圆的证明与计算.docx
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以圆为背景的证明、动态探究题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.
（1）求证：
MD=ME
（2）填空：
①若AB=6，当AD=2DM时，DE=___________；
②连接OD，OE，当∠A的度数为____________时，四边形ODME是菱形.
2.如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP=________cm时，四边形AOBP是正方形．
3.如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO．
（1）求证：
△CDP≌△POB;
（2）填空：
①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_________________;
②连接OD，当∠PBA的度数为________时，四边形BPDO是菱形．
4.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC.
（1）求证：
∠PCA=∠B;
（2）已知∠P=40°,AB=12cm,点Q在优弧AC上，从点A开始以πcm/s的速度逆时针运动到点C停止（点Q与点A、C不重合），设运动时间为ts.
①当t=________时，以点A、Q、B、C为顶点的四边形面积最大。
②当t=________时，△ABQ与△ABC全等。
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE,⊙O的半径为。
（1）求证：
OE∥AB;
（2）①当BC=_________时，四边形ODEC是正方形。
②当BC=_________时，AD=3DE.
6.如图，AD是⊙O的直径，AD=2BD,点C是上的不与A、D重合的动点，连接BC、BA、AC.
（1）求∠ACB的度数；
（2）填空：
已知⊙O半径为4，
①当的长为___________时，四边形OBDC是菱形。
②当的长为___________时，四边形ABDC是矩形。
7.如图，在△ABC中AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC,垂足为点F.
（1）求证：
DF为⊙O的切线。
（2）若过点A且与BC平行的直线交BE延长线于点G,连接CG,设⊙O的半径为5.
①当CF=_________时，四边形ABCG是菱形。
②当BC=时，四边形ABCG的面积是__________.
8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边AC上一点O为圆心，OA为半径作圆，恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F.
（1）求证：
BD是⊙O的切线；
（2）若AB=，点E是半圆AmF上一动点，连接AE、AD、DE.填空：
①当的长度是_________时，四边形ABDE是菱形；
②当的长度是_________时，△ADE是直角三角形。
9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O的直线OM∥BC,交AC于点M。
（1）∠AMO的度数是________。
（2）延长OM交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线，交BC的延长线于点F，连接FM并延长，交AB于点G.
①试判断四边形CFEM的形状，并说明理由；
②若AG=2，CM=3，则四边形CFEM的面积是__________.
圆的证明计算题
1.如图，AB为⊙O的直径，OP⊥AB交⊙O于点D,PM切⊙O于点M，AM交OP于点N,过点B作PM的平行线交⊙O于点C.
（1）求证：
PM=PN；
（2）若AB=4,DP=OD，求弦BC的长.
2..如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作OP，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC.
（1）求证：
PC是⊙O的切线.
（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的长.
3..如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是弧的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F.
（1）求证：
CD是⊙O的切线；
（2）若cos∠CAD=，BF=15,求AC的长.
4..如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证：
BE=CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC=8，AD=10，求CD的长
5.如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB＝15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．
（1）求证：
CD是半圆O的切线；
（2）若DH=，求EF和半径OA的长．
6..如图AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D.
（1）求证；DB=DE.
（2）若AB=12,BD=5,求⊙O的半径.
7..如图△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE，交CD于点P,交⊙O于另一点F,连接DF，∠CAE=∠ADF.
（1）求证：
AB是⊙O的切线.
（2）若PF:
PC=1:
2,AF=5,求PC的长.
8..如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：
直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
9..如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且⊙O的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
10.如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E,连接BD.
（1）求证DE是⊙O的切线；
（2）若AD=2BD,CE=1,求⊙O的半径.
11.如图，PA、PB切⊙O于A、B，C是线段PB上的点，且OC∥PA，CD⊥PA，垂足为点D.
（1）求证：
OC=AD；
（2）若⊙O的半径为3，PA=9,求OC的长.
12.如图，△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD,∠D=∠BAF.
（1）求证：
AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CE=2,求EF的长.
13.如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，C是圆上一点，且AC平分∠PAE，CD⊥PA于点D.
（1）求证：
CD是⊙O的切线；
（2）若CD+AD=6,AE=10，求线段AB的长；
.
14.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点E，交AC于点F.作EH⊥AC,垂足为点H.
（1）求证：
EH是⊙O的切线；
（2）连接OH，若CH=1,OH=,求⊙O的半径.
15.如图，以AB为直径的圆交△ABC的边AC于点D，∠CBD=∠BAC.
（1）求证：
BC是⊙O的切线；
（2）若AE=6，tan∠BAC=，tan∠BEC=,求圆的直径.
圆的基本概念与定理
1.如图，E为正方形ABCD的边CD的中点，经过A，B，E三点的⊙O与边的值为__________．
2.如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO．以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于F，G两点，连接EF．若∠BAC=22°，则∠EFG=______．
3.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5，BE=1，CD=，则∠AED=___________．
4.如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC，BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于_________．
x
y
Q
P
O
A
5.如图，半圆的直径AB的长为10，弦AC的长为6，AD平分∠BAC交半圆于D，连接CD，则CD的长为____________．
C
D
A
B
O
6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），以点A为圆心，以2为半径在第一象限内作半圆，点P是半圆上一动点，PQ⊥OP交y轴于点Q，则OQ长度的最小值是_____________．
7.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E的度数是____________．
C
A
D
E
F
H
O
A
B
C
O
D
P
8.如图，BC是⊙O的直径，点A、D分别在CB、BC的延长线上，且AB＝BC＝CD，点P是圆上任意一点（不与点B、C重合），则tan∠APB·tan∠DPC的值为_____________．
9.如图，⊙O中，BC是弦，AD过圆心O，AD⊥BC，E是⊙O上一点，F是AE延长线上一点，EF＝AE，连接CF．若AD＝9，BC＝6，则线段CF长度的最小值是_____________．
P
B
A
C
Q
O
O
A
D
F
E
B
C
10.如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，BP＝OB＝2，点Q在⊙O上，连接PQ交⊙O于点C，若PC＝CQ，则弦AQ的长为_____________．
11.如图，⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为E，AB＝4，CD＝2，动点P从B点出发，沿劣弧BD运动到D点，AF⊥CP于F，则线段AF的中点M所经过的路径长为__________，线段AF所扫过的图形面积为__________．
D
A
B
C
P
O
A
B
C
D
O
E
P
F
M
12.如图，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD＝3，AB＝4，BC＝6，则△PDC的面积的最小值是_____________．
13.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AE＝1，BE＝5，∠AEC＝45°，则CD的长为_____________．
A
B
O
D
C
E
F
A
B
O
E
D
C
14.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F，则若∠E＝α，∠F＝β，∠A＝______________．（用含α、β的代数式表示）
15.如图，AB、AC、AE是⊙O的弦，CD⊥AB于D，AC平分∠BAE的外角，若AD＝3，AE＝2，则BD＝_____________．新初中数学命题解题群340529648
A
B
F
D
C
E
O
A
B
C
D
E
O
16.AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是直径AB上一点，DF∥AC，交BC于E，交⊙O于F，若AB＝13，AC＝5，＝，则CF的长是__________
17如图，AB是⊙O的直径，CB、CD是O的切线，切点分别为B、D，且CB＝AB，连接AC、BD交于点E，则的值为_____________．
A
B
C
D
O
E
A
D
B
C
E
F
O
18.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AD上（不与A、D重合），点F在边CD上，且∠EBF＝45°，若△ABE的外接圆⊙O与CD边相切，则△BEF的面积为_____________．
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