最新人教版九年级下册锐角三角函数单元考试卷附答案.doc
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九年级下《锐角三角函数》单元考试卷
班级姓名学号成绩
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．
1．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）．
A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（）
（A）tanA·cotA=1（B）sinA=tanA·cosA（C）cosA=cotA·sinA（D）tan2A+cot2A=1
3．Rt△ABC中，∠C=90°，、、分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么等于（）
A.B.C.D.
4．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．
1，2，3
B．
1，1，
C．
1，1，
D．
1，2，
5．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
6．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tan∠EFC=，那么该矩形的周长为（ ）
A
B
C
D
αA
A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为
8．如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则．
9．如图，∠DBC=30°，AB=DB，利用此图求tan75°= ．
10．因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=cos（180°+30°）＝﹣cos30°＝﹣，因为cos45°=，cos225°＝﹣，所以cos225°＝cos（180°+45°）＝﹣，猜想：
一般地，当α为锐角时，有cos（180°+α）＝﹣cosα，由此可知cos240°的值等于.
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，在下列叙述中：
①sinA+sinB＞1；②sin=；③=tanA，其中正确的结论是 ．（填序号）．
12．水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则的余弦值为.
13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：
MB=AN：
ND=1：
2，则tan∠MCN=
14．用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．①如图，射线OA放置在4×5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）B，并连接OB、AB使△AOB为直角三角形，并且tan∠AOB的值为1.
②如图，射线OA放置在4×5的正方形网格中，现请你在下图添画（工具只能用无刻度的直尺）射线OB，使tan∠AOB的值为
16.已知a是锐角，且sin（a+15°）=.计算4cosα+tanα+的值.
17．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．
（参考数据：
sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）
18．日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估．如图上午9时,海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观测到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？
（参考数据：
sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，ta
n67.5°≈）
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1,3）在反比例函数y=的图象上，且sin∠BAC=。
（1）求k的值和边AC的长；
（2）求点B的坐标。
20．阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ，
tan（α±β）=，利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：
tan15°=tan（45°﹣30°）===
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
（1）计算：
sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据，）
21.水坝的横截面是梯形ABCD（如图1），上底AD=4米，坝高AM=DN=3米，斜坡AB的坡比i1=1：
，斜坡DC的坡比i2=1：
1．
（1）求坝底BC的长（结果保留根号）；
（2）为了增强水坝的防洪能力，在原来的水坝上增加高度（如图2），使得水坝的上底EF=2米，求水坝增加的高度（精确到0.1米，参考数据≈1.73）．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，也可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：
等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）填空：
sad60°= ，sad90°= ，sad120°= ；
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ；
（3）如图，已知，其中A为锐角，试求sadA的值；
（4）设sinA=k，请直接用k的代数式表示sadA的值为．
23．如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：
DF是⊙O的切线；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．
六、（本大题共1小题，共12分）
24．已知：
抛物线与x轴交于点A（，0）、B（，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C.
（1）若m＞1，△ABC的面积为6，求抛物线的解析式；
（2）点D在x轴下方，是
（1）中的抛物线上的一个动点，且在该抛物线对称轴的左侧，作DE∥x轴与抛物线交于另一点E，作DF⊥x轴于F，作EG⊥x轴于点G，求矩形DEGF周长的最大值；
（3）若m<0，以AB为一边在x轴上方做菱形ABMN（∠NAB为锐角），P是AB边的中点，Q是对角线AM上一点，若，，当菱形ABMN的面积最大时，求点A的坐标．
九年级下《锐角三角函数》单元考试卷
班级姓名学号成绩
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．
1．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）．
A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高
解：
甲放的高度为：
300×sin30°=150米．
乙放的高度为：
250×sin45°=125≈176.75米．
丙放的高度为：
200×sin60°=100≈173.2米．
所以乙的最高．故选D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（）
（A）tanA·cotA=1（B）sinA=tanA·cosA
（C）cosA=cotA·sinA（D）tan2A+cot2A=1
解：
根据锐角三角函数的定义，得
A、tanA•cotA==1，关系式成立；
B、sinA=，tanA•cosA==，关系式成立；
C、cosA=，cotA•sinA=•=，关系式成立；
D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，关系式不成立．故选D．
点评：
本题考查了同角三角函数的关系．
（1）平方关系：
sin2A+cos2A=1
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：
一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA•cosA．
（3）正切之间的关系：
tanA•tanB=1．
3．Rt△ABC中，∠C=90°，、、分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么等于（）
A.B.
C.D.
解：
A、acosA+bsinB=a•+b•=≠c，故此选项错误；
B、asinA+bsinB=，故此选项正确；
C、+=c+c=2c≠c，故此选项错误；
D、+=+c≠c，故此选项错误．故选B．
4．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．
1，2，3
B．
1，1，
C．
1，1，
D．
1，2，
考点：
解直角三角形
专题：
新定义．
分析：
A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；
B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；
C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．
解答：
解：
A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：
D．
点评：
考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．
5．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
解：
由数轴上A点的位置可知，＜A＜2．
A、由sin30°＜x＜sin60°可知，×＜x＜，即＜x＜，故本选项错误；
B、由cos30°＜x＜cos45°可知，＜x＜×，即＜x＜，故本选项错误；
C、由tan30°＜x＜tan45°可知，×＜x＜1，即＜x＜1，故本选项错误；
D、由cot45°＜x＜cot30°可知，×1＜x＜，即＜x＜，故本选项正确．故选D．
6．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tan∠EFC=，那么该矩形的周长为【 】
A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm
解：
在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，
∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，
∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF，
∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°，
∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∵tan∠EFC=，
∴设BF=3x、AB=4x，
在Rt△ABF中，AF===5x，
∴AD=BC=5x，
∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x，
∵tan∠EFC=，
∴CE=CF•tan∠EFC=2x•=x，
∴DE=CD﹣CE=4x﹣x=x，
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即（5x）2+（x）2=（10）2，
整理得，x2=16，
解得x=4，
∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，
矩形的周长=2（16+20）=72cm．
故选A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为
解：
根据勾股定理可以得到：
AC=BC=，AB=．
∵（）2+（）2=（）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．故选C．
8．如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则．
图5
A
B
C
D
αA
（第7题）
解：
过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F．
∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，
∴EF和l2、l3、l4的夹角都是90°，
即EF与l2、l3、l4都垂直，
∴DE=1，DF=2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADE+∠CDF=90°．
又∵∠α+∠ADE=90°，
∴∠α=CDF．
∵AD=CD，∠AED=∠DCF=90°，
∴△ADE≌△DFC，
∴DE=CF=1，
∴在Rt△CDF中，CD==，
∴sinα=sin∠CDF===．
9．如图5，∠DBC=30°，AB=DB，利用此图求tan75°= ．
解：
∵AB=BD，∴∠A=∠ADB．
∵∠DBC=30°=2∠A，
∴∠A=15°，∠ADC=75°．
设CD=x，
∴AB=BD===2x，
BC=CD×cot∠DBC=x，
AC=AB+BC=（2+）x，
∴tan∠ADC=tan75°
=AC：
CD
=2+．
10．因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=cos（180°+30°）＝﹣cos30°＝﹣，因为cos45°=，cos225°＝﹣，所以cos225°＝cos（180°+45°）＝﹣，猜想：
一般地，当α为锐角时，有cos（180°+α）＝﹣cosα，由此可知cos240°的值等于.
解：
∵当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，
∴cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，在下列叙述中：
①sinA+sinB＞1；②sin=；③=tanA，其中正确的结论是 ①③ ．（填序号）．
考点：
互余两角三角函数的关系．菁优网版权所有
分析：
根据三角函数的定义及互余两角的三角函数的关系作答．
解答：
解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，设斜边AB=c，两直角边BC=a，AC=b．
①sinA+sinB=+=，
∵a+b＞c，∴＞1，
∴sinA+sinB＞1，正确；
②sin=cos（90°﹣）=cos=cos，错误；
③∵==，tanA=，
∴=tanA，正确．故正确的结论是①③．
点评：
本题考查了锐角三角函数的定义及互余两角的三角函数的关系．
在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
如果A+B=90°，那么sinA=cosB．
12．第16题图
水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则的余弦值为.
【分析】由题意知道∠BAC=90°，AD⊥于BC于点D，AD=1，且∠DAC=∠ABC=α，AC为2π。
则cosα==。
【答案】
【涉及知识点】圆柱侧面展开图、余弦值的求法。
【点评】本题考查了学生对几何体侧面展开图的理解以及空间想象能力，同时也考查了动手实践能力和转化的数学思想。
13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：
MB=AN：
ND=1：
2，则tan∠MCN=（ ）
考点：
全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理
专题：
计算题．
分析：
连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，
连接MN，过M点作ME⊥ON于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NF=x，表示出CF，根据勾股定理即可求得MF，然后求得tan∠MCN．
解答：
解：
∵AB=AD=6，AM：
MB=AN：
ND=1：
2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，连接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（LH）
∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC=AC，
∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，
3BC2=AB2，
∴BC=2，
在Rt△BMC中，CM===2．
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴MN=AM=AN=2，
过M点作ME⊥ON于E，设NE=x，则CE=2﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=
（2）2﹣（2﹣x）2，
解得：
x=，
∴EC=2﹣=，
∴ME==，
∴tan∠MCN==
故选A．
点评：
此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
14．用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是 sin35°=或b≥a ．
考点：
作图—复杂作图；切线的性质；解直角三角形．
分析：
首先画BC=a，再以B为顶点，作∠ABC=35°，然后再以点C为圆心b为半径交AB于点A，然后连接AC即可，①当AC⊥BC时，②当b≥a时三角形只能作一个．
解答：
解：
如图所示：
若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：
①当AC⊥BC时，即sin35°=②当b≥a时．
故答案为：
sin35°=或b≥a．
点评：
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．①如图，射线OA放置在4×5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）B，并连接OB、AB使△AOB为直角三角形，并且tan∠AOB的值为1.
②如图，射线OA放置在4×5的正方形网格中，现请你在下图添画（工具只能用无刻度的直尺）射线OB，使tan∠AOB的值为
16.已知a是锐角，且sin（a+15°）=.计算4cosα+tanα+的值.
【答案】由sin（α+15°）=得α=45°
原式=
17．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．
（参考数据：
sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）
考点：
解直角三角形的应用
分析：
过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．
解答：
解：
过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，
∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°，
∴∠CAF=68°，
在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0.744m，
在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE≈0.336m，
∴FG=FC+CG≈1.1m．
故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1m．
点评：
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
18．日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估．如图上午9时,海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观测到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城第18题
市P的距离？
（参考数据：
sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）
【答案】解：
过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里．
在Rt△APC中，∵tan∠A=，∴AC=．…………2分
在Rt△PCB中，∵tan∠B=，∴BC=．…………4分
∵AC＋BC=AB=21×5，∴，解得．
∵，∴（海里）．
∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．………………6分
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1,3）在反比例函数y=的图象上，且sin∠BAC=。
（1）求k的值和边AC的长；
（2）求点B的坐标。
5.解：
（1）∵点A（1,3）在反比例函数的图像上
∴
作CD⊥AB于点D，所以CD＝3
在Rt△ACD中，sin∠BAC=，
∴，解得AC=5
（
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