6.轴线角的集合
终边落在x轴的非负半轴上,角的集合为{x|x=k·360°,k∈Z};
终边落在x轴的非正半轴上,角的集合为{x|x=k·360°+180°,k∈Z};
终边落在x轴上,角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z};
终边落在y轴的非负半轴上,角的集合为{x|x=k·360°+90°,k∈Z};
终边落在y轴的非正半轴上,角的集合为{x|x=k·360°+270°,k∈Z}或{x|x=k·360°-90°,k∈Z};
终边落在y轴上,角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z}
轴线角的表示形式并不唯一,也可以有其他的表示形式
问题探究3:
锐角，第一象限角，小于的角，的角有区别吗？
________________________________________________________________
__________________________________________________________________
课堂互助探究
探究一：
终边相同的角及象限角
评价设计
1．作业：
习题1.1A组第1,2,3题．
2．多举出一些日常生活中的“大于的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，
进一步理解具有相同终边的角的特点．
1.1.2弧度制
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握弧度制的定义；
（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.（6）使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.
2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:
即每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.
二、教学重、难点
重点:
理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.
难点:
理解弧度制定义，弧度制的运用.
三、学法与教学用具
在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.
教学用具:
计算器、投影机、三角板
四、教学设想
课前自主预习
学法指导：
认真阅读必修一课本6-9页，认真完成预习案，独立完成课内探究，牢记基础知识，掌握基本题型。
如果有不会的问题再回去阅读课本。
研究课本例题。
【学习目标】
理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，了解角的集合与实数集R之间的一一对应关系.掌握弧度制下的弧长公式，会解决某些简单的实际问题.
一．弧度制：
1.弧度制的定义：
（1）定义：
长度等于所对的圆心角叫做1弧度角，记作，或1弧度，或1（单位可以省略不写）.
注：
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地,正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
问题探究1:
1弧度的角大小是否与它所在的圆的半径有关？
（2）如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少?
角的弧度数的绝对值是：
，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径.
问题探究2:
任意角的弧度数与实数之间有怎样的对应关系？
2．角度制与弧度制得互化：
（1）角度化弧度：
；；；
（2）弧度化角度：
度；度；度；
（3）某些特殊角的角度数与弧度数的互化：
角度制
0º
45º
60º
90º
150º
180º
315º
弧度制
课堂互动探究
【探究自测】将下列弧度与角度制进行互化：
（1）=°；
（2）－=°′；（3）=°；
（4）36°=rad；（5）－105°=rad；（6）37°30′=rad；
例2、若圆的半径是，则的圆心角所对的弧长是；
所对扇形的面积是 .
探究二：
用弧度制表示角的集合
例2、如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）．
探究三：
例3、
（1）若圆的半径是，则的圆心角所对的弧长是；
所对扇形的面积是 .
1.2.1任意角三角函数
（1）
课前自主预习
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；
（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
2、过程与方法
初中学过:
锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.
二、教学重、难点
重点:
任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点:
任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
三、学法与教学用具
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.
另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.
教学用具:
投影机、三角板、圆规、计算器
四、教学设想
第一课时任意角的三角函数
（一）
学法指导：
认真阅读必修一课本11-15页，认真完成预习案，独立完成课内探究，牢记基础知识，掌握基本题型。
如果有不会的问题再回去阅读课本。
研究课本例题。
【学习目标】
掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义及在各象限的符号。
1.任意角的三角函数的定义：
（1）设是一个任意角，我们使角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，设它的终边上的任意一点（除原点外），它与原点的距离是在的终边上任取（异于原点的）一点（x,y）
则P与原点的距离
（2）比值叫做的正弦记作：
比值叫做的余弦记作：
比值叫做的正切记作：
以上三种函数，统称为三角函数.
注：
突出探究的几个问题：
①sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余几
个符号也是这样.
②比值只与角的大小有关，与点P在终边上的位置无关。
③角是“任意角”，当b=2kp+a（kÎZ）时，b与a的同名三角函数值应该是
相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值
④实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义适用
⑤三角函数是以“比值”为函数值的函数
⑥而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.
3.终边相同的角的同名三角函数值间的关系（诱导公式一）
Sin（2kπ+）=
cos（2kπ+）=
tan（2kπ+）=（k∈Z）
问题探究：
诱导公式一的作用是什么？
课堂互动探究
1.2.1任意角三角函数
（2）
课前自主预习
学法指导：
认真阅读必修一课本15-17页，认真完成预习案，独立完成课内探究，牢记基础知识，掌握基本题型。
如果有不会的问题再回去阅读课本。
研究课本例题。
【学习目标】
理解三角函数线的概念，会画正弦、余弦、正切线，并会运用它解决应用问题。
三角函数线：
我们已学过任意角的三角函数，给出了任意角的正弦，余弦，正切的定义。
想一想能不能用几何元素表示三角函数值？
（例如，能不能用线段表示三角函数值？
）
问题1：
在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看成是线段的比呢？
问题2：
在三角函数定义中，是否可以在角的终边上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简单？
问题3．有向线段，有向线段的数量，有向线段长度的概念如何。
问题4．如何作正弦线、余弦线、正切线。
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：
的圆叫做单位圆。
2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：
与坐标轴方向时为正，与坐标方向时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.
（Ⅰ）
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
，，
．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
①三条有向线段的位置：
正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：
正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。
③三条有向线段的正负：
三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。
④三条有向线段的书写：
有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
课堂互助探究
探究一：
作三角函数线
探究二：
比较函数值的大小
探究三：
解不等式
1.2.2同角三角函数的关系
课前自主预习
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）使学生掌握同角三角函数的基本关系；
（2）已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；（3）利用同角三角函数关系式化简三角函数式；（4）利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.
2、过程与方法
由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3、情态与价值
通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.
二、教学重、难点
重点：
公式及的推导及运用：
（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；
（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.
难点:
根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.
三、学法与教学用具
利用三角函数线的定义,推导同角三角函数的基本关系式:
及,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.
教学用具:
圆规、三角板、投影
四、教学设想
学法指导：
认真阅读必修一课本18-20页，认真完成预习案，独立完成课内探究，牢记基础知识，掌握基本题型。
如果有不会的问题再回去阅读课本。
研究课本例题。
【学习目标】运用同角三角函数的关系进行求值化简问题。
同角三角函数基本关系
（1）平方关系：
（2）商数关系：
（3）倒数关系：
课堂互助探究
探究一：
已知角的一个三角函数值，求另外两个三角函数值
探究二：
三角齐次式求值
自测：
已知
（1）求的值；
（2）求的值
自测：
，求的值
1.3三角函数诱导公式
【学习目标】
（1）学会三角函数的多组诱导公式，并能够熟练应用
（2）体会诱导公式的推导过程，尤其是利用单位圆的对称性帮助推导的思想
【课前导学】：
（阅读书P23-P27并填空）
一、终边相同的角：
三角函数值相同
公式一：
_______________________
二、利用原点，轴，轴的对称性
1、回顾：
在直角坐标系下，角的终边与圆心在原点的单位圆相交于，则，
2、关于原点对称点特征：
横坐标相反，纵坐标相反，对于角而言：
角关于轴对称的角为_______
公式二：
____________________________
3、关于轴的对称问题：
横坐标相同，纵坐标相反，对于角而言：
角关于轴对称的角为_______
公式三：
____________________________
4、关于轴的对称问题：
横坐标相同，纵坐标相反，对于角而言：
角关于轴对称的角为_______
公式四：
____________________________
以上四个公式可用一段话来概括（参见书）
的三角函数值，等于_________________________________
三、关于轴对称：
与关于直线轴对称
对于角而言：
与________关于直线轴对称，
故有公式五：
__________________
公式六：
（考虑：
这组公式如何由前面所学的公式得到）
__________________
公式五和公式六可以概括如下（参见书P26）
的正弦（余弦）函数值，分别等于___________________________________
四、诱导公式的计算口诀：
奇变偶不变，符号看象限
自测：
___________________
______________________
五、诱导公式的作用
1、诱导公式体现了与三角函数的关系
2、利用诱导公式可将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，体现了由未知转化为已知的化想
课堂互助探究
探究一：
利用公式求下列三角函数值：
（1）
（2）（3）（4）
（5）（6）（7）（8）
探究二：
利用诱导公式化简：
（1）
（2）
探究四：
给值求值问题
1、已知，求
评价设计
（1）作业：
习题1.2A组第10,13题.
（2）熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关
系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.
14
升级会员 