初二数学因式分解知识点经典总结(1).doc

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整式乘除与因式分解

概述

　　定义：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

　　意义：

它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

　　分解因式与整式乘法互为逆变形。

因式分解的方法

　　因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

　　注意三原则

　　1分解要彻底

　　2最后结果只有小括号

　　3最后结果中多项式首项系数为正（例如：

-3x^2+x=-x（3x-1））

基本方法

⑴提公因式法

　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　具体方法：

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

　　　　例如：

-am+bm+cm=-m（a-b-c）；

　　a（x-y）+b（y-x）=a（x-y）-b（x-y）=（x-y）（a-b）。

　　注意：

把2a^2+1/2变成2（a^2+1/4）不叫提公因式

⑵公式法

　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

　　平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）；

　　完全平方公式：

a2±2ab＋b2＝（a±b）2；

　　注意：

能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。

　　立方和公式：

a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

　　立方差公式：

a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）；

　　完全立方公式：

a3±3a2b＋3ab2±b3=（a±b）3．

　　公式：

a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）

　　例如：

a2+4ab+4b2=（a+2b）2。

　　（3）分解因式技巧

　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

　　2.分解因式技巧掌握：

　　①等式左边必须是多项式；

　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

　　注：

分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

　　3.提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

一、知识点总结：

1、单项式的概念：

由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：

的系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：

几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：

，项有、、、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：

单项式和多项式统称整式。

注意：

凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：

如：

按的升幂排列：

按的降幂排列：

按的升幂排列：

按的降幂排列：

5、同底数幂的乘法法则：

（都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：

6、幂的乘方法则：

（都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：

幂的乘方法则可以逆用：

即

如：

7、积的乘方法则：

（是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：

（=

8、同底数幂的除法法则：

（都是正整数，且

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：

9、零指数和负指数；

，即任何不等于零的数的零次方等于1。

（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。

如：

10、单项式的乘法法则：

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：

11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即（都是单项式）

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

]

如：

12、多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：

13、平方差公式：

注意平方差公式展开只有两项

公式特征：

左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：

14、完全平方公式：

公式特征：

左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

完全平方公式的口诀：

首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

15、三项式的完全平方公式：

16、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：

首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

如：

17、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：

18、因式分解：

常用方法：

提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……

三、知识点分析：

1.同底数幂、幂的运算：

am·an=am+n（m，n都是正整数）.

（am）n=amn（m，n都是正整数）.

例题1.若，则a=；若，则n=

例题2.若，求的值。

例题3.计算

练习

1.若，则=.

2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于。

2.积的乘方

（ab）n=anbn（n为正整数）.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

例题1.计算：

3.乘法公式

平方差公式：

完全平方和公式：

完全平方差公式：

例题1.利用平方差公式计算：

2009×2007－20082

例题2.利用平方差公式计算：

．

3.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）

5.因式分解：

1.提公因式法：

式子中有公因式时，先提公因式。

例1把分解因式．

分析：

把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式．

解：

说明：

用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

例2把分解因式．

分析：

按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：

说明：

由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

2.公式法：

根据平方差和完全平方公式

例题1分解因式

3.配方法：

例1分解因式

解：

说明：

这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．

4.十字相乘法：

（1）．型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．

因此，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

例1把下列各式因式分解：

（1）

（2）

解：

（1）

．

（2）

说明：

此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．

例2把下列各式因式分解：

（1）

（2）

解：

（1）

（2）

说明：

此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．

例3把下列各式因式分解：

（1）

（2）

分析：

（1）把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．

（2）由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．

解：

（1）

（2）

（2）．一般二次三项式型的因式分解

大家知道，．

反过来，就得到：

我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

例4把下列各式因式分解：

（1）

（2）

解：

（1）

（2）

说明：

用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

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