三角形全等之手拉手模型倍长中线截长补短法旋转寻找三角形全等方法归纳总结Word文件下载.docx
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之间的夹角为多少度？
HD
是否平分
∠AHE
？
3：
如图两个等腰直角三角形
ADC
EDG
，连
结
2
4：
两个等腰三角形
，其中
AB
BD
CB
EB,
∠ABD
∠CBE
α
连结
∆DBC
HB
∠AHC
二、倍长与中点有关的线段
倍长中线类
考点说明：
凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可
以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
A
BMC
【练
中，
5
，AC
9
，则
BC
边上的中线
AD
的长的取值范围是什么？
2】如图所示，在
∆ABC
的
边上取两点
E
、
F
，使
BF
，连接
CF
，求
证：
AC
+
>
EC
FC
．
C
AEFB
【例2】
如图，已知在
是
边上的中线，
上一点，延长
BE
交
于
，
AF
EF
，求证：
3
E
F
B
D
1】如图，已知在
上一点，且
延长
EF
AB
2】如图，在
于点
D
，点
中点，
∥
CA
的延长
线于点
，交
G
，若
BG
为
的角平分线．
G
3】如图所示，已知
中，AD
∠BAC
，E
、F
分别在
、AD
上．DE
求证：
AB
BEDC
【例3】
已知
AM
的中线，
∠AMB
∠AMC
的平分线分别交
、交
于
．求证：
M
1
】在
Rt∆ABC
是斜边
的中点，
分别在边
上，满足
∠DFE
90︒
．若
3
4
，则线段
DE
的长度为_________．
4
DF
CEB
2】在
中，点
的中点，点
M
N
分别为
上的点，且
MD
⊥
ND
（1）若
∠A
，以线段
BM
MN
CN
为边能否构成一个三角形？
若能，该三
角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
N
【例4】
如图所示，在
，延长
到
的中点，
连接
，求证
2EC
BC
1】已知
的延长线，且
边上的中线．
2CE
AEBD
★全等之截长补短：
人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性
质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一
种特殊方
1.如图所示，
∠C
90
0
∠B
45
，AD
D。
AB=AC+CD。
5
CDB
的角平分线
AD、CE
相交于点
O。
AE+CD=AC。
O
2.如图所示，已知
∠1
∠2
，P
BN
PD
D，AB+BC=2BD，求证：
∠BAP
∠BCP
180
。
P
3.如图所示，在
中，AB=AC，
∠CBD
，CE
垂直于
的延长线于
E。
BD=2CE。
∠ABC
的平分
线，
=30
0，
点，求证：
AC-AB=2BE。
C
BD
6
6.如图所示，已知
//CD，
BCD
的平分线恰好交于
AD
上一点
BC=AB+CD。
7.如图，E
是AOB
的平分线上一点，
ECOA
EDOB
，垂
足为
、D
（1）OC=OD
；
（2）DF=CF
B
7
三、截长补短
问题
垂直平分线（性质）定理是_______________________________________________________
角平分线（性质）定理是__________________________________________________________
等腰三角形的两个底角________，简称______________；
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称____________．
当见到线段的______________考虑截长补短，构造全等或等腰转移____、转移____，然后和_________重新组合解决问
题．
三角形全等之截长补短
（一）
一、单选题（共
道，每道
25
分）
1.已知，如图，BM
平分∠ABC，P
上一点，PD⊥BC
D，BD=AB+CD．
∠BAP+∠BCP=180°
请你仔细观察下列序号所代表的内容：
①；
②∵∠1=∠2；
③∠A=∠BEP；
④AP=PE；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧．
以上空缺处依次所填最恰当的是（）
A.①③⑥⑦B.①③⑤⑧
C.②③⑥⑦D.②④⑤⑧
2.已知，如图，BM
平分∠ABC，点
D，BD=AB+DC．
第8页共18页
①延长
BA，过点
作
PE⊥BA
E；
②延长
BA
E，使
AE=DC，连接
PE；
③延长
DC=AE；
④；
⑦．
A.②④⑦B.①⑤⑥
C.③④⑥D.①⑤⑦
3.已知，如图，在五边形
ABCDE
中，AB=AE，AD
平分∠CDE，∠BAE=2∠CAD，求证：
BC+DE=CD．
第9页共18页
①在
上截取
CF=CB，连接
AF；
②在
DF=DE，连接
③在
DF=DE；
④AE=AF；
⑤AF=AE，∠4=∠3；
⑥∠4=∠3；
⑧；
⑨
A.①④⑨B.③⑤⑧
C.①⑥⑦D.②⑤⑨
4.已知，如图，在五边形
中，AB=AE，∠BAE=2∠CAD，∠ABC+∠AED=180°
F，使
EF=BC，连接
BC=EF；
第10页共18页
F，连接
④
A.③⑤⑥⑧B.①④⑥⑨
C.①⑤⑥⑨D.②④⑦⑧
第11页共18页
四、三角形全等旋转与截长补短专题
问题一：
题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？
（构造旋转的条件）
问题二：
旋转都有哪些模型？
【例
1】
如图，P
是正△ABC
内的一点，若将△PBC
绕点
旋转到
＇BA
，则∠PBP＇的度数是
（）
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
2】
如图，正方形
BAFE
与正方形
ACGD
共点于
A，连接
BD、CF，
BD＝CF
并求出∠DOH
的度数。
3】
中，∠FAD＝∠FAE
BE＋DF＝
AE。
1．题干中出现对图形的旋转——现成的全等
2．图形中隐藏着旋转位置关系的全等形——找到并利用
3．题干中没提到旋转，图形中也没有旋转关系存在——通过作辅助线构造旋转！
4】
已知：
如图：
正方形ABCD
中，∠MAN＝45°
，∠MAN
的两边分别交
CB、DC
M、N。
BM＋DN＝MN。
5】
中，∠EAF＝45°
，连接对角线
M，交
N，证明：
DN2
＋BM2＝MN2
6】
如图，已知△OAB
和△OCD
是等边三角形，连结
和
BD，相交于点
E，AC
BO
交于
点
F，连结
BC。
求∠AEB
的大小。
7】
如图所示：
△ABC
中，∠ACB＝90°
，AC＝BC，P
是△ABC
内的一点，且
AP＝3，CP＝2，
BP＝1，求∠BPC
本课总结
1．图中有相等的边（等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形）
2．这些相等的边中存在共端点。
3．如果旋转（将一条边和另一条边重合），会出现特殊的角：
大角夹半角、手拉手、
被分割的特殊角。
构造旋转辅助线模型：
1．大角夹半角
2．手拉手（寻找旋转）
3．被分割的特殊角
测试题
1．如图，P
是正
BP
是∠ABC
的角平分线，若将
∆PBC
旋转到
∆P'
∠PBP'
的度数是（）
C．90°
P'
2．如
中，AB＝AC，BC
为最大边，点
D、E
BC、AC
上，BD＝CE，F
延长线
上一点，BF＝CD，则下列正确的是（）
A．DF＝DEB．DC＝DFC．EC＝EAD．不确定
3．如图，四边形
中，∠ABC＝30°
，∠ADC＝60°
，AD＝DC，则下列正确的是（）
A．BD2＝AB2＋BC2B．BD2＜AB2＋BC2C．BD2＞AB2＋BC2D．不确定
4．已知△ABC
∠ACB
90°
，AE
为角平分线交
F，则图中的直
角三角形有（）
A．7
个B．6
个C．5
个D．4
个
5．如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则下列正确的是（）
A．
△ABD
≌△
ACE
C．
△BMF
CMS
B．
△ADF
AES
D．
△ADC
ABE
P
S
，，
6．如图，已知
为正方形
ABCD
的对角线
上的一点（不与
A、
重合）
PE⊥BC
与点
PF⊥CD
F，若四边形
PECF
逆时针旋转，连结
BE、DF，则
下列一定正确的是（）
A．BP＝DPB．BE2＋EC2＝BC2C．BP＝DF
D．BE＝DF
7．如图，等腰直角△ADB
与等腰直角△AEC
A
，则下列一定正确
的是（）
A．BE＝DCB．AD∥CEC．BE⊥CED．BE＝CE
8．如图，等边三角形
ABE
与等边三角形
AFC
∠EOB
的度数为（）A．45°
B．60°
9．如图，在四边形
∠D
分别是边
上
FDB．
FD
<
FDD．
2
BE2
FD2
10．在正方形
中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，则∠BAE＋∠DCF
为（）
五、寻找全等三角形的几种方法
.
利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等
在证明线段或角相等时，解题的
关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论．下面介绍寻找
全等三角形的几种方法，供同学们参考．
一、利用公共角
如图
1，AB
＝
AC,
AF.
求证:
＝∠C.
分析：
要证明∠B
＝∠C，只需证明△BOE≌△COF
或△ABF≌△ACE.
而由图形可知∠A
是公共角，又由
已知条件
AE＝
AF,所以△ABF≌△ACE，于是问题获证．
二、利用对顶角（题目中的隐含条件）
2，B、E、F、D
在同一直线上，AB
CD，BE
＝DF，AE
CF，连接
O．
AO
CO．
要证明
，只需证明AOE≌△COF
或△AOB≌△COD
即可．根据现有条件都无法直接证
明．而由已知条件
＝CD，BE
DF,
可直接证明△ABE≌△CDF，则
有∠AEB＝∠CFD，
进而有∠AEO
＝∠CFO,再
利
用
对
顶
角
相
等，即可
证
明。
三、利用公共边（题目中的隐含条件）
3，AB
CD，AC
BD．求证：
＝∠C．
设
交于点
O，此时∠B
与∠C
分别在△AOB
和△DOC
中，而用现有的已知条件是不可
能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形．此时可以连接
AD，那么
是△ABD
和△DCA
的公共边，这样可以证明△ABD≌△DCA．
四、利用相等线段中的公共部分
4，E、F
是平行四边形
上的两点，AF
CE.
BE∥DF.
BE∥DF,
只需证明∠BEC
＝∠DFA，此时可以转换为证明∠AEB
＝∠CFD,
进而证明△AEB
≌△CFD.
B图1
图2
图3
图4
五、利用等角中的公共部分
5，已知∠E
30°
，AB
AD，AC
AE，∠BAE＝∠DAC．求∠C
的度数．
已知∠E
，要求∠
，可考虑证明
ABC≌△ADE,由∠BAE
＝∠DAC,结合图形可知∠BAC
＝
∠DAE，于是问题获解．
六、利用互余或互补角的性质
考点：
同角或等角的余角相等
6
6，已知∠DCE
，∠DAC
，BE⊥AC
B,
且
EC,
能否找出与
AB+AD
相
等的线段，并说明理由．
由于
AB+BC，可以猜想
AB+AD，或
＝AB+AD，此时只需证明
即可．而
事实上，用同角的余角相等可得到∠DCA
＝∠
，从而证明ADC≌△BCE，问题获证．
7，如图
7—1，在正方形
中，M,N
分别是
CD，AD
上的点，BM
O,若∠BON=90°
△DNC
≌△CMB.
变式：
7—
，在等边ABC
AC,AB
O,若∠BON=60°
△ANC≌△CMB
图5
图6
图7-1
CB
图7-2
七、利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）构造全等三角形
考点一：
利用角平分线上的点到角两边的距离相等
8，如图
8，点
的平分线
上一点，PE
垂直
所在的直线与
E,PF
所在的直线于
F,
∠PAB+∠PCB=180°
求证
PA=PC.
考点二：
利用截长补短法构造全等三角形
所谓截长法是指在较长得到线段上截取一条线段等于较短线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长
的线段，通过截长补短可把分散的条件相对集中，以便构造全等三角形。
9，如图
9，在△ABC
中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
AB=AC+CD.
“
从结论分析，
截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长
至
使
CE=CD，或在
AF=AC.
八、利用“一线三等角”模型构造全等三角形。
所谓“一线三等角”是指一条直线上有三个相等角，如果有一条边相等则可以构造全等三角形
类型一：
直角三角形中的“一线三等角”
10，如图
，ABC
中，∠B=90°
，CD⊥AC，过
DE⊥AB
延长线与
AC=CD
△ABC≌△CED
类型二：
等腰三角形中地边上的“一线三等角”
11，如图
，在ABC
AB=AC，点
D,E
AB,BC
上，作∠DEF=∠B，射线
交线段
F．
若
DE=EF,求证：
△DBE≌△ECF；
12
图
8
10
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