初一升初二数学暑期衔接资料(通用版).doc
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蒙娜丽莎教育初一升初二
暑期培优教材
（数学）
编者：
雷老师
成都·2015.6
目录
第一部分——温故知新
专题一整式运算·················································1
专题二乘法公式·················································3
专题三平行线的性质与判定·······································9
专题四三角形的基本性质·········································11
专题五全等三角形···············································14
专题六如何做几何证明题·········································17
专题七轴对称···················································22
第二部分——提前学习
专题一勾股定理·················································25
专题二平方根与算数平方根·······································29
专题三立方根···················································32
专题四平方根与立方根的应用····································35
专题五实数的分类···············································39
专题六最简二次根式及分母有理化··································42
专题七非负数的性质及应用·······································46
专题八二次根式的复习···········································49
第一部分——温故知新
专题一整式运算
1.由数字与字母组成的代数式叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
单项式中的叫做单项式的系数
单项式中所有字母的叫做单项式的次数
2.几个单项式的和叫做多项式
多项式中叫做这个多项式的次数
3.单项式和多项式统称为
4.整式加减实质就是后
5.同底数幂乘法法则：
（m.n都是正整数）；逆运算
6.幂的乘方法则：
（m.n都是正整数）；逆运算
7.积的乘方法则：
（n为正整数）；逆运算
8.同底数幂除法法则：
（a≠0，m.n都是正整数）；逆运算
9.零指数的意义：
；
10.负指数的意义：
11.整式乘法：
（1）单项式乘以单项式；
（2）单项式乘以多项式；（3）多项式乘以多项式
12.整式除法：
（1）单项式除以单项式；
（2）多项式除以单项式
知识点1.单项式多项式的相关概念
归纳：
在准确记忆基本概念的基础上，加强对概念的理解，并灵活的运用
例1.下列说法正确的是（）
A．没有加减运算的式子叫单项式B.的系数是
C.单项式-1的次数是0D.是二次三项式
例2.如果多项式是关于x的二次二项式，求m，n的值
知识点2.整式加减
归纳：
正确掌握去括号的法则，合并同类项的法则
例3.多项式中不含xy项，求k的值
知识点3.幂的运算
归纳：
幂的运算一般情况下，考题的类型均以运算法则的逆运算为主，加强对幂的逆运算的练习，是解决这类题型的核心方法。
例4.已知求
（1）的值
（2）的值
例5.计算
（1）
（2）
知识点4.整式的混合运算
归纳：
整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，注意运算时灵活运用法则。
例6.先化简，再求值：
，其中
知识点5.运用幂的法则比较大小
归纳：
根据幂的运算法则，可以将比较大小的题分为两种：
①化为同底数比较；②化为同指数比较
例7.比较大小
（1）
（2）
1.若A是五次多项式，B是三次多项式，则A+B一定是（）
A.五次整式B.八次多项式C.三次多项式D.次数不能确定
2.已知，，，则、、的大小关系是（）
A．＞＞ B．＞＞C．＜＜D．＞＞
3.若，，则等于（）
A．－5B.－3C.－1D.1
4.下列叙述中，正确的是（）
A.单项式的系数是0，次数是3B.a、π、0、22都是单项式
C.多项式是六次三项式D.是二次二项式
5.下列说法正确的是（）
A.任何一个数的0次方都是1B.多项式与多项式的和是多项式
C.单项式与单项式的和是多项式D.多项式至少有两项
6.下列计算：
①②③④
⑤⑥正确的有（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
7.在的积中，不想含有项，则必须为.
8.若中不含有项，则，.
9.比较大小
（1）
（2）（3）
10.计算
（1）
（2）
专题二乘法公式
1.平方差公式：
平方差公式的一些变形：
（1）位置变化：
（2）系数变化：
（3）指数变化：
（4）符号变化：
=
（5）数字变化：
98×102=（100-2）×（100+2）=10000-4=9996
（6）增项变化：
（7）增因式变化：
2.完全平方公式：
完全平方公式的一些变形：
（1）形如的计算方法
（2）完全平方公式与平方差公式的综合运用
（3）幂的运算与公式的综合运用
（4）利用完全平方公式变形，求值是一个难点。
已知：
：
，
已知：
：
，
已知：
：
已知：
：
（5）运用完全平方公式简化复杂的运算
知识点1.平方差公式的应用
例1.计算下列各题
（1）
（2）（3）999×1001
例2.计算
（1）
（2）
知识点2.完全平方公式
例3.计算
（1）
（2）
例4.已知求
（1）
（2）
例5.已知，求xy的值
知识点3.配完全平方式
归纳：
配完全平方式求待定系数有三种情况，求一次项系数（2个答案）求另一个平方项（1个答案）求另一个平方项的底数（2个答案）
例6.已知是一个完全平方式，则的值为（）
A.2B.C.4D.
知识点4.技巧性运算
归纳：
观察规律，找突破口，准确判断是添项还是拆项，熟记常见题型
例6.（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）···（1-）（1+）
例7.（1-）（1-）（1-）···（1-）（1-）
例8.（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）
例9.1990-1989+1988-1987···+2-1
1.已知m+n=2，mn=-2，则m²+n²的值为（）
A.4B.2C.16D.8
2.若为正整数，且，则的值为（）
A.833B.2891C.3283D.1225
3.若，，则等于（）
A.9B.10C.2D.1
4.下列说法正确的是（）
A．2x－3的项是2x，3B．x－1和－1都是整式
C．x2+2xy+y2与都是多项式D．3x2y－2xy+1是二次三项式
5.若单项式3xmy2m与－2x2n－2y8的和仍是一个单项式，则m，n的值分别是（）
A．1，5B．5，1C．3，4D．4，3
6.下列多项式中是完全平方式的是（）
A.2x2+4x－4 B.16x2－8y2+1C.9a2－12a+4 D.x2y2+2xy+y2
7.若a－=2，则a2+的值为（）
A．0B．2C．4D．6
8.如果多项式是一个完全平方式，则m的值是（）
A.±3B.3C.±6D.6
9.的个位数字为（）
A.2B.4C.6D.8
10.下列叙述中，正确的是（）
A.单项式的系数是0，次数是3B.a、π、0、22都是单项式
C.多项式是六次三项式D.是二次二项式
11.下列说法正确的是（）
A.任何一个数的0次方都是1B.多项式与多项式的和是多项式
C.单项式与单项式的和是多项式D.多项式至少有两项
12.下列计算：
①②③④⑤⑥正确的有（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
13.已知,x、y是非零数，如果，则.
14..
15.乘积=______________.
16.若，则=.
17.已知，则=__________=__________.
18.已知，则的值是.
19.已知的值为.
20.已知的值为.
21.当=，=时，多项式有最小值，此时这个最小值是.
22.若的值是.
23.若的值为.
24.若有意义，则的取值范围是.
25.若代数式的值为0，则，.
26.计算的结果为.
27.已知的值为.
28.多项式是一个六次四项式，则.
29.若代数式的值是8，则代数式的值为.
30.已知的值为.
31.计算的结果为.
32.已知，则=.
33.若的值为.
34.
（1）
（2）
35.若，求y-x的值
36.
（1）若，求
（2）已知，求xy的值
37.计算：
38.已知，且x＞y，求x-y的值
39.已知，，求的值.
40.已知a－b=2，b－c=3，求a2+b2+c2－ab－bc－ca的值．
专题三平行线的性质与判定
1.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行
（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行
2.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等
（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补
3.余角性质：
或的余角相等补角性质：
或的补角相等
例1.如图，AB，CD被EF所截，且∠AEG=∠CFG,EM,FN分别例1图
N
M
H
F
G
C
E
D
B
A
平分∠AEG，∠CFG。
求证：
EM∥FN
例2图
N
M
H
F
G
C
E
D
B
A
例2.如图，直线AB∥CD，MH，GN分别平分∠EMB,∠CNF，求证：
MH∥NG
例3.如图，已知AB∥CD，分别探索下列两个图中∠B,∠D，∠E之间的关系
（图2）
E
D
B
C
A
（图1）
E
C
D
B
A
例4.已知，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F点，∠E=140°，求：
∠BFD的度数
（例4图）
E
D
B
C
A
F
1.已知，AB∥CD，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，求证：
EF∥AB
B
A
F
E
D
C
2.如图，已知AB∥CD，分别探索下列三个图中∠B,∠D,∠E之间的关系
图1
E
D
C
B
A
图2
E
D
C
B
A
图3
E
D
C
B
A
3.如图，已知AB∥CD，猜想下列三个图中∠B,∠D,∠E，∠F之间的关系
图3
E
B
F
D
C
A
图2
F
E
D
C
B
A
图1
F
E
D
C
B
A
4.如图，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D．点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．
（1）如果点P在A、B两点之间运动时∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？
请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时∠α、∠β、∠γ有何数量关系？
（只须写出结论）
专题四三角形的基本性质
1．三角形三边的关系
（1）三角形任意两边之和大于第三边
（2）三角形任意两边之差小于第三边
设a，b，c为三角形的三边，用不等式表示三边的关系
2．三角形内角和定理及推论
（1）定理：
三角形三个内角的和等于180°
（2）直角三角形的两个锐角互余
3.三角形的外角
（1）定义：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角
（2）三角形外角性质。
①三角形的一个外角等于和它不相邻的
②三角形的外角和等于
4.三角形具有稳定性
5.三角形中的三种重要线段
（1）三角形的角平分线：
三角形内一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
（2）三角形的中位线：
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中位线
（3）三角形的高：
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线
注意：
（1）三角形的角平分线、中线、高线都是；角的平分线是
（2）三角形的三条角平分线、三条中线均相交于三角形一点：
三角形的三条高线：
锐角三角形在三角形；钝角三角形在三角形；直角三角形在三角形。
知识点1.三角形三边的关系
归纳：
三角形三边的关系常用来判断三条已知线段能否构成三角形，确定三角形第三边的范围，以及证明线段的不等关系。
三角形边长问题中，一定要注意判断三角形的存在性。
例1.如果三角形的两条边长分别为23cm和10cm，第三边与其中一边的长相等，那么第三边的长为cm
例2.在△ABC中，AB=AC，中线BD把△ABC的周长分为15和6两部分，求△ABC各边的长
知识点2.三角形内角与外角
归纳：
（1）在角的计算中，尽量转化在同一三角形内，根据内角和定理进行计算
（2）三角形外角性质是非常重要的知识点，通常结合角平分线、高线及三角形内角定理来解题较为常见
例3图
C
B
D
A
例3.如图，某零件中∠BAC=90°，∠B，∠C应分别是21°和32°，
检验工人量得∠BDC=148°，就断定此零件不合格，为什么？
例4.已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的大小
C
D
A
例4题
B
例5.如图，射线AD，BE，CF构成如图所示的角，求∠1+∠2+∠3等于多少？
例5图
3
2
1
F
C
A
E
B
D
1.已知三角形的三个内角度数比是1:
5:
6，则最大内角的度数为（）
Ａ．６０° Ｂ．７５° Ｃ．９０° Ｄ．１２０°
２.现有２ｃｍ．４ｃｍ．５ｃｍ．８ｃｍ长的四根木棒，任选三根组成
一个三角形，那么可以组成三角形的个数为 （ ）
Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
C
D
A
第5题
B
３.已知△ＡＢＣ为直角三角形，∠Ｃ＝９０°，若沿图中虚线剪去∠Ｃ，
则∠１＋∠２等于
4.直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角是度
5.已知△ＡＢＣ中，ＣＤ为中线，ＡＣ＝３ｃｍ，ＢＣ=４ｃｍ
则△ＡＣＤ与△ＢＣＤ的周长相差
6.如图，△ＡＢＣ中，∠Ａ＝４０°，∠ＡＣＢ＝１０４°，
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｅ
第6题图
ＢＤ为ＡＣ边上的高，ＢＥ平方∠ＡＢＣ，求∠ＢＥＣ与∠ＥＢＤ的度数
7.已知△ＡＢＣ，（１）图１，若Ｐ点是∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ的角平分线的交点，求∠Ｐ与∠Ａ的关系
（２）图２，若Ｐ点是∠ＡＢＣ和外角∠ＡＣＥ的角平分线的交点，求∠Ｐ与∠Ａ的关系
（３）图３，若Ｐ点是外角∠ＣＢＤ和∠ＢＣＥ的角平分线的交点，求∠Ｐ与∠Ａ的关系
Ｐ
Ｅ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ
图３
图１
Ｐ
Ｃ
Ｂ
Ａ
图２
Ｐ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
Ａ
专题五全等三角形
1.全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等
（2）全等三角形的对应角相等
（3）全等三角形对应边上的高，中线以及对应角的平分线
（4）全等三角形的周长、面积
2.三角形全等的判定
（1）三边分别对应相等的两个三角形全等（简称SSS）
（2）两边及夹角分别对应相等的两个三角形全等（简称SAS）
（3）两角及夹边分别对应相等的两个三角形全等（简称ASA）
（4）两角及其一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称AAS）
（5）斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称HL）
注意：
两边一角（SSA）和三角（AAA）对应相等的两个三角形不一定全等
知识点1.三角形全等的证明问题
归纳：
灵活运用三角形全等证明线段的关系及角与角之间的关系是三角形全等中常见的问题。
例1.如图，一直∠DCE=90°，CD=CE,AD⊥AC于A，BE⊥AC于B，试说明AB+AD=BE
E
C
例1图
D
B
A
例2.如图，在△MNP中，∠MNP=45°，H是高MQ和NR的交点，证明：
HN=PM
例2图
N
Q
H
M
R
P
知识点2.多次证明三角形全等
归纳：
有些线段或角的问题只用一次三角形全等无法证明，所以，需要进行2次证明三角形全等。
A
E
F
例3图
B
D
C
例3.如图，AB=CD，AE=DF，CE=BF，求证：
BE∥CF
知识点3.三角形中的和、差、倍、分问题
归纳：
利用三角形全等来证明线段的“和”“差”“倍”“分”，一般采用————截长或补短的方法
①截长法：
就是在长线段上截取一段，使截取的线段等于两条线段中的一条线段，然后证明剩下的线段等于两条短线段中另一条线段。
当遇到角平分线时，以角平分线为公共边在较长的边上截取相等部分的方法，构造三角形全等
例4.如图，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，点D、E、C在同一直线上，证明：
AD+BC=AB
例4图
4
3
2
1
D
E
C
B
A
②补短法：
就是延长两条短线段中的一条线段，使延长线的部分等于两条短线段中的另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段
当遇到中线时，通常延长中线一倍，采用补短的方法，构造三角形全等
例5.如图，D为△ABC的边BC上的一点，且CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD的中线，
C
E
D
B
A
例5图
求证：
AC=2AE
1.下面两个等腰三角形一定全等的是（）
A.边长分别为2和3的两个等腰三角形B.边长分别为3和5的两个等腰三角形
C.边长分别为4和7的两个等腰三角形D.边长分别为5和11的两个等腰三角形
A
第2题图
N
M
D
B
E
C
2.如图，AB=AC,AD=AE,AB,DC交于点M，AC,BE交于点N，∠DAB=∠EAC，证明：
AM=AN
3.如图，在△ABC中，∠1=∠2,∠ABC=2∠C，求证：
AB+BD=AC
A
第3题图
1
D
B
2
C
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