2集合的基本关系及运算0701072106Word格式.docx
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AUB读作：
“A并B”，即:
AU
B={x|x•A，或x•B}
（1）“A，或x壬B”包含三种情况：
“A,但X送B”；
“X甩,但A”；
“x^A,且B”.
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只岀现一次）.
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；
记作：
AQB,读作：
“A交B”，即AQB={x|x•A，
且x，B};
交集的Venn图表示：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A「|B二、.
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AHB中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于Anb”.
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
3.补集
全集：
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：
对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集
（complementaryset），简称为集合A的补集，记作：
痧A；
即uA={x|x•U且XA}；
补集的Venn图表示：
要点诠释:
（1）理解补集概念时，应注意补集QjA是对给定的集合A和U（AU）相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合u,补集不同.
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；
而当问题扩展到实数集时，则R为全
集，这时Z就不是全集.
（3）eUA表示u为全集时A的补集，如果全集换成其他集合（如R）时，则记号中“u”也必须换成相应的集合（即e?
A）.
4.集合基本运算的一些结论
A'
BA，A'
BB，A'
A=A，A一一二一，A「B二B一A
A二A一B,B二A一B,A-A=A，A一一二A，A-B二B一A
（痧A）A=U,（uA）'
A=-
若Anb=a,则A二B，反之也成立
若AUB=B,则A5B，反之也成立
若x•（AnB），_则x•A且x•B
若x（AUB），_则x•A，或x•B
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集
与并集的问题时，常常从这两个字眼岀发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想
方法.
【典型例题】
类型一、集合间的关系
例1.集合A={a|a=2k,k迂N}，集合B=2b|b=_
8
A.A—BB.B—Ac.A=BD.以上都不对
【答案】B
.这就
【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：
弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的
需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.
举一反三：
【变式1】若集合A=「X|x=2k—1,kz?
B=!
x|x=41二1,1z}，则（）.
A.A=BB.B-AC.A=BD.AUB=Z
【答案】C
例2.写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【总结升华】要写岀一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写岀.当元素个数相同时，应依次将每个
元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写岀2个元素的子集时，先从a起,a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：
.一和它本身.
举一反三:
【变式1】已知：
a,b；
二A殳-a,b,c,d,ef，则这样的集合A有个.
【答案】7个
【变式2】同时满足：
①M5X,2,3,4,5I②a，M，则6-a•M的非空集合M有（）
A.16个B.15个C.7个D.6个
例3.集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={（x,y）|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？
【答案】以上四个集合都不相同
【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；
其次对于用描
述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件.
【变式1】设集合M={（x,y）|y=3x4}，N={（x,y）|y=-3x-2}，则M「|N二（）
a.{-1,1}b.{x=-1,y=1}c.（-1,1）d.{（-1,1）}
【答案】D
【变式2】设集合M={x|y=2x1,xZ}，N={y|y=2x•1,xZ}，则M与N的关系是（）
A.NUMB.MUNC.N=MD.N「M=
【答案】A
【变式3】设M={x|x=a2+1，a：
=N+}，N={x|x=b2-4b+5，b：
=NL}，贝UM与N满足（）
A.M=NB.M一NC.N^MD.MQN=_
例4.已知M={x,xy,.x-y},N={0,x,y},若m=n，则（xy）（x2y2）一八「（x10°
y100）=
【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性.
【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口•因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点.
b
【变式1】设a,b.R,集合{1,a+b,a}={0,-,b}，则b-a=（）
a
【答案】2
类型二、集合的运算
例5.设集合A」x|x=3k,kZ[,BA.y|y=3k1,kZ?
，CJz|z=3k2,kZ：
D=「w|w=6k1,kZ，求Ap|B,AnC,Bf]C,B|jD.
【答案】A"
B=Ap|C=Bp|C=乞；
Bp|D=D
【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式
给岀时，利用数轴就能使问题直观形象起来.
【变式1】已知集合M={y|y=x2-4x+3，x•R}，N={y|y=-x2-2x+8，xF}，贝UMHN等于（）
A.B.RC.{-1，9}D.[-1，9]
例6.设集合M={3，a}，N={x|x2-2x<
0，x三Z}，MHN={1}，贝UMUN为（）
A.{1，3，a}B.{1，2,3，a}C.{1，2，3}D.{1，3}
【思路点拨】先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题.
【变式1】
（1）已知:
M={x|x>
2}，P={x|x2-x-2=0}，求MJP和MQP;
（2）已知：
A={y|y=3x2}，B={y|y=-x2+4}，求：
AQB,AUB;
（3）已知集合A={-3，a2，1+a}，B={a-3，a2+1，2a-1}，其中aR，若AQB={-3}，求AUB.
【答案】
（1）{x|x>
2或x=-1}，{2};
（2）{y|0<
y<
4}，R;
（3）{-4，-3，0，1，2}.
【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中
（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点
-1;
而
（2）中结合了二次函数的值域问题；
（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求岀a的一个值时，又要检验
是否符合题设条件.
【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若AQB={2，3}，求AUB.
【答案】{2，3，6，18}
例7.已知全集U二「1,2,3,4,51A二「x|x2px4=0?
，求ca.
【思路点拨】CUA隐含了AU，对于AU，注意不要忘记A=.的情形.
【答案】当-4■■p<
4时，CuA='
1,2,3,4,5/；
当p=-4时，ca=、1,3,4,5?
；
当p=-5时，cua^2,3,5.
【总结升华】求集合A的补集，只需在全集中剔除集合A的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合A的元素不确定，因
此必须分类讨论才行.
【变式1】设全集U={xN+|x<
8}，若AQ（CuB）={1，8}，（CuA）QB={2，6}，（CuA）Q（CuB）={4，7}，求集合A，B.
【答案】{1，3,5，8}，{2，3,5，6}.
【解析】全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}
A—B的集合问题时，不要忽视A：
H-的情况.
【答案】a_4,或a：
：
-4
【答案】p_4
1x|-1—x—3/
C、
2r
3•已知全集U=R，则正确表示集合M二｛-h。
1｝和N=：
x|XX=Q；
关系的韦恩（Venn）图是（）
4•已知集合a，B满足A^B=A,那么下列各式中一定成立的是（）
A.M=NB.M.NC.NMD.MplN—_
9.若A74X,B7x2：
Ia"
b=b，则x=
10.若Ii：
x|x一-1xz?
，则CiN=
等于
12.设集合M=42,3,4,5,6』，…,氏都是M的含两个元素的子集，且满足：
对任意的
小者）则k的最大值是
15.设a1，a2，a3，a「N.，集合A「a,a2,a3,a4f,B小j,a2,a3,a4［满足以下两个条件:
（1）
A^B二：
a],a4},a■d=10；
（2）集合AUB中的所有元素的和为124，其中ai：
比"
a3：
:
去.
求ai,a2,a3,a4的值.
【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】.学生易错选C错因是未正确理解集合概念，误以为A={-1,2},
其实{（x,y）||x+1|+（y-2）2=0}={（-1,2）}，A是点集而B是数集，故正确答案应选D。
2.［答案】C
【解析】集合M中的元素是y，它表示函数y=x2-1的值域，
2
集合N中的元素是x，它表示函数y=*3-x的定义域。
由M={y|y
>
-1}，N={x|-■3<
x<
3}，知MnN={t|-1<
t<
3}，因此选Co
3.［答案】
B
［解析】由
N=〈x|x2x=01，得N={-1,0}，则NM,选B.
4.［答案】
C
【解析】Ar）B=A：
=A—B：
=aUb=B
5.［答案】D
6.［答案】
2k1奇数klk2整数M:
N:
［解析】
44；
44，整数的范围大于奇数的范围
7.［答案】
a=3,b=4
［解析］A=CU（GA）={x|3Ex"
}={x|a"
Eb}.
8.［答案】26
［解析】全班分4类人：
设既爱好体育又爱好音乐的人数为x人；
仅爱好体育的人数为（43-X）人；
仅爱好音乐的人数为
（34_x）人；
既不爱好体育又不爱好音乐的人数为4人.「.43_x•34_x•x•4=55，二x=26.
9.［答案】°
，2,或一2
［解析】由A「IB=B得B丄A，则x2二4或X2二x，且x=1.
10.【答案】
【解析】I「"
UN,CiN「"
11.［答案】：
2，一2;
【解析】M：
y=x-4（x=2）,M代表在直线y=x-4上，但是挖掉（2,-2）的点，cuM代表直线y=x
一4外,
但是包含点（2,_2）的点；
N代表直线y=X-4外的点，CuN代表直线y=x-4上的点，•.GM）门（CuN）二心-2）「
12.【答案】11
【解析】含2个元素的子集有15个,但丫1,2：
、2,4二'
3,6?
只能取1个；
M，3、2,6』只能取1个；
'
2,3、
只能取1个，故满足条件的两个元素的集合有11个.
13.
【答案】a=1或a一-1
14.
U,6?
而A={V,0}也=4（a+1）2—4（a2—1）=8a+8
B=：
_4,0?
得a=1
a=1或a--1
14.【答案】1或2
【解析】a--2,-1?
，由（CUA）nB-一，得ba，
当m=1时，B=，符合B-A；
当m=1时，B=T,—m*，而B」A，•.-m=-2，即m=2
/.m=1或2.
15.【答案】
a1—1,a2=3,a3=5,a4=9
【解析】由
aDb二玄和得q,%是完全平方数，又
qa4=10,a<
a4
•d=1,a4=9；
1,9丘A“B，由9乏b可得3己A，由9壬A可得8^B
设A中另一元素为x,
则A二{1,3,9,x},B={l,9,81,x'
}
又AUB中所有元素之和为124,所以xx二30,解得x=5或x--6（舍），
a=1,&
2=3月3=5,34=9
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