确定:
,则（）
（A）;（B）;
（C）;（D）、
6、设有空间闭区域,,则有（）
（A）;（B）;
（C）;（D）、
7、设有平面闭区域,。
则=（）
（A）;（B）;
（C）;（D）0、
三、计算解答
1、设区域,计算、
2、计算,其中D就是由抛物线及直线所围成得闭区域、
3、计算,其中D就是由抛物线,及直线所围成得闭区域、
4、计算,其中D就是由所围成得闭区域、
5、计算,其中D就是由,直线,所围成得闭区域、
6、求锥面被柱面所割下部分面积、
7、求底圆半径相等得两个直交圆柱面及所围立体得表面积、
8、计算三重积分,其中为三个坐标面及平面所围成得闭区域、
9、,其中就是由与所围成得闭区域、
10、计算三重积分,其中就是与平面所围成得闭区域、
11、计算三重积分,其中就是与平面,,所围成得闭区域、
12、计算三重积分,其中就是球面所围成得闭区域、
13、计算三重积分,其中就是球面所围成得闭区域、
第九单元重积分测试题详细解答
一、填空题
1、设为常数,则=
2、区域D由闭区域构成,则=
3、设函数在闭区域D上连续,就是D得面积,则在D上至少存在一点使得=
4、=,其中D就是由直线所围成得闭区域。
分析:
5、设D就是顶点分别为得直边梯形,计算=
分析:
6、改变下列二次积分得积分次序
;
;
;
;
7、把下列二重积分表示为极坐标形式得二次积分
;
;
;
8、二重积分=,其中D就是由中心在原点、半径为a得圆周所围成得闭区域。
分析:
原式=
9、将下列三重积分化为三次积分
;
;
10、区域为三坐标面及平面所围成得闭区域,则三重积分=__________________________
分析:
二、选择题
1、选（A）;
解答:
在第一象限与第二象限就是对称得。
所以在第一二象限得值相等。
2、选（A）;
3、选（D）;
解答:
与相交得部分可分为两部分
时,为锥体
时,为半球体
4、选（B）
解答:
注意,计算时
5、选（C）
6、选（C）
7、选（A）
三、计算解答
1、设区域,计算、
解:
2、计算,其中D就是由抛物线及直线所围成得闭区域。
解:
3、计算,其中D就是由抛物线,及直线所围成得闭区域。
解:
4、计算,其中D就是由所围成得闭区域。
解:
5、计算,其中D就是由,直线,所围成得闭区域。
解:
6、求锥面被柱面所割下部分面积
解:
投影区域D:
;
所以面积
7、求底圆半径相等得两个直交圆柱面及所围立体得表面积。
解:
所以
8、计算三重积分,其中为三个坐标面及平面所围成得闭区域。
解:
9、,其中就是由与所围成得闭区域。
解:
10、计算三重积分,其中就是与平面所围成得闭区域。
解:
用柱面坐标变换,令
11、计算三重积分,其中就是与平面,,所围成得闭区域。
解:
用柱面坐标变换,令
12、计算三重积分,其中就是球面所围成得闭区域。
解:
用球面坐标变换积分,令:
13、计算三重积分,其中就是球面所围成得闭区域。
解:
用球面坐标变换积分,令:
第十章曲线积分与曲面积分
一、填空题
1、设L就是平面上沿顺时针方向绕行得简单闭曲线,且,则L所围成得平面闭区域D得面积等于____________、
2、设曲线L就是分段光滑得,且L=L1+L2,=2,=3,则=_________________、
3、设函数在曲线弧L上有定义且连续,L得参数方程为,其中在上具有一阶连续偏导数,且,则曲线积分=____________________、
4、设L就是抛物线上点与点之间得一段弧=____________________、
5、则=___________________。
6、设L就是从沿到得圆弧,则=___________________。
7、设L就是平面有向曲线,由两类曲线积分之间得联系,则___________________、
8、区域D由与所围成得闭区域,则区域D得面积为___________________、
9、设L就是任意一条分段光滑得闭曲线,则=___________________、
10、在面上,就是某个函数得全微分,则这个函数就是___________________、
11、设就是由平面,,,及所围成得四面体得整个边界曲面,则=___________________、
12、设就是得外侧,则=___________________、
13第二类曲面积分化成第一类曲面积分为___________________、
二、选择题
1、设曲面就是上半球面:
曲面就是曲面在第一卦限中得部分,则有（）、
（A）;（B）;
（C）;（D）、
2、设曲线L:
其线密度,则曲线得质量为（）、
（A）;（B）;
（C）;（D）、
3、=（）,其中L为圆周、
（A）;（B）;（C）;（D）、
4、设就是从到点得直线段,则与曲线积分不相等得积分就是（）
（A）;（B）;（C）;（D）、
5、设L为,方向按增大得方向,则=（）
（A）;（B）;
（C）;（D）、
6、用格林公式计算,其中L为沿逆时针绕一周,则得（）
（A）;（B）;
（C）;（D）、
7、L就是圆域D:
得正向周界,则=（）
（A）;（B）0;（C）;（D）、
8、设为在面上方部分得曲面,则=（）
（A）;（B）;
（C）;（D）、
9、设为球面,则=（）
（A）;（B）;
（C）;（D）、
10、设曲面:
方向向下,D为平面区域,则=（）
（A）1;（B）;（C）;（D）0、
11、设曲面:
得上侧,则=
（A）;（B）;（C）;（D）0、
12、设曲面:
得外侧,则=（）
（A）;
（B）;
（C）;（D）、
三、计算解答
1、,其中C为以为顶点得三角形得边界。
2、,其中为曲线上相应于从0到2得这段弧。
3、计算,其中就是抛物线从到得一段弧、
4、,其中为有向闭折线,这里得依次为、
5、,其中C为正向圆周。
6、计算,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点得连续闭曲线,L得方向为逆时针方向。
7、利用曲线积分求星形线所围图形得面积。
8、,为球面上得部分。
9、,为球面得外侧。
10、计算,为椭球面得外侧。
第十单元曲线积分与曲面积分测试题详细解答
一、填空题
1、设L就是平面上沿顺时针方向绕行得简单闭曲线,且,则L所围成得平面闭区域D得面积等于
分析:
2、设曲线L就是分段光滑得,且L=L1+L2,=2,=3,则=_5_、
分析:
3、设函数在曲线弧L上有定义且连续,L得参数方程为,其中在上具有一阶连续偏导数,且,则曲线积分=
4、设L就是抛物线上点与点之间得一段弧=
分析:
5、则=_3_______。
分析:
6、设L就是从沿到得圆弧,则=。
分析:
令:
7、设L就是平面有向曲线,由两类曲线积分之间得联系,则
8、区域D由与所围成得闭区域,则区域D得面积为
分析:
令:
面积
9、设L就是任意一条分段光滑得闭曲线,则=_0________
分析:
10、在面上,就是某个函数得全微分,则这个函数就是
分析:
设原函数为,则,
则所以
11、设就是由平面,,,及所围成得四面体得整个边界曲面,则=
分析:
在,,三个坐标面上,积分值为0。
则只求在面上得积分即可。
、
所以
12、设就是得外侧,则=
分析:
把积分曲面分成与两部分,则它们在面上得投影区域都就是得圆域。
13第二类曲面积分化成第一类曲面积分为
二、选择题
1、选（C）
解答:
在第一卦限,对三个坐标得曲面积分相等,即,
而在一、二、三、四卦限中得积分值相等。
所以
2、选（A）
解答:
3、选（B）
解答:
4、选（D）
解答:
5、选（C）
解答:
6、选（B）
解答:
7、选（D）
解答:
8、选（D）
解答:
9、选（D）
解答:
10、选（C）
11、选（C）
解答:
12、选（B）
三、计算解答
1、,其中C为以为顶点得三角形得边界。
解:
2、,其中为曲线上相应于从0到2得这段弧。
解:
3、计算,其中就是抛物线从到得一段弧。
解:
4、,其中为有向闭折线,这里得依次为、
解:
5、,其中C为正向圆周。
解:
6、计算,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点得连续闭曲线,L得方向为逆时针方向。
解:
令,
当时,有,记所围成闭区域为,当时,有
当时,选取适当小得作为内得圆周。
记与所围成得闭区域为,
其中方向为逆时针方向。
7、利用曲线积分求星形线所围图形得面积。
解:
令,则
8、,为球面上得部分。
解:
9、,为球面得外侧。
解:
10、计算,为椭球面得外侧。
解:
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