二次根式讲义.doc

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教学情况记录表

课程类别

□同步□串讲□其他（请注明类别:

_____________________）

本次课授课目标

1、了解二次根式和最简二次根式的概念

2、理解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算

3、会确定二次根式有意义的条件

教学重点

二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算

教学难点

二次根式的混合运算

教学步骤及内容

一、错题回顾

二、知识总结

1、二次根式的概念（例1）

一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.在二次根式中，可以是一个数，也可以是一个代数式，但不管是什么形式，作为被开方数的必须满足，当时，二次根式无意义.也就是说，当被开方数时，二次根式才有意义.

注意：

二次根式的两个基本特征：

一是根指数为2，二是被开方数为非负数.比如等均是二次根式，而像等均不是二次根式.

2、二次根式的性质（例2）

（1）二次根式的非负性，即，这一性质也是非负数的算术平方根.

（2）一个非负数的算术平方根的平方是它本身，即.把公式反过来就得到了式子，也就是说，逆用这一性质，可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式.

（3）任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值，即.

3、积的算术平方根的性质（例3）

积的算术平方根的性质：

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即

注意：

（1）在这个性质中，可以是实数，也可以是代数式，但不管是实数，还是代数式，都必须使二次根式有意义，即.要防止出现这样的错误.

（2）另外该性质并非局限于被开方数为两个因数，它可以推广到更多个，如.

（3）如果一个二次根式的被开方数比较大，可以运用该性质将其分解为若干个，再分别运用化简二次根式.

4、商的算术平方根的性质（例4）

商的算术平方根的性质：

商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即可以简单地说：

商的算术平方根等于算术平方根的商.

注意：

（1）在运用商的算术平方根的性质解决有关计算时，一定要准确把握性质成立的条件，即被开方数的分子为非负数，而分母大于0.

（2）如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如必须先化成，注意；如果被开方数是小数，应先化成分数，如必须先化成

5、最简二次根式（例5）

定义：

一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

如都是最简二次根式.要注意分母中不能含有根号，如不是最简二次根式.

把二次根式化为最简二次根式时，当被开方数为小数或分数时，可运用商的算术平方根的性质变形，使被开方数化为整数；当被开方数为整数时，可以把它分解因数，再运用积的算术平方根的性质变形，化为最简二次根式.

6、二次根式的乘法和除法（例6）

（1）把积的算术平方根的性质反过来写为，则为二次根式的乘法法则，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.

二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式进行相乘的运算，如.二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即系数之积作为积的系数，被开方数之积作为被开方数.

（2）把商的算术平方根的性质反过来写为，则为二次根式的除法法则，即二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变.

注意：

二次根式的乘、除法法则和积的算术平方根、商的算术平方根的性质互为逆运算，在计算和化简二次根式时可结合题目灵活运用，但始终要注意法则与性质成立的条件.

7、分母有理化（例7）

定义：

把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.例如

注意：

（1）有理化因式：

两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式.

（2）分母有理化的依据：

分式的基本性质.

（3）分母有理化的方法：

将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的二次根式.

（4）分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜，如的有理化因式是.

8、二次根式的合并（例8）

合并被开方数相同的二次根式，把系数相加减，根指数和被开方数不变.方法与整式加减运算中的合并同类项类似，例如.二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式.

9、二次根式的加减法（例9）

二次根式的加减法法则：

二次根式的加减运算，就是将被开方数相同的项进行合并。

为此，首先应将每个二次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并.可简单地概括为：

先化简，后合并.

注意：

（1）二次根式的加减实际上就是合并被开方数相同的二次根式，因此在进行二次根式加减时，能否准确化简二次根式是关键.化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并，如就是最简结果，不能再合并.

（2）二次根式的加法也满足加法交换律和结合律.

10、二次根式的混合运算

（1）运算顺序：

与数、整式和分式的混合运算一样，二次根式的混合运算，也应先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的.

（2）二次根式混合运算的结果应写为最简形式，这个形式可以是最简二次根式，也可以是几个非同类最简二次根式的和或差.

（3）在运算过程中，每个二次根式都可以看成是一个“单项式”，因此实数运算中的运算律（结合律、交换律、分配律等）和所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式等）在二次根式的运算中仍然适用.

三、例题讲解

1、下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

（1）；

（2）；（3）（4）

2、化简：

（1）；

（2）；（3）；（4）

3、化简：

（1）；

（2）

4、化简：

（1）；

（2）

5、化简

6、计算：

（1）；

（2）；（3）；（4）

7、把下列各式分母有理化：

（1）；

（2）.

8、合并被开方数相同的二次根式：

（1）；

（2）

9、

（1）；

（2）

10、

（1）（

（2）

四、中考链接

1、若实数满足，则_______

2、计算=_______

3、计算________

4、计算________

5、计算：

_________

6、_________

7、_______

8、先化简，再求值：

，其中

9、计算：

（1）

（2）

10、计算：

（1）

（2）

五、巩固提高

1、化简的结果是（）

A.10B.2C.D.20

2、计算________

3、计算________

4、计算_________

5、计算：

_________

6、计算：

_________

7、计算________

8、计算：

（1）

（2）

9、（岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）

A．B．C．D．

10、如果，那么（）

A．x≥0B．x≥6C．0≤x≤6D．x为一切实数

11、（湖南长沙）小明的作业本上有以下四题：

①；②；③；④。

做错的题是（）

A．①B．②C．③D．④

12、化简的结果为（）

A．B．C．D．

13、（青海）若最简二次根式的被开方数相同，则a的值为（）

A．B．C．a=1D．a=—1

14、（江西）化简得（）

A．—2B．C．2D．