全国硕士研究生入学统一考试数学一试题含答案Word下载.docx
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n=1
（A）3
【答案】C
（B）14
-1
（）
（D）-3
⎧1⎡1⎤
【解析】f（x）=x-1
-x,
⎪2
=⎨
x∈⎣⎢0,2⎦⎥
⎦
2⎪1⎡1⎤
⎩x-2,x∈⎢⎣2,1⎥
将f（x）作奇延拓，得周期函数F（x），周期T=2
则F（x）在点x=-9处连续，从而
S（-9）=F（-9）=F（-1）=-F1
-1-1
（）=f（）=
444444
故选C
（4）设L:
x2+y2=1,L:
x2+y2=2,L:
x2+2y2=2,L
:
2x2+y2=2为四条逆时针方向
1234
y
的平面曲线，记Ii=□⎰L（y+）dx+（2x-）dy（i=1,2,3,4）.则max{I1,I2,I3,I4}=
i63
（A）I1
（B）I2
y3
（C）I3
x3∂Q
（D）I4
∂Py2
⎛y2⎫
【解析】记P=y+,Q=2x-，则
63∂x
-=2-x2-1-
∂y
=1-ç
x2+⎪，
2⎝2⎭
⎛y3⎫⎛
x3⎫
⎛∂Q
∂P⎫
⎡⎛y2⎫⎤
Ii=□⎰ç
y+
⎪dx+ç
2x-
⎪dy=⎰⎰ç
-⎪dxdy=⎰⎰⎢1-ç
x2+
⎪⎥dxdy.
L⎝6⎭⎝
3⎭D⎝∂x
∂y⎭
Di⎣⎝
2⎭⎦
用D表示L
所围区域，则有I=5π,I=1π,I=32,I=2π,I
>
I>
I.
ii
故选D
18223842
4132
（5）设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C,且B可逆，则（）（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
【答案】B
1n1n
【解析】将A,C按列分块，A=（α,...,α）,C=（γ,...,γ）
由于AB=C,故
⎛b11...b1n⎫
（α,...,α）ç
.....⎪=（γ,...,γ）
1nç
⎪1n
ç
b...b⎪
⎝n1nn⎭
即γ=bα
+...+bα,...,γ
=bα
+...+bα
1111
n1nn
1n1
nnn
即C的列向量组可由A的列向量线性表示
由于B可逆，故A=CB-1，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，选B
⎛1a1⎫⎛200⎫
（6）矩阵ç
aba⎪与ç
0b0⎪相似的充要条件为（）
⎪ç
⎪
1a1⎪ç
000⎪
（A）
⎝⎭⎝⎭
a=0,b=2
（B）
a=0,b为任意常数
a=2,b=0
（D）
a=2,b为任意常数
⎛1a1⎫
⎛200⎫
【解析】令A=ç
aba⎪，B=ç
0b0⎪，
因为A为实对称矩阵，B为对角阵，则A与B相似的充要条件是A的特征值分别为2,b,0
A的特征方程λE-A=
λ-1
a
-1
-a
λ-b
-1λ
-a=0
λ-1-λ
λ-a
=0λ-b
0-a
=λ⎡⎣（λ-2）（λ-b）-2a2⎤⎦，
因为λ=2是A的特征值，所以2E-A=0
所以-2a2=0，即a=0.
当a=0时，λE-A=λ（λ-2）（λ-b），
A的特征值分别为2,b,0所以b为任意常数即可.故选B.
123123
（7）设X,X,X是随机变量，且X~N（0,1）,X~N（0,22）,X~N（5,32），
pi=P{-2≤Xi≤2}（i=1,2,3）,则（）
p>
p>
p
123
213
312
132
【解析】
p1=P{-2≤X1≤2}=Φ
（2）-Φ（-2）=2Φ
（2）-1,
p=P{-2≤X≤2}=P⎧-2-0≤X2-0≤2-0⎫=Φ
（1）-Φ（-1）=2Φ
（1）-1,
22⎨⎬
⎩222⎭
p=P{-2≤X≤2}=P⎧-2-5≤X3-5≤2-5⎫=Φ（-1）-Φ⎛-7⎫=Φ⎛7⎫-Φ
（1）,
33⎨
⎬ç
333
3⎪ç
3⎪
⎩⎭
由下图可知，p>
p,选A.
（8）设随机变量X~t（n），Y~F（1,n），给定α（0<
α<
0.5）,常数c满足P{X>
c}=α，
则P{Y>
c2}=（）
（A）α（B）1-α
【解析】X~t（n），则X2~F（1,n）
（C）2α（D）1-2α
P{Y>
c2}=P{X2>
c2}=P{X>
c}+P{X<
-c}=2P{X>
c}=2α,选C.二、填空题：
9□14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（9）设函数y=
f（x）由方程y-x=ex（1-y）确定，则
⎡1-⎤=
limn⎢⎣f（）1⎥
【答案】1
x=0时，y=1
n→∞n⎦
方程两边对x求导得y'
-1=ex（1-y）（1-y-xy'
）所以y'
（0）=1
⎡1-⎤=
f（）-f（0）
n='
=
lim
f（0）1
n→∞
n⎦n→∞1
n
（10）已知y=e3x-xe2x,y=ex-xe2x,y
=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3
个解，则该方程的通解y=
12
【答案】y=c（e3x-ex）+cex-xe2x
【解析】y-y=e3x-ex,y-y=ex,
1223
对应齐次微分方程的通解y2=c（e3x-ex）+cex
非齐次微分方程的通解y=c（e3x-ex）+cex-xe2x
（11）设
x=sint
y=tsint+cost
d2y
（t为常数），则dx2π=
【答案】
dydy1sint+tcost-sint
=⋅==t，
dxdtdx
dt
cost
⎛dy⎫
dx⎪
dt
111
=⎝⎭⋅==,
π==
dx2
dtdxdxcost
t=π
4cos
+∞lnx
（12）dx=.
⎰1（1+x）2
【答案】ln2
+∞lnxdx=-
+∞+dx
=ln
+∞=ln2
⎰1（1+x）2
1⎰1
x（1+x）1
（13）设A=（aij）是3阶非零矩阵，
A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若
aij+Aij=0（i,j=1,2,3）
【答案】-1.
则A=
⎛100⎫
【解析】方法一：
取矩阵A=ç
0-10⎪，满足题设条件，A=-1.
⎝⎭
001⎪
方法二：
A*=-AT，则A*
=-AT
，整理得到A3-1=（-1）3
A，即A=-1或者A=0.
A=aA
+
aA
=-（a2+a2+a2）≤0
又因为A≠O，所以至少有一个aij≠0，所以
+aA
=-（a2+a2+a2）<
0
从而A=-1.
（14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则
P{Y≤a+1Y>
a}=.
【答案】1-1
e
⎧e-y，y>
0，
【解析】f（y）=⎨
⎩0，y≤0，
a+1
a,Y≤a+1}
PYa1Ya
⎰af（y）dy
=e-a-e-（a+1）=-1
a}
+∞
af（y）dy
e-ae
三、解答题：
15～23小题,共94分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
1f（x）
xln（t+1）
计算⎰0
dx，其中f（x）=⎰1tdt
【解析】f（x）=⎰xln（t+1）dt，则f'
（x）=ln（x+1）,f
（1）=0
1tx
1f（x）dx=2
1
f（x）d
=2⎡f（x）
x⎤1-21
f'
（x）dx
⎰0⎰0
⎣⎦0⎰0
=2f
（1）-2⎰1ln（x+1）
1ln（x+1）1
=-⎰=-+⎰
xdx2dx4ln（x1）d
=-⎡
0x00
11x⎤
4⎢ln（x+1）
⎣
0-⎰01+xdx⎥=-4ln2+4⎰01+xdx
其中⎰0
1+x
x=t
dx=⎰0
x=t2
dx=2tdt
t
1+t
2.2tdt=2⎰0
t2
2dt=2⎰0dt-2⎰0
11
1+tdt
=2[t-arctant]1=2（1-π）
所以原式=-4ln2+8（1-
（16）（本题满分10分）
π）=8-2π-4ln24
∞
设数列{a}满足条件：
a
=3,a
=1,a
-n（n-1）a
=0（n≥2）,S（x）是幂级数∑axn
的和函数
01n-2n
n=0
（I）证明：
S'
（x）-S（x）=0
（II）求S（x）的表达式
∞∞
nn
【解析】S（x）=∑axn,S'
（x）=∑naxn-1,
nn2
S'
'
（x）=∑n（n-1）axn-2=∑（n+2）（n+1）a+xn
n=2
（x）-S（x）=∑[（n+2）（n+1）a
n+2
-
an
]xn
因为n（n-1）an-an-2=0,n≥2，所以（n+2）（n+1）an+2-an=0（n≥0）.
⎪
⎧S'
（x）-S（x）=0,
所以⎨S（0）=a0=3,
⎪S'
（0）=a=1.
⎩1
（II）λ2-1=0,λ=1,λ=-1，所以S（x）=Ce-x+Cex.
又S（0）=3,S'
（0）=1，所以C
=1,C
=2,S（x）=e-x+2ex.
（17）（本题满分10分）
求函数f（x,y）=（y+
x）ex+y的极值
【解析】令f'
=ex+y（x2+y+
x）=0，f'
=ex+y（1+y+
x）=03
⎧x=1
⎧x=-1
解得⎨4或⎨2
⎪⎩y=-3⎪⎩y=-3
=ex+y（2x+2x2+y+x）
=ex+y（1+x2+y+x）
=ex+y（2+y+x）
A=f'
⎛
-14⎫=3e3
，B=
fx'
y'
-14⎫=e3
，C=
fy'
-14⎫=e3
1,-⎪
⎝3⎭
-2
AC-B2=3e3
又A>
-e3
=2e3>
⎛4⎫
⎛4⎫-1
所以ç
1,-⎪为f（x,y）的极小值点，极小值为fç
1,-⎪=-e3
⎝3⎭⎝3⎭
-5
2⎫=-e3，B=
-52⎫=e3
因为AC-B2<
0，所以（-1,-2）不是f（x,y）的极值点.
（18）（本题满分10分）
设奇函数f（x）在[-1,1]上具有2阶导数，且f
（1）=1.证明：
（I）存在ξ∈（0,1），使得f'
（ξ）=1.
（II）存在η∈（-1,1），使得f'
（η）+f'
（η）=1.
（I）由于f（x）在[-1,1]上为奇函数，故f（-x）=-f（x），则f（0）=0
令F（x）=f（x）-x，则F（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且F
（1）=f
（1）-1=0
F（0）=f（0）-0=0，由罗尔定理，存在ξ∈（0,1），使得F'
（ξ）=0,即f'
（ξ）=1.
（II）由于f（x）在[-1,1]上为奇函数，则f'
（x）在[-1,1]上为偶函数，所以由
（1）
（-ξ）=f'
令G（x）=ex[f'
（x）-1]，则G（x）在[-1,1]上连续，在（-1,1）内可导，且
G（ξ）=G（-ξ）=0，由罗尔定理存在η∈（-ξ,ξ）⊂（0,1），使得G'
（η）=0
即f'
（19）（本题满分10分）
设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面
z=0,z=2所围成的立体为Ω.（I）求曲面∑的方程，（II）求Ω的形心坐标.
（I）AB=（-1,1,1），所以直线L方程
x-1=y=z
-111
设∑上任一点y由直线L上的点F（y）绕z轴旋转一周得到，则
⎧⎪x2+y2=x2+y2
⎨00
⎪⎩z=z0
又x0-1=y0=z0，所以∑方程为x2+y2=（1-z）2+z2=2z2-2z+1
（II）x2+y2-2（z-1）2=1
22
设形心坐标（x,y,z），几何体关于xoz,yoz对称，x=y=0
zdv
⎰zdz⎰⎰
dxdy
232
0
z=Ω=
x2+y2≤2z2-2z+1
=π⎰0
（2z-z
z）dz
=7.
⎰⎰⎰dv
Ω
⎰0dz
⎰⎰
π2（2z2-2z+1）dz5
（20）（本题满分11分）
⎛1a⎫⎛01⎫
设A=ç
⎪,B=ç
⎪，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B.并求所
⎝10⎭⎝1b⎭
有矩阵C.
⎛x1x2⎫
【解析】设C=ç
⎪,由于AC-CA=B,故
⎝x3x4⎭
⎛1a⎫⎛x1
x2⎫-⎛x1
x2⎫⎛1
a⎫=⎛01⎫,
10⎪ç
xx⎪
xx
⎪ç
10⎪
1b⎪
⎝⎭⎝
34⎭
⎝34⎭⎝⎭⎝⎭
⎛x1+ax3
x2+ax4⎫
⎛x1+x2
ax1⎫
⎛01⎫
即ç
⎪-ç
xxx
xax
⎪=ç
⎪.
1b
⎝12⎭⎝343⎭⎝⎭
⎧-x2+ax3=0
⎪-ax+x+ax=1
⎨
⎪124
⎪x1-x3-x4=1
（I）
⎪x-ax=b
⎩23
由于矩阵C存在，故方程组（I）有解.对（I）的增广矩阵进行初等行变换：
⎛0-1
M
0⎫
⎛1
⎫
1⎫
-a1
1⎪
01-a0M0⎪ç
0⎪
1
1⎪ç
01
a+
1⎪ç
Ma+1⎪
⎝0
b⎭⎝00
b
⎭⎝0
Mb⎭
方程组有解，故a+1=0,b=0，即a=-1,b=0，此时存在矩阵C使得AC-CA=B.
⎪→ç
当a=-1,b=0时，增广矩阵变为ç
M0⎪
00
⎝00
M0⎭
x3,x4为自由变量，令x3=1,x4=0，代为相应齐次方程组，得x2=-1,x1=1.令x3=0,x4=1，代为相应齐次方程组，得x2=0,x1=1.
故ξ=（1,-1,1,0）T,ξ=（1,0,0,1）T,令x=0,x
=0，得特解η=（1,0,0,0）T，
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