北师大版秋九上期末专题训练相似三角形的基本模型含答案重命名.doc

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专题训练（七）　相似三角形的基本模型

下面仅以X字型、A字型、双垂型、M字型4种模型设置练习，帮助同学们认识基本模型，并能从复杂的几何图形中分辨出相似三角形，进而解决问题．

模型1　X字型及其变形

（1）如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；

（2）如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO∽△CDO.

1．（恩施中考）如图，在ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于（　　）

A．1∶4B．1∶3

C．2∶3D．1∶2

2．（黔东南中考）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是________．

3．已知：

如图，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．

模型2　A字型及其变形

（1）如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；

（2）如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ACD∽△ABC.

4．如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长．

5．（泰安中考改编）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：

＝.

6.如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：

＋＝.

模型3　双垂型

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.

7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为（　　）

A．3B．15

C．9D．3＋3

8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4,那么CD＝________，AC＝________.

模型4　M字型

Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB.

9．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的长．

10．（常州中考改编）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°

（1）求证：

△ABE∽△DEF；

（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．

参考答案

1．D　2.　3.∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF.∴＝，即＝.∴DF＝4.　4.∵BE＝2AB，AB＝3，∴BE＝6，AE＝9.∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AF.∴△EBC∽△EAF.∴＝.∴AF＝＝＝.　5.证明：

∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB.∴＝.又∵AB＝AD，∴＝.∴＝.　6.证明：

∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB.∴＝.又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴＝.∴＋＝＋＝＝1.∴＋＝.　7.B　8.6　3　9.∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.∴△ABC∽△CDE.∴＝.又∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，∴BC＝CD＝2.∴＝.∴AB＝4.　10.

（1）证明：

∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.

（2）∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3.∵△ABE∽△DEF，∴＝，即＝.∴DE＝2.又∵ED∥CG，∴△EDF∽△GCF.∴＝，即＝.∴GC＝6.∴BG＝BC＋CG＝4＋6＝10.