或a≥4.
(变条件)本例条件下,若A∩B=(3,4),求a的值.
解:
画出数轴如图,
观察数轴可知
即a=3.
利用集合交集、并集的性质解题的方法
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到A∩B=A,A∪B=B等这类问题,解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析,如A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=B⇔A⊆B等,解答时应灵活处理.
(2)当集合B⊆A时,如果集合A是一个确定的集合,而集合B不确定,运算时要考虑B=∅的情况,切不可漏掉.
1.已知集合M={1,2,a2-3a-1},N={-1,a,3},M∩N={3},则实数a的值为________.
解析:
因为M∩N={3},
所以a2-3a-1=3,
解得a=-1或a=4.
又N={-1,a,3},所以a≠-1,所以a=4.
答案:
4
2.已知集合A={x|a5}.若A∪B=R,求a的取值范围.
解:
由a5},
在数轴上表示出集合A,B,如图,
要使A∪B=R,则
解得-3≤a<-1.
综上,可知a的取值范围为{a|-3≤a<-1}.
1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C等于( )
A.{1,2,3} B.{1,2,4}
C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}
解析:
选D.因为A={1,2},B={1,2,3},
所以A∩B={1,2}.
又C={2,3,4},
所以(A∩B)∪C={1,2}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.
2.已知区间A=[-3,4),B=[-2,5],则A∩B=( )
A.[-3,5]B.[-2,4)
C.[-2,5]D.[-3,4)
解析:
选B.因为区间A=[-3,4),B=[-2,5],所以A∩B=[-2,4).
3.已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a-1,a∈N*},则M∩N=( )
A.{0}B.{1,2}
C.{1}D.{2}
解析:
选C.因为N={1,3,5,…},M={0,1,2},所以M∩N={1}.
4.已知区间A=[3,9],B=(2,5),C=(a,+∞).
(1)求A∪B;
(2)若B∩C=∅,求实数a的取值范围.
解:
(1)由A=[3,9],B=(2,5),得A∪B=(2,9].
(2)由B∩C=∅,B=(2,5),
C=(a,+∞),得a≥5,
故实数a的取值范围是[5,+∞).
[A 基础达标]
1.设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N等于( )
A.{0} B.{0,2}
C.{-2,0}D.{-2,0,2}
解析:
选D.集合M={0,-2},N={0,2},故M∪N={-2,0,2},选D.
2.已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},则P∪Q=( )
A.{x|-1≤x<3}B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|x≤4}D.{x|x≥-1}
解析:
选C.在数轴上表示两个集合,如图,
易知P∪Q={x|x≤4}.
3.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( )
A.{2}B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}
解析:
选B.(A∪B)∩C={1,2,4,6}∩C={1,2,4}.
4.已知集合M={-1,1},则满足M∪N={-1,1,2}的集合N的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
选D.依题意,得满足M∪N={-1,1,2}的集合N有{2},{-1,2},{1,2},{-1,1,2},共4个.
5.若集合A={x|-1<x<5},B={x|x≤-1或x≥4},则A∪B=________;A∩B=________.
解析:
如图所示,借助数轴可知,
A∪B=R,A∩B={x|4≤x<5}.
答案:
R {x|4≤x<5}
6.若集合A={x|x≤2},B={x|x≥a},且满足A∩B={2},则实数a=________.
解析:
当a>2时,A∩B=∅;
当a<2时,A∩B={x|a≤x≤2};
当a=2时,A∩B={2}.
综上,a=2.
答案:
2
7.已知集合M={x|-2≤x-1≤2},N={x|x=2k-1,k∈N*},维恩图如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素共有________个.
解析:
M={x|-1≤x≤3},集合N是全体正奇数组成的集合,则阴影部分所表示的集合为M∩N={1,3},即阴影部分所表示的集合共有2个元素.
答案:
2
8.设集合A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2+3x+2b=0},A∩B={2},C={2,-3}.
(1)求a,b的值及A,B;
(2)求(A∪B)∩C.
解:
(1)因为A∩B={2},
所以4+2a+12=0,4+6+2b=0,
即a=-8,b=-5,
所以A={x|x2-8x+12=0}={2,6},
B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}.
(2)因为A∪B={-5,2,6},C={2,-3},
所以(A∪B)∩C={2}.
9.(2019·伊春检测)已知集合A={x|x≥3},B={x|1≤x≤7},C={x|x≥a-1}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)若C∪A=A,求实数a的取值范围.
解:
(1)因为A={x|x≥3},B={x|1≤x≤7},所以A∩B={x|3≤x≤7},A∪B={x|x≥1}.
(2)因为C∪A=A,A={x|x≥3},C={x|x≥a-1},
所以C⊆A,所以a-1≥3,即a≥4.
[B 能力提升]
10.下列表示图形中的阴影部分正确的是( )
A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)
C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C
解析:
选A.阴影部分完全覆盖了C部分,这样就要求交集运算的两边都含有C部分.所以A正确.
11.已知集合A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0},且A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},则p+q+r=________.
解析:
因为A∩B={-2},
所以-2∈A且-2∈B,将x=-2代入x2-px-2=0,得p=-1,
所以A={1,-2},
因为A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},
所以B={-2,5},
所以q=-[(-2)+5]=-3,r=(-2)×5=-10,
所以p+q+r=-14.
答案:
-14
12.设集合A={2,-1,x2-x+1},B={2y,-4,x+4},C={-1,7},且A∩B=C,求实数x,y的值及A∪B.
解:
由A={2,-1,x2-x+1},B={2y,-4,x+4},
C={-1,7}且A∩B=C,得
7∈A,7∈B,-1∈B,
所以在集合A中x2-x+1=7,
解得x=-2或3.
当x=-2时,在集合B中,x+4=2,
又2∈A,故2∈A∩B=C,
但2∉C,故x=-2不合题意,舍去;
当x=3时,在集合B中,x+4=7,
故有2y=-1,
解得y=-
,
经检验满足A∩B=C.
综上知,所求x=3,y=-
.
此时A={2,-1,7},B={-1,-4,7},
故A∪B={-1,2,-4,7}.
13.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1或x>16},分别根据下列条件求实数a的取值范围.
(1)A∩B=∅;
(2)A⊆(A∩B).
解:
(1)若A=∅,则A∩B=∅成立.此时2a+1>3a-5,
即a<6.
若A≠∅,如图所示,
则
解得6≤a≤7.综上,满足条件A∩B=∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}.
(2)因为A⊆(A∩B),所以A∩B=A,即A⊆B.
显然A=∅满足条件,此时a<6.
若A≠∅,如图所示,
则
或
由
解得a∈∅;
由
解得a>
.
综上,满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是{a|a<6或a>
}.
[C 拓展探究]
14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:
第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种;
(2)这三天售出的商品最少有________种.
解析:
设三天都售出的商品有x种,第一天售出,第二天未售出,且第三天售出的商品有y种,则三天售出商品的种类关系如图所示.
由图可知:
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19-(3-x)-x=16(种).
(2)这三天售出的商品有(16-y)+y+x+(3-x)+(6+x)+(4-x)+(14-y)=43-y(种).
由于
所以0≤y≤14.
所以(43-y)min=43-14=29.
答案:
(1)16
(2)29