224 平面与平面平行的性质.docx
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224平面与平面平行的性质
2.2.4平面与平面平行的性质
知识点
平面与平面平行的性质定理
（1）文字语言：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
（2）符号语言：
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥B．
（3）图形语言：
平面与平面性质定理的证明
如图，已知平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝B．求证：
a∥B．
1．给出四种说法：
（1）若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ.
（2）若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交．
（3）若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α.
（4）若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥B．
其中正确说法的序号是________．
面面平行性质定理的应用
已知α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.求证：
AB＝CD．
2．已知α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和D，E，F.求证：
＝
.
平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且
＝
.求证：
EF∥β.
3.如图所示，AB与CD是夹在两个平行平面α与β之间的线段，且直线AB与CD是异面直线，M与P分别为线段AB与CD的中点．求证：
直线MP∥平面β.
已知：
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求
的值．
A组训练
1．α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）
A．α，β都平行于直线a，b
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．a，b是α内的两条直线，且α∥β，b∥β
D．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
2．如果平面α∥平面β，夹在α和β间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．平行，相交或异面
3．四棱台ABCD-A1B1C1D1上底面两条对角线AC，BD与下底面的两条对角线A1C1，B1D1的位置关系是（ ）
A．AC∥A1C1，BD∥B1D1
B．AC∥B1D1，BD∥A1C1
C．AC⊥A1C1，BD⊥B1D1
D．AC⊥B1D1，BD⊥A1C1
4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于（ ）
A．2∶25B．4∶25
C．2∶5D．4∶5
5．已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：
①α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b或a，b相交；
②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
③m∥n，m∥α⇒n∥α；
④α∩β＝a，a∥b⇒b∥β或b∥α.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③B．②④
C．①④D．②③
6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过B1B的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则MN＝________AC．
7．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β内运动时，那么所有的动点C，
（1）不共面；
（2）当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面；
（3）当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面；
（4）不论A，B如何移动都共面．
其中正确的结论为________（只填序号）．
8．夹在两平行平面间的两条线段AB、CD相交于O（如图所示），已知AO＝4，BO＝2，CD＝9，则线段CO，DO的长分别为________．
9.如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.
求△A′B′C′的面积．
10.如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PD上的点，且
＝
，求证：
直线MN∥平面PBC．
B组训练
1．已知l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（ ）
A．D1B1∥平面ABCDB．BD∥平面AD1B1
C．l∥平面A1C1D．l⊥B1C1
2．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水（如图①），固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜（如图②），随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）水面EFGH所在四边形的面积为定值；
（4）棱A1D1始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图③所示时，BE·BF是定值．
其中所有正确命题的序号是________．
3.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，连接AE，AF，EF，点M是线段AC上的动点，连接BM，EC＝2FB＝2.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?
4.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G，H分别是AA1，CD，CB，CC1，BB1的中点，求证：
（1）MN∥B1D1；
（2）AC1∥平面EB1D1；
（3）平面EB1D1∥平面BDG.
2.2.4平面与平面平行的性质参考答案
知识点
平面与平面平行的性质定理
（1）文字语言：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
（2）符号语言：
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥B．
（3）图形语言：
平面与平面性质定理的证明
如图，已知平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝B．求证：
a∥B．
[证明] 因为α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a⊂α，b⊂β，
又因为α∥β，所以a，b没有公共点．
又因为a，b同在平面γ内，
所以a∥B．
1．给出四种说法：
（1）若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ.
（2）若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交．
（3）若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α.
（4）若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥B．
其中正确说法的序号是________．
解析：
（1）正确．证明如下：
如图，
在平面α内取两条相交直线a，b，分别过a，b作平面δ，φ，使它们分别与平面β交于两相交直线a′，b′.
因为α∥β，所以a∥a′，b∥b′.
又因为β∥γ，同理在平面γ内存在两相交直线a″，b″，使得a′∥a″，b′∥b″，所以a∥a″，b∥b″，所以α∥γ.
（2）正确．若直线a与平面β平行或直线a⊂β，则由平面α∥平面β知a与α无公共点或a⊂α，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．
（3）正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥B．
因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥B．
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．
因为a⊂α，所以PQ⊂α.
（4）错误．若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a与b平行、相交和异面都有可能．
答案：
（1）
（2）（3）
面面平行性质定理的应用
已知α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.求证：
AB＝CD．
[证明]
因为AB∥CD，所以过AB、CD可作平面γ，
且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD．
因为α∥β，所以BD∥AC．
因此，四边形ABDC是平行四边形．
所以AB＝CD．
2．已知α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和D，E，F.求证：
＝
.
证明：
连接AF，交β与G，
连接BG，EG，则β∥γ，
得
＝
.
由α∥β，得
＝
，
所以
＝
.
平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且
＝
.求证：
EF∥β.
[证明]
（1）当AB，CD共面时，
∵α∥β，且平面ABDC∩α＝AC，平面ABDC∩β＝BD，∴AC∥BD，
∴ABDC是梯形或平行四边形．
由
＝
，得EF∥BD．
又BD⊂β，EF⊄β，∴EF∥β.
（2）当AB，CD异面时，
作AH∥CD交β于点H，连接BH，DH，则四边形AHDC是平行四边形，作FG∥DH交AH于点G，连接EG，于是
＝
.
∵
＝
，∴
＝
，
于是EG∥BH.
又BH⊂β，EG⊄β，∴EG∥β.
又FG∥DH，DH⊂β，而FG⊄β，
∴FG∥β.又EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥β，而EF⊂平面EFG，
∴EF∥β.
3.如图所示，AB与CD是夹在两个平行平面α与β之间的线段，且直线AB与CD是异面直线，M与P分别为线段AB与CD的中点．求证：
直线MP∥平面β.
证明：
如图所示，过点A作AE∥CD，且AE交平面β于E，连接DE与BE.
∵AE∥CD，∴由AE与CD可以确定一个平面γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.
∵α∥β，∴AC∥DE.
取AE的中点N，连接NP与MN，如图所示．
∵M与P分别为线段AB与CD的中点，
∴NP∥DE，MN∥BE.
又∵NP⊄平面β，DE⊂平面β，MN⊄平面β，BE⊂平面β，∴NP∥平面β，MN∥平面β.
∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥平面β.
∵MP⊂平面MNP，∴MP∥平面β.
已知：
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求
的值．
[解] 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.①2分
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点.3分
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
所以BC1∥D1O，所以D1为线段A1C1的中点.7分
所以D1C1＝
A1C1.
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，
平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，
所以AD1∥DC1.10分
又因为AD∥D1C1，
所以ADC1D1是平行四边形，②
所以AD＝C1D1＝
A1C1＝
AC，
所以
＝1.12分
A组训练
1．α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）
A．α，β都平行于直线a，b
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．a，b是α内的两条直线，且α∥β，b∥β
D．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
解析：
选D．A中α，β有可能相交；B中α内有三个不共线的点到β的距离相等，则α与β有可能相交；C中因为a和b不一定相交，则α与β就不一定平行；D中因为a和b是异面直线，可以在α内作a和b的平行线a′和b′，则a′和b′相交，在β内作a和b的平行线c和d，则c和d相交，再利用面面平行可以得α∥β.
2．如果平面α∥平面β，夹在α和β间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．平行，相交或异面
解析：
选D．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AA1∥BB1，A1D∩A1B＝A1，AD1与A1B是异面直线．故选D．
3．四棱台ABCD-A1B1C1D1上底面两条对角线AC，BD与下底面的两条对角线A1C1，B1D1的位置关系是（ ）
A．AC∥A1C1，BD∥B1D1
B．AC∥B1D1，BD∥A1C1
C．AC⊥A1C1，BD⊥B1D1
D．AC⊥B1D1，BD⊥A1C1
解析：
选A．对角面AA1C1C和BB1D1D分别交上下两个平行的底面为对角线，于是AC∥A1C1，BD∥B1D1.
4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于（ ）
A．2∶25B．4∶25
C．2∶5D．4∶5
解析：
选B．平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝
＝
＝
.
5．（2014·六安高一评估检测）已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：
①α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b或a，b相交；
②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
③m∥n，m∥α⇒n∥α；
④α∩β＝a，a∥b⇒b∥β或b∥α.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③B．②④
C．①④D．②③
解析：
选C．对于②，α∥β，m⊂α，n⊂β可能得到m∥n，还有可能是直线m，n异面；对于③，m∥n，m∥α，当直线n不在平面α内时，可以得到n∥α，但是当直线n在平面α内时，n不平行于平面α.故选C．
6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过B1B的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则MN＝________AC．
解析：
由面面平行的性质定理可得，
AB1∥ME，B1C∥EN.
又因为E为BB1的中点，
所以M为AB的中点，
N为BC的中点，
所以MN綊
AC．
答案：
7．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β内运动时，那么所有的动点C，
（1）不共面；
（2）当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面；
（3）当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面；
（4）不论A，B如何移动都共面．
其中正确的结论为________（只填序号）．
解析：
根据平面平行的性质，不论A，B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上．
答案：
（4）
8．夹在两平行平面间的两条线段AB、CD相交于O（如图所示），已知AO＝4，BO＝2，CD＝9，则线段CO，DO的长分别为________．
解析：
∵AC∥BD，∴
＝
，
则
＝
，∴CO＝6，OD＝3.
答案：
6，3
9.如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.
求△A′B′C′的面积．
解：
相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB、A′B′，由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.
同理相交直线BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、B′C′，从而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′.
∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反．
∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.
∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，
∴△ABC∽△A′B′C′.∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，
∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.
∴
＝
＝
.
而S△ABC＝
AB·AC＝
×2×1＝1，
＝
，
∴S△A′B′C′＝
S△ABC＝
×1＝
.
10.如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PD上的点，且
＝
，求证：
直线MN∥平面PBC．
证明：
过N作NR∥DC交PC于点R，连接RB．
依题意得，
＝
＝
＝
＝
⇒NR＝MB．
因为NR∥DC∥AB，
所以四边形MNRB是平行四边形，
所以MN∥RB．
又因为RB⊂平面PBC，
所以直线MN∥平面PBC．
B组训练
1．已知l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（ ）
A．D1B1∥平面ABCDB．BD∥平面AD1B1
C．l∥平面A1C1D．l⊥B1C1
解析：
选D．A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确，B，C可由线面平行的判定定理判定正确．D错在D1B1∥l，l与B1C1所成角是45°.
2．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水（如图①），固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜（如图②），随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）水面EFGH所在四边形的面积为定值；
（4）棱A1D1始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图③所示时，BE·BF是定值．
其中所有正确命题的序号是________．
解析：
（1）∵AD∥BC，BC固定于地面上，
∴AD与地面平行，从而AD与水平面平行．
AD∥FG∥EH.
又∵AA1∥BB1∥CC1∥DD1，
∴四边形BCGF，FGHE，HEAD和ABCD均为平行四边形．
∵平面ABFE∥平面DCGH，
∴有水的部分始终成棱柱形（四棱柱或三棱柱）．
（2）同理可证没有水的部分始终呈棱柱形．
（3）当底面ABCD放置在地面上时，水面面积与上、下底面面积相等，在倾斜过程中，水面的面积可能变大，也可能变小，因此命题（3）不正确．
（4）∵棱A1D1∥AD，AD平行于水面，
∴棱A1D1始终与水面所在平面平行．
（5）∵水的体积不变，而棱柱BEF-CHG的高不变，
∴柱的底面积不变，从而BE·EF为定值．
答案：
（1）
（2）（4）（5）
3.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，连接AE，AF，EF，点M是线段AC上的动点，连接BM，EC＝2FB＝2.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?
解：
如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.
∵EC＝2FB＝2，∴PE綊BF，
∴四边形BPEF为平行四边形，
∴PB∥EF.
又AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，
PQ⊄平面AEF，PB⊄平面AEF，
∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.
又PQ∩PB＝P，
∴平面PBQ∥平面AEF.
又BQ⊂平面PBQ，
∴BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M，
即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.
4.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G，H分别是AA1，CD，CB，CC1，BB1的中点，求证：
（1）MN∥B1D1；
（2）AC1∥平面EB1D1；
（3）平面EB1D1∥平面BDG.
证明：
（1）因为M，N分别是CD，CB的中点，
所以MN∥BD．又因为BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1，
从而MN∥B1D1.
（2）连接A1C1，交B1D1于点O，连接OE.
因为四边形A1B1C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的中点．因为E是AA1的中点，所以EO是△AA1C1的中位线，所以EO∥AC1.
又AC1⊄平面EB1D1，EO⊂平面EB1D1，
所以AC1∥平面EB1D1.
（3）连接GH，因为EA綊B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1∥AH.因为AD綊HG，则四边形ADGH是平行四边形，所以DG∥AH，所以EB1∥DG.
又因为BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以BD∥B1D1.
因为BD∩DG＝D，
所以平面EB1D1∥平面BDG.
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