复变函数练习题习题33文档格式.docx

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（8）

被积函数

有6个奇点，只有

在圆

的内部，于是函数

在闭圆域

上解析，则由Cauchy积分公式得

4.用Cauchy积分公式计算函数

沿正向圆周

的积分值，然后利用圆周

的参数方程

证明下面积分

（1）解：

函数

的奇点

在积分路径

的内部，而函数

在闭区域

上解析，于是由Cauchy积分公式得

（2）证明：

圆周

的参数方程为

，在它上有

于是

比较等式两边的虚部得

又

所以

7.由下面所给调和函数求解析函数

（2）

对u求偏导数有

解法1：

由Cauchy-Riemann条件得

对第一式两边对x积分得

两边对y求导，并且与上面所得

比较有

于是得

即

其中c为任意实常数.

从而

，

由于

代入上式得

解法2：

由Cauchy-Riemann方程和解析函数的求导公式可得

对v求偏导数有

对第二式两边对y积分得

两边对x求导，并且与上面所得

10.设

和

在简单闭路C上及其内部解析，试证：

（1）若

在C上及其内部处处不为零，则有

（2）若在C上有

则在C的内部有

证明：

（1）因为

在简单闭路C上及其内部解析并且处处不为零，则

在简单闭路C上及其内部处处解析，于是由Cauchy积分定理得

（2）若对于C上的任意一点

有

在简单闭路C上及其内部解析，则对于C的内部的任意一点

，由Cauchy积分公式得

所以在C的内部有

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