启未教育五升六奥数讲义.docx
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启未教育五升六奥数讲义
第1讲小数的巧算与速算
【例1】.简算：
（1）
思路导航：
题中，9.9接近10，且6.8和0.68都是有6、8这两个数字。
解法一：
解法二:
=99×0.68+1×0.68=9.9×6.8+0.1×6.8
=（99+1）×0.68=（9.9+0.1）×6.8
=100×0.68=10×6.8
=68=68
想想还有别的解法吗?
同步导练一：
（1）272.4×6.2+2724×0.38
（2）1.25×6.3+37×0.125
（3）7.24×0.1+0.5×72.4+0.049×724
（4）6.49×0.22+258×0.0649+5.3×6.49+64.9×0.19
【例2】：
（2+0.48+0.82）×（0.48+0.82+0.56）-（2+0.48+0.82+0.56）×（0.48+0.82）
思路导航：
整个式子是乘积之差的形式,它们构成很有规律,如果把2+0.48+0.82用A表示,把0.48+0.82用B表示,则原式化为A×（B+0.56）-（A+0.56）×B,再利用乘法分配律计算,大大简化了计算过程.
解:
设A=2+0.48+0.82B=0.48+0.82,
原式=A×（B+0.56）-（A+0.56）×B
=A×B+A×0.56-（A×B+0.56×B）
=A×B+A×0.56-A×B-0.56×B
=0.56×（A-B）
=0.56×2
=1.12
同步导练二：
（1）（3.7+4.8+5.9）×（4.8+5.9+7）-（3.7+4.8+5.9+7）×（4.8+5.9）
（2）（4.6+4.8+7.1）×（4.8+7.1+6）-（4.6+4.8+7.1+6）×（4.8+7.1）
【例三】:
计算76.8÷56×14
思路导航：
这道题是乘除同级运算，解答时，利用添括号法则，在“÷”后面添括号，括号里面要变号，“×”变“÷”，“÷”变“×”。
不过，同学们请注意，这种方法只适用于乘、除同级运算。
解:
76.8÷56×14
=76.8÷（56÷14）
=76.8÷4
=19.2
同步导练三：
（1）144÷15.6×13
（2）
（3）
【例四】:
0.999×0.7+0.111×3.7
思路导航：
本类题可以将原式进行合理的等值变形后，再运用适当的方法进行简便运算
=0.111×9×0.7+0.111×3.7
=0.111×6.3+0.111×3.7
=0.111×（6.3+3.7）
=0.111×10
=1.11
同步导练四:
（1）0.999×0.6+0.111×3.6
（2）0.222×0.778+0.444×0.111
（3）0.888×0.9+0.222×6.4（4）0.111×5.5+0.555×0.9
5.下面有两个小数:
a=0.00…0125b=0.00…08
1996个02000个0
试求a+b,a-b,a
b,a
b.
第2讲用等量代换求面积
一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：
厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析与解：
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。
所以，阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
分析与解：
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50（厘米2）。
例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
分析与解：
求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。
例4下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
分析：
直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。
如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。
解法一：
连结B，E（见左下图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
解法二：
连结C，F（见右上图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。
所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
解法三：
延长BC交GF于H（见下页左上图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
所求为（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。
解法四：
延长AB，FE交于H（见右上图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
所求为4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3。
例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积
分析与解：
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。
连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。
根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×4÷2=8（厘米2）。
练习：
1.左下图（单位：
厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
2.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。
6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。
影部分的面积和。
第3讲逻辑问题
从广义上说，任何一道数学题，任何一个思维过程，都需要逻辑分析、判断和推理。
我们这里所说的逻辑问题，是指那些主要不是通过计算，而是通过逻辑分析、判断和推理，得出正确结论的问题。
逻辑推理必须遵守四条基本规律：
（1）同一律。
在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，不能改变。
（2）矛盾律。
在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是错误的。
例如，“这个数大于8”和“这个数小于5”是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是错的，甚至两个都是错的。
（3）排中律。
在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，它们不能同时都错。
例如“这个数大于8”和“这个数不大于8”是两个恰好相反的判断，其中必有一个是对的，一个是错的。
（4）理由充足律。
在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足的理由。
我们在日常生活和学习中，在思考、分析问题时，都自觉或不自觉地使用着上面的规则，只是没有加以总结。
例如假设法，根据假设推出与已知条件矛盾，从而否定假设，就是利用了矛盾律。
在列表法中，对同一事件“√”与“×”只有一个成立，就是利用了排中律。
例1张聪、王仁、陈来三位老师担任五
（2）班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门。
现知道：
（1）英语老师和数学老师是邻居；
（2）王仁年纪最小；
（3）张聪喜欢和体育老师、数学老师来往；
（4）体育老师比语文老师年龄大；
（5）王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。
请判断各人分别教的是哪两门课程。
分析与解：
题中给出的已知条件较复杂，我们用列表法求解。
先设计出下图的表格，表内用“√”表示肯定，用“×”表示否定。
因为题目说“每人教两门”，所以每一横行都应有2个“√”；因为每门课只有一人教，所以每一竖列都只有1个“√”，其余均为“×”。
由（3）知，张聪不是体育、数学老师；由（5）知，王仁不是语文、音乐老师；
由
（2）（4）知，王仁不是体育老师，推知陈来是体育老师。
至此，得到右上表
由（3）知，体育老师与数学老师不是一个人，即陈来不是数学老师，推知王仁是数学老师；由
（1）知，数学老师王仁不是英语老师，推知王仁是美术老师。
至此，得到左下表。
由（4）知，体育老师陈来与语文老师不是一个人，即陈来不是语文老师，推知张聪是语文老师；由（5）知，语文老师张聪不是音乐老师，推知陈来是音乐老师；最后得到张聪是英语老师，见右上表。
所以，张聪教语文、英语，王仁教数学、美术，陈来教音乐、体育。
以上推理过程中，除充分利用已知条件外，还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件，充分加以利用。
另外，还充分利用了表格中每行只有两个“√”，每列只有一个“√”，其余都是“×”这个隐含条件。
例1的推理方法是不断排斥不可能的情况，选取符合条件的结论，这种方法叫做排他法。
例2小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。
现知道：
（1）小明不在一小；
（2）小芳不在二小；
（3）爱好乒乓球的不在三小；
（4）爱好游泳的在一小；
（5）爱好游泳的不是小芳。
问：
三人上各爱好什么运动？
各上哪所小学？
分析与解：
这道题比例1复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。
与四年级第26讲例4类似，先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示：
因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表3可补全为表4。
由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。
于是可将表1补全为表5。
对照表5和表4，得到：
小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。
例1、例2用列表法求解。
下面，我们用分析推理的方法解例3、例4。
例3小说《镜花缘》中有一段林之祥与多久公飘洋过海的故事。
有一天他们来到了“两面国”，却忘记了这一天是星期几。
迎面见了“两面国”里的牛头和马面。
他们知道，牛头在星期一、二、三说假话，在星期四、五、六、日说真话；马面在星期四、五、六说假话，在星期一、二、三、日说真话。
牛头说：
“昨天是我说假话的日子。
”马面说：
“真巧，昨天也是我说假话的日子。
”
请判断这一天是星期几。
分析与解：
因为牛头、马面只有星期日都说真话，其它时间总是一个说真话，另一个说假话，所以这一天不是星期日，否则星期六都说假话，与题意不符。
由题意知，这一天说真话的，前一天必说假话；这一天说假话的，前一天必说真话。
推知这一天同时是牛头、马面说假话与说真话转换的日子。
因为星期二、三、五、六都不是说假话与说真话转换的日子，所以这一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛头由说真话变为说假话的日子，但不是马面由说假话变为说真话的日子，所以这一天也不是星期一；星期四是牛头由说假话变为说真话的日子，也是马面由说真话变为说假话的日子，所以这天是星期四。
例4A，B，C，D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下。
A：
“C，D两人中有人做了好事。
”
B：
“C做了好事，我没做。
”
C：
“A，D中只有一人做了好事。
”
D：
“B说的是事实。
”
最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。
到底是谁做了好事？
分析与解：
我们用假设法来解决。
题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。
注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当B，C都做了好事，或B，C都没做好事，或B做了好事而C没做好事时，B说的话都与事实有出入。
因为B与D说的是一样的，所以只有两种可能，要么B与D正确，A与C错；要么B与D错，A与C正确。
（1）假设B与D说的话正确。
这时C做了好事，A说C，D两人中有人做了好事，A说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。
所以假设不对。
（2）假设A与C说的话正确。
那么做好事的是A与C，或B与D，或C与D。
若做好事的是A与C，或C与D，则B说的话也正确，与题意不符；若做好事的是B与D，则B说的话与事实不符，符合题意。
综上所述，做好事的是B与D。
练习
1.A，B，C，D，E五个好朋友曾在一张圆桌上讨论过一个复杂的问题。
今天他们又聚在了一起，回忆当时的情景。
A说：
“我坐在B的旁边。
”
B说：
“坐在我左边的不是C就是D。
”
C说：
“我挨着D。
”
D说：
“C坐在B的右边。
”
实际上他们都记错了。
你能说出当时他们是怎样坐的吗？
没有发言的E的左边是谁？
2.从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。
根据挑选规则，参展产品满足下列要求：
（1）A，B两种产品中至少选一种；
（2）A，D两种产品不能同时入选；
（3）A，E，F三种产品中要选两种；
（4）B，C两种产品都入选或都不能入选；
（5）C，D两种产品中选一种；
（6）若D种产品不入选，则E种也不能入选。
问：
哪几种产品被选中参展？
3.三户人家每家有一个孩子，分别是小平（女）、小红（女）和小虎（男），孩子的爸爸是老王、老张和老陈，妈妈是刘英、李玲和方丽。
（1）老王和李玲的孩子都参加了少年女子体操队；
（2）老张的女儿不是小红；
（3）老陈和方丽不是一家人。
请你将三户人家区分开。
4.甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员。
已知：
（1）甲不是辽宁人，乙不是广西人；
（2）辽宁人不是演员，广西人是教师；
（3）乙不是工人。
求这三人各自的籍贯和职业。
5.甲说：
“乙和丙都说谎。
”乙说：
“甲和丙都说谎。
”丙说：
“甲和乙都说谎。
”根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：
（1）三人都说谎；
（2）三人都不说谎；
（3）三人中只有一人说谎；
（4）三人中只有一人不说谎。
6.五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩也大4岁，求最大的男孩的岁数。
第4讲：
分解质因数
专题分析：
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做质因数。
可以通过分解质因数的方法来启发我们的思维。
【例1】把18个苹果平均分成若干份，每份大于1，小于18。
一共有多少种不同分法？
练习：
1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多余15人，有哪几种分法？
2、195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，一共有几种分发？
3、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数各是多少？
【例2】、写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。
练习：
1、有一个长方体，它的长宽高是一个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求这个长方体的表面积。
2、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024。
问这4个孩子各是多少岁？
3、四个连续的奇数的积是19305。
这四个数各是多少？
【例3】、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。
2、5、14、24、27、55、56、99
练习：
把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等。
【例4】、王老师带领同学去植树，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。
这个班有多少个学生？
每人植树多少棵？
练习：
1、植树节，老师带领同学去植树，已知老师和学生每人植树的棵数相等，一共植了111棵。
求有多少个同学？
2、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6，小青买的电影票是几排几号？
3、把一篮苹果分给4人，使4人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数的乘积是1920。
这篮苹果有多少个？
第5讲：
最小公倍数
专题分析：
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。
其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
记住以下公式：
最大公因数×最小公倍数＝这两个数的积。
【例1】、两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90。
求这两个数分别是多少？
练习：
1、两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90。
求这两个数分别是多少？
2、两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60。
求这两个数的和是多少？
3、两个数的和是52，它们的最大公约数是4，最小公倍数是144。
求这两个数分别是多少？
【例2】：
甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次，甲3天去1次，乙4天去1次，丙5天去1次。
有一天三人恰好在图书馆相会。
问至少再过多少天他们又在图书馆相会？
针对练习：
1、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。
当这三路车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三条线路的车同时发车？
2、甲乙丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。
问：
再过多少时间三人第二次同时从起点出发？
3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷。
二班的同学每隔6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。
如果“六、一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去看张爷爷
第6讲：
裂项法
（一）
专题简析
同学们知道,在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
例如
，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
即
或
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【例1】.计算：
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
【课堂随练】求
的和。
【例２】.计算：
【例３】.请在（）、<>里填上适当的自然数，使得算式
成
【例４】.
【课堂随练】计算
【例５】.计算：
裂项法
（一）练习
１.2666600
=_________；
2.计算：
3．
=_________；
４.求和：
５.求和：
裂项法
（一） 作业
1.计算：
２.
=_________；
３.求出一对自然数ｘ与ｙ，使得等式
成立。
４.
=_________；
第7讲：
裂项法
（二）
【例1】求
的和
【例2】计算：
【例3】计算：
【例4】
=_________；
【例5】计算
5049/5050
裂项法
（二）练习
1.
2.
=_________
3.
=_________；
5049/5050
4.计算：
裂项法
（二）作业
1.43890
=_________；209/840
2.
=_________；
3．42×
=
4．计算：
5.计算：
第8讲消去法解题
（一）
知识要点
在一些比较复杂的应用题中，有的是由两个或多个量的某种关系构成的，解题时我们可以先把每组的数量用等式表示，然后进行比较，将其中的一个量先消去，从而把一道数量关系复杂的应用题转化成比较简单的应用题来解答。
我们把这一类的思考方法叫做消去法。
消去法的实质就是根据等式的两边加上、减去、乘以或除以相同的数，等式依然成立的道理来求未知量。
例1
某宾馆第一次买了5个热水瓶和20个茶杯，一共用去165元；第二次又买了同样的5个热水瓶和16个茶杯，一共用去149元。
算一算，热水瓶和茶杯的单价分别是多少？
例2
3箱苹果和5箱梨一共是86千克；6箱苹果和4箱梨一共是112千克。
一箱苹果和一箱梨各重多少千克？
例3
体育组买9个足球和3个皮球一共要花780元，已知5个足球比3个皮球的价钱要贵340元。
一个足球多少钱？
一个皮球多少钱？
例4
妈妈去水果店买水果，如果买5千克苹果和3千克梨，要付35元。
如果买3千克苹果和2千克梨，则要付22元。
每千克苹果和梨的价钱各是多少？
课后练习：
1、小明买了4只铅笔和3块橡皮，一共付了7.2元；红红买了同样的3块橡皮和2只铅笔，一共付了4.8元。
一只铅笔和一块橡皮的价钱各是多少？
2、张大爷第一天乘车2小时，步行3小时，共行115千米，第二天乘车1小时，步行5小时，共行75千米。
请问：
张大爷乘车的速度和步行速度各是多少？
3、一袋黄豆和一袋绿豆共重50千克，买5袋黄豆和3袋绿豆共重210千克。
一袋黄豆比一袋绿豆重多少千克？
4、食堂若要买5袋大米和3袋面粉，一共要用476元。
已知买3袋面粉比买2袋大米要便宜14元。
一袋大米多少钱？
第9讲消去法解题
（二）
知识要点
怎样用消去法解题呢？
1、如果同类事物的数量相同
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