比例线段三角形一边平行线.docx
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比例线段三角形一边平行线
比例线段
一、比例的性质:
如果a,b,c,d是比例线段,即
d
c
ba=（或d
cba:
:
=
那么线段da,是比例外项,线段b、c是比例内项,线段d是a,b,c的第四比例项。
补充:
十字相乘:
若
dcba=,则;
对角线性质:
若d
c
ba
=
则;倒数性质:
若d
c
ba=
则;
性质1:
如果线段dcba,,,满足dcba=,那么d
d
cbba
ddcbba-=
-+=+,是否成立?
性质2:
如果线段dcba,,,满足dc
ba=,那么d
cba
dbca==++是否成立?
例题:
已知:
如图,ECAEBDAD=,求证:
（1ECAC
DBAB=
;（2AE
ACADAB=练习
1.已知:
如图,C是线段AB上的一点,且57=CBAB。
则=
CBAC,
=AC
CB
。
2.已知（x+y:
y=11:
4,求（1x:
y;（2y
xy
x32--的值.
3.已知线段a、b、c、d成比例,其中a=12厘米,b=3厘米,c=4厘米,求第四比例项d的长.
4.已知△ABC和△A'B'C'中,,3
2
=''=''=''ACCACBBCBAAB且A'B'+B'C'+C'A'=24厘米,求△ABC的周长.
5.已知（3ky
x
zxzyzyx=+=+=+,求k的值.
比例中项,黄金分割
四、比例中项
如果比例的两个内项（或两个外项相同a:
b=b:
c,那么这个相同的项叫做另两项的比例中项.上述比例式中,b叫做a和c的比例中项.这时,acb=2
。
黄金分割
在比例式
AB
AP
APPB=
中,线段AP称为线段AB与线段PB的比例中项;如图,点P是线段AB上的一个动点,则点P在运动过程中,线段AP,PB,AB之间有怎样的一个数量关系?
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB两段,其中AP是AB和PB的比例中项,那么称这种分割为黄金分割（goldensection,点P称为线段AB的黄金分割点.
AP与AB的比值称为黄金分割数（简称黄金数.黄金分割数是一个无理数,在应用时常取它的近似值0.618.一般来说,一条线段的黄金分割点有个.练习:
1,求线段a,b的比例中项:
（133,3==ba;（22
1
5,215+=-=
ba;
2,已知线段MN的长为2厘米,点P是线段MN的黄金分割点,则较长线段MP的长是_____厘米,较短线段
PN的长是_______厘米.
3.已知点P是线段AB上的黄金分割点,AP>PB,AB=4厘米,那么线段AP,PB的长分别是____厘米和___厘米.
已知点P是线段AB上的黄金分割点,被分得的较长的线段PB=4厘米,那么较短的线段PA=____厘米,AB=___厘米.
五、面积比1.同高三角形:
（1如图（1,D是BC边的中点,则
=
∆∆ACD
ABD
SS___________.（2如图（2,点D是边BC边上的一点,且DC:
BD=1:
2,
=∆∆ABD
ADC
SS;
（3如图（2,若
23
SSABDABC=∆∆,则=BC
BD;
面积之比可转化为线段之比,反之,线段之比也可以转化为面积之比。
练习.（1如图,D是△ABC的边BC上一点,若BD:
DC=3:
2,则
=∆∆ADCABD
SS;=∆∆ABC
ADCSS;
（2如图,若53
SSABCABD=∆∆,则=BC
BD;
2.同底等高三角形
练习1.如图,已知梯形ABCD中,AB//DC,△AOB的面积等于9平方厘米,△AOD的面积等于6平方厘米.
（1求△BOC的面积.（2求OA
COOBDO=的值.
2.如图:
在梯形ABCD中,AD//BC,4,2==∆∆BOCoABSS,求梯形ABCD的面积.
3..探究新知:
如图,已知△ABC与△ABD的面积相等,试判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
三角形一边的平行线
六、三角形一边的平行线性质定理
三角形一边的平行线性质定理:
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例.符号表达式:
∵DE∥BC,∴_______________________________________________例题:
如图,已知DE∥BC,AB=15,AC=10,BD=6,求AE.
复合图形的证明与分析:
例题1.已知DF//BC,求证:
CF
OF
BEOEADOD=
=
例题2.已知DE//AB、EF//BC,求证:
CF
OF
ADOD=
C
C
A
A
例题3.CD//AB、DE//BC,求证:
OA
OC
OCOE=
例题4.如图,在平行四边形ABCD中,F为边BA延长线上一点,连接C、F交AD于点E,
求证:
CE
AE
ABAF=
七、三角形一边的平行线性质定理的推论
可证得结论同样成立.
由上述探究,请用语言叙述这一结论.
三角形一边的平行线性质定理的推论:
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例
符号表达式BCDE//,∴_____________________
例题1,.已知:
在△ABC中,BD平分∠ABC,DE//BC,AE=4,BC=8,求AE
的长.
例题2.,已知在梯形ABCD中,EF//AD,AD=2,BC=5,AE=1,BE=2,求EF的长.
例题3.在△ABC中,D为BC中点,M为AD的中点,连接BM,延长BM交AC于点
N,求AN:
NC的值.
例题4.如图已知小明的身高是1.6米,他在路灯下的影长为2米,小明距路灯灯杆的底部3米,则路灯灯炮距地面的
高度是____米.
八、三角形一边的平行线性质定理的推论
例题.如图,在平行四边形ABCD中,E为边BC的中点,分别连接A、E和B、D交于点F,求BF:
FD的值
D
练习1:
如图,在平行四边形ABCD中,E、G为边BC和线段BE的中点,分别连接A、E和G、D交于点F,求EF:
AF的值
练习2:
如图,在平行四边形ABCD中,E、H为边BC和AB的中点,分别连接E、H和B、D交于点F,求BF:
FD的值
练习3:
如图,在平行四边形ABCD中,M、N、P分别是AB、AD、AN的中点,求EN∶CN的值.
例题.已知在梯形ABCD中,AD//BC,EF为中位线AD:
BC=2:
3,求EF:
MN的值.
证明类:
例题1.如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,DE//BC,点F在BC边上,AF与
DE相交于点G.求证:
AB·EG=AD·CF
练习:
已知:
如图,AG//BC,BD=DC,求证:
.
例题2.在△ABC中,D为边BC上一点,且,求证:
∠BAD=∠CAD
例题3.已知:
如图,在平行四边形ABCD中,经过对角线BD的中点P的直线分别交边AB、CD所在直线于点E、F,分别交边AD、BC于点M、N,求证:
PE·PM=PF·PN
A
BC
D
E
PN
M
B
AC
AB
DC
BD
例题4.已知在梯形ABCD中,AD//BC,BE//CD,求证:
FC2=FA·FE.
例题5.如图,在△ABC中,,求证:
BD=EC
练习:
如图,在△ABC中,点D在BC的延长线上,点F在边AB上,联结DF交AC
于点E,如果,求证:
△FAE是等腰三角形。
计算证明类:
练习1:
在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,且BE与CD交于点G,点M、N分别是BE、CD的中点,连接MN,求证:
BC=4MN.
练习2:
在正方形ABCD中,E为边CD上一点,DE:
EC=3:
1,延长AE交BC边的延长线于点F,G为AE的中点,求BG:
GD的值.
八、重心:
例题.已知:
如图,BE,CF是△ABC的中线,交于点G.求证:
2
1
==GCGFGBGE三角形的三条中线交于一点.
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心三角形重心定理
三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍.重心练习
AB
ACEFDF=DCDEBCAB=
2.在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,E为AC的中点,求BE的长;
3.在△ABC中,中线AD,BE,CF交于点G,AD⊥CF,AD=9,CF=12求AB和BE的长;
4.已知:
在Rt△ABC中,∠BCA=900,AC=5,∠B=300,G是重心,则CG=;
5.在△ABC中,中线AD,BE交于点G,CP//AD交BE延长线于点P,求PC;AD=;
图1
图2图3
图4
图5
6.在等边△ABC中,G为重心,AB=1,把△ABG绕点A旋转使点B与点C重合,点
G到点G’处,求S△AGb’;
7.
在△ABC中,G为重心,求证:
S△ABG=S△BCG=S△ACG
8.在四边形ABCD中,G1是△ABC的重心,G2是△DBC的重心,G1G2=2厘米,求AD的长;
9.如图是一个半径为10,圆心角为90°的扇形,点P是弧上一个动点（与A、B不重合.PH⊥OB,G是△POH的重心,问点P在运动过程中,在PG,OG,HG这三条线段中,是否存在长度不变的线段?
若存在是哪一条?
它的长度等于多少?
九、三角形一边的平行线判定定理.三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
符号表达式:
.//DBADBCDEEC
AE
∴=
根据比例的性质知,在关系式①ECAE
=
DBAD②AC
AE=ABAD③ACEC=ABBD中,由其中一个可推出其余两个.因此,以关系式①、②、③之一为已知条件,都可推出DE∥BC.
如果点D、E分别在线段AB,AC的延长线上或分别在它们的反向延长线上,且具备条件之一,那么也可以用上述同样的方法推出DE∥BC.
三角形一边的平行线判定定理推论:
如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧,所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.练习
1.已知:
如图,点A1、B1、C1分别在射线OA、OB、OC上,且AB∥A1B1,BC∥B1C1.求证:
AC∥A1C1.
2.已知:
点D、E分别在△ABC的边AB和AC的延长线上,BD=2AB,CE=2AC.求证:
DE∥BC.
3.已知:
如图,点O在△ABC内部,点D、E、F分别在线段OA、OB、OC上,且DE∥AB,EF∥BC.求证:
DF∥AC.
十、平行线分线段成比例定理
引入:
如图,DE∥FG∥BC,已知AF=27,DF=15,BF=9,AG=18.则EG=__,GC=___.平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例.符号表达式:
321////lll,（DF
EF
ACBCDFDEACABEFDEBCAB===∴
当图中ι2经过AC的中点B,即AB=BC时,则DE=EF.
平行线等分线段定理（直线ι在平移过程中,上述比例式始终成立.
两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等.平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质定理有着内在的联系.
例题已知:
如图ι1∥ι2∥ι3,AM=3,BM=2,BC=4,DE=7.5,求DM,DF的长.
已知线段a、b、c,如何求作一条线段x,使x是a,b,c的第四比例项（即a:
b=c:
x.
下面哪种画法是正确的?
练习
1.如图,已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线ι1,ι2于点A、B、C.和点D、E、F.
（1如果AB=6,BC=10,EF=8,则DE=;
（2如果DE:
EF=3:
5,AC=24,则AB=_____,BC=_____.
2.如图,直线ι1,ι2,ι3分别交直线ι4于点A、B、C,交直线ι5于点D、E、F,且ι1∥ι2∥ι
3.
已知AB=3,AC=5,DF=9,求DE、EF的长.
第1题图第2题图
3.如图,已知线段AB,在线段AB上求作一点C,使AC:
CB=1:
2.
4.如图,已知AD∥EF∥BC.（1如果AE=4,DF=5,EB=6,求FC的长.（2如果AE:
EB=2:
3,FC=6,求DF的值.
5.如图,已知直线ι1、ι2、ι3分别截直线ι4于点A、B、C,截直线ι5于点D、E、F,且ι1∥ι2∥ι3.
（1如果AB=4,BC=8,DE=6,求EF的长.
（2如果DE:
EF=2:
3,AC=15,求AB的长.
小结练习1:
1、如图ABC∆中,DE∥BC,DE分别交AB、AC于点D、E,则
=BDAD,=ABAD,=AB
DB
。
2、若B、C分别是⊿ADE的边DE、AD的延长线上的点,且AE∥BC则
=DCAD,=ACAD,=BE
BD3、ABC∆中,DE∥BC,DE分别交AB、AC于点D、E,已知AD=3,BD=2,CE=4,则AE=.
4、在ABC∆中,DE∥BC,DE分别交AB、AC于点D、E,已知AB=6,AD=2,EC=3,则AE=.
5、如果D、E分别是⊿ABC的边AB、AC的延长线上的点,且DE∥BC,AE=30,EC=20,AB=16则AD=.
6、在ABC∆中,D、E分别在AB、AC上,且DE∥BC,如果
3
2
=DBAD,且AC=10,则AE=.7、在△ABC中,D、E分别在AB、AC的反向延长线上,DE∥BC,若AD∶AB=3∶4,EC=14厘米,则AC=.
8、在△ABC中,点D、E分别在AB、BC边上,DE∥AC.如果AB=12cm,BC=16cm,AD=5cm,那么BE=cm.
9、如图,已知AE∥BC,AC、BE交于点D,若32=DCAD,则
BE
DE
=;10、如图,L1∥L2∥L3,AB=3,BC=2,CD=1,则下列式子中不成立的是（
（AEC∶CG=5∶1（BEF∶FG=1∶1（CEF∶FC=3∶2（DEF∶EG=3∶5
11、如图,在ABC∆中,DE∥BC,交AB于D,交AC于E,F为BC上的一点,DE交AF
AD=2BD,AE=5,求（1
AF
AG
;（2AC的长.
小结作业2:
1、已知在ABC∆中,DE∥BC,点D、E分别在边AB、AC上。
（1若AD=5,DB=3,AE=4求EC的长（2若AB=9,DA=6,AE=4求AC的长（3若AC=12,EC=4,DB=5求AB的长
2、已知AM与BN相交于点P,AB∥MN,PN=8,PM=12,PA=6求AE的长.
3、如图,在△ABC中,点D、E分别在AC、AB上,如果DE∥BC,
183==∆∆BCDADESS,,求EBDS∆
小结练习3.1、在DABC中,D、E分别在AB、AC上，下列条件能判断DE∥BC的是（）
（1）AD=6，BD=9，AE=4，AC=10
（2）AD=8，AC=16，AE=6，AB=12（3）AB=2DB，AC=2CEDE==BCAPBP3MN3、△PMN中,点A、B分别在MP和NP的延长线上,==则=AMBN8BA2、在△ABC中,D、E分别在AB、AC上,DE∥BC，则4、在△ABC中,D、E分别在AB、AC上,DE∥BC，DE=2，BC=5，AE=3，则EC=5、如图,已知菱形ADEF，AC=15，AB=10，则CF=.6、如图，在△ABC中,ÐC=90°，四边形EDFC为内接正方形,AC=5，BC=3，则AE∶DF=.7、如图，在平行四边形ABCD中，E为的BC中点,F是BE的中点,AE与DF交于H，则AH∶HE=CFAEDB.BDFADHADEFCAECBFECB第5题图第6题图第7题图8、如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列式子中成立的是……………（（A）第8题图）ADBFABDEEFACADBF（B）（C）（D）====DBECBCACABCEDBFC9、在△ABC中,点D、E、F分别在AC、AB、BC上,且DE=3,BF=4.5，ADAE2==，求证：
EF∥AC.ACAB5小结练习4.1.如图,在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上,已知AD=3，AB=5，AE=2，EC=由此判断DE与BC的位置关系是,理由是2.如图,AM∶MB=AN∶NC=1∶3，则MN∶BC=3.如图,△PMN中,点A、B分别在MP和NP的延长线上,A4,3..CAPBP3MN则===AMBN5BAABPAODDBECNBMAMNBC第1题第2题第3题第5题4.△ADE中,点B和点C分别在AD、AE上,且AB=2BD，AC=2CE，则BC∶DE=5.如图,四边形ABCD中,AC、BD相交于O,若..AODO，AO=8，CO=12，BC=15，则AD==COBO6.△ABC中,直线DE交AB于D,交AC于点E,那么能推出DE∥BC的条件是………（A.AB3EC1AD2DE2AD2CE2AD4AE4C.=，=B.=，==，=D.=，=AD2AE2AB3BC3DB3AE3AB3EC3
7.△ABC中,DE∥BC，AFAD,求证:
EF∥CD.=DFDBFDBAEC8、如图,AC、BD相交于点O,且AO=2,OC=3，BO=10，OD=15，求证：
∠A=∠C.BCAOD9.已知在△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、CA上,且求证：
四边形CFDE是菱形.AFADCE,CF=CE，==FCDBEBFADCEB
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