圆锥曲线的综合经典例题有答案解析Word文档格式.docx
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有共同的渐近线，且过点
；
（2）与双曲线
有公共焦点，且过点
（1）解法一：
设双曲线的方程为
由题意，得
，解得
所以双曲线的方程为
解法二：
设所求双曲线方程为
将点
代入得
所以双曲线方程为
即
（2）解法一：
设双曲线方程为
－
=1
由题意易求
又双曲线过点
，∴
又∵
故所求双曲线的方程为
解法二：
总结升华：
先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定
.在第
（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第
（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.
（1）求双曲线的方程，关键是求
，在解题过程中应熟悉各元素（
及准线）之间的
关系，并注意方程思想的应用.
（2）若已知双曲线的渐近线方程
，可设双曲线方程为
）.
【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）一渐近线方程为
，且双曲线过点
（2）虚轴长与实轴长的比为
，焦距为10.
【答案】
（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是
故设双曲线方程为
∵点
在双曲线上，
∴
∴所求双曲线方程为
（2）由已知设
则
）
依题意
∴双曲线方程为
或
3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点
（2）焦点在直线
：
上
从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；
从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论
（1）∵点
在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左
当抛物线开口方向左时，
设所求的抛物线方程为
∵过点
当抛物线开口方向上时，
∴所求的抛物线的方程为
对应的准线方程分别是
（2）令
，令
∴抛物线的焦点为
当焦点为
时，
此时抛物线方程
焦点为
此时抛物线方程为
这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.
【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）焦点为F（4,0）；
（2）准线为
；
（3）焦点到原点的距离为1；
（4）过点（1，－2）；
（5）焦点在直线x-3y+6=0上.
（1）所求抛物线的方程为y2=16x；
（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；
（3）所求抛物线的方程y2=±
4x或x2=±
4y；
（4）所求抛物线的方程为
（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.
【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在
轴负半轴上，过顶点且倾角为
的弦长为
，求抛物线的方程.
【答案】设抛物线方程为
），又弦所在直线方程为
由
，解得两交点坐标
∴
∴抛物线方程为
类型二：
圆锥曲线的焦点三角形
4．已知
是椭圆
）的两焦点，P是椭圆上一点，且
，求
的面积.
如图求
的面积应利用
，即
.关键是求
.由椭圆第一定义有
由余弦定理有
，易求之.
解析：
设
依题意有
（1）2-
（2）得
即
∴
【变式1】设
为双曲线
上的一点，
是该双曲线的两个焦点，若
，则
的面积为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】依据双曲线的定义有
又
所以
，故选A.
【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点
的弦交左半支于
两点，且
，设右焦点
的周长.
【答案】：
由双曲线的定义有:
两式左、右分别相加
得（
即
∴
故
的周长
【变式3】已知椭圆的焦点是
直线
是椭圆的一条准线.
①求椭圆的方程；
②设点P在椭圆上,且
求
①
.
②设
则
，
又
【变式4】已知双曲线的方程是
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设
和
是双曲线的左、右焦点，点
在双曲线上，且
的大小
（1）由
，
.焦点
，离心率
，渐近线方程为
（2）
【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点
，且
，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比
（1）求椭圆与双曲线的方程；
（2）若
为这两曲线的一个交点，求
的余弦值.
（1）设椭圆方程为
），双曲线方程
则
∵
∴
故所求椭圆方程为
，双曲线方程为
（2）由对称性不妨设交点
在第一象限.设
由椭圆、双曲线的定义有:
解得
由余弦定理有
类型三：
离心率
5．已知椭圆上的点
和左焦点
，椭圆的右顶点
和上顶点
，当
（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.
因为
，所以本题应建立
的齐次方程，使问题得以解决.
设椭圆方程为
则
∵
又∵
求椭圆的离心率，即求
的比值，则可由如下方法求
（1）可直接求出
（2）在不好直接求出
的情况下，找到一个关于
的齐次等式或
用同一个量表示；
（3）若求
的取值范围，则想办法找不等关系.
【变式1】如图，
分别是双曲线
的两个焦点，
是以
为圆心，以
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且
是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
B．
【答案】连接
是直角三角形，且
令
即
，故选D.
【变式2】已知椭圆
）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且
，求椭圆的离心率.
法一：
∴
又
，代入上式，得
利用
代入，消
即
由
法二：
在ΔABF中，∵
下略）
【变式3】如图，椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过其右焦点F作斜率为1的直线,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点C,使
.求椭圆的离心率.
【答案】设椭圆的方程为
），焦距为
则直线l的方程为:
设点
则
∵
＋
∴C点坐标为
∵C点在椭圆上,∴
∴
∴
又
【变式4】设
为椭圆的两个焦点，点
为直径的圆与椭圆的交点，若
，则椭圆离心率为_____.
【答案】如图，点
满足
在
中，有：
，∴
令此椭圆方程为
则由椭圆的定义有
∴
又∵
6．已知
为椭圆的两个焦点，
为此椭圆上一点，且
.求此椭圆离心率的取值范围；
如图，令
则在
中，由正弦定理
令此椭圆方程为
）,则
∴
即
∴
且
为三角形内角，
即此椭圆离心率的取值范围为
【变式1】已知椭圆
，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使
，求其离心率
的取值范围.
【答案】△F1PF2中，已知
，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，
由余弦定理：
4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°
①
又|PF1|+|PF2|=2a②
联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴
【变式2】椭圆
的焦点为
，两条准线与
轴的交点分别为
，若
，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】由
故离心率
.所以选D.
【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线
交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．
【答案】e∈[
1）
【变式4】双曲线
（a＞1,b＞0）的焦距为2c,直线
过点（a,0）和（0,b）,且点（1,0）到直线
的距离与点（-1,0）到直线
的距离之和s≥
c．求双曲线的离心率e的取值范围．
【答案】直线
的方程为bx+ay-ab=0．
由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点（1,0）到直线
的距离
．
同理得到点（-1,0）到直线
=
由s≥
c,得
≥
c,
即5a
≥2c2．
于是得5
≥2e2．
即4e4-25e2+25≤0．
解不等式,得
≤e2≤5．
由于e＞1,
所以e的取值范围是
类型五：
轨迹方程
7．已知
中，
为动点，若
边上两中线长的和为定值15.求动点
的轨迹方程.
充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视
解法一：
设动点
则
边上两中点
的坐标分别为
∵
即
从上式知，动点
到两定点
的距离之和为常数30，
故动点
的轨迹是以
为焦点且
的椭圆，
挖去点
∴动点
的轨迹方程是
解法二：
的重心
动点
点的轨迹是以
为焦点的椭圆（挖去点
且
其方程为
代入上式，得
）为所求.
求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.
【变式1】求过定点
且和圆
:
相切的动圆圆心
的轨迹方程.
【答案】设动圆圆心
动圆半径为
（1） 动圆
与圆
外切时，
（2）动圆
内切时，
由
（1）、
（2）有
∴动圆圆心M的轨迹是以
为焦点的双曲线，
且
故动圆圆心
的轨迹方程为
【变式3】已知圆
的圆心为M1，圆
的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.
【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，
由两圆外切的条件可得：
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，
故所求轨迹方程为
【变式4】若动圆
相外切，且与直线
相切，求动圆圆心
动圆半径
，动圆与直线
切于点
，点
依题意点
在直线
的左侧，故
∵
∴
化简得
即为所求.
作直线
过
作
于
，交
依题意有
由抛物线定义可知，点
为顶点，
为焦点，
为准线的抛物线.
故
为所求.
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