高三高考数学国步分项分类题及析答案五五.docx
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高三高考数学国步分项分类题及析答案五五
高三高考数学国步分项分类题及析答案五五
8-3直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系
基础巩固强化
1.（文）（2011·深圳二模）直线l：
mx－y＋1－m＝0与圆C：
x2＋（y－1）2＝5的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
[答案] A
[解析] 解法一：
圆心（0,1）到直线的距离d＝<1<，故选A.
解法二：
直线mx－y＋1－m＝0过定点（1,1），又因为点（1,1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的，故选A.
（理）（2012·重庆理，3）对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心
[答案] C
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．
圆心C（0,0）到直线kx－y＋1＝0的距离d＝≤1<.
所以直线与圆相交，故选C.
[点评] 圆与直线的位置关系一般运用圆心到直线的距离d与圆的半径关系判断．若直线过定点，也可通过该点在圆内，圆外，圆上去判断．如本题中直线y＝kx＋1过定点M（0,1），M在圆内．
2．（2011·济南二模）“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆（x－a）2＋（y－3）2＝8相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若直线y＝x＋4与圆（x－a）2＋（y－3）2＝8相切，则有＝2，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆（x－a）2＋（x－3）2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆（x－a）2＋（y－3）2＝8相切”的充分不必要条件．
3．（2011·东北三校联考）若a、b、c是直角三角形的三边（c为斜边），则圆x2＋y2＝2截直线ax＋by＋c＝0所得的弦长等于（ ）
A．1 B．2 C. D．2
[答案] B
[解析] ∵a、b、c是直角三角形的三条边，
∴a2＋b2＝c2.
设圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离为d，则d＝＝1，∴直线被圆所截得的弦长为
2＝2.
4．（2011·潍坊模拟）已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是（ ）
A．x－2y＋1＝0B．2x－y－1＝0
C．x－y＋3＝0D．x－y－3＝0
[答案] D
[解析] 解法一：
圆心O（0,0），C（3，－3）的中点P（，－）在直线l上，排除A、B、C，选D.
解法二：
两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，
即x－y－3＝0，故选D.
[点评] 直线l为两圆心连线段的中垂线．
5．（2012·山东文，9）圆（x＋2）2＋y2＝4与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切B．相交
C．外切D．相离
[答案] B
[解析] 本题考查圆与圆的位置关系．
两圆圆心分别为A（－2,0），B（2,1），
半径分别为r1＝2，r2＝3，|AB|＝，
∵3－2<<2＋3，∴两圆相交．
6．（文）（2012·福建文，7）直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（ ）
A．2B．2
C.D．1
[答案] B
[解析] 本题考查了圆的弦长问题．
如图可知
d＝＝1，
∴|AB|＝2|BC|＝2＝2.
[点评] 涉及到直线与圆相交的弦长问题，优先用Rt△OCB这一勾股关系，在椭圆中的弦长问题则选用弦长公式l＝|x2－x1|＝|y2－y1|.
（理）（2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考）已知圆C：
x2＋y2＝12，直线l：
4x＋3y＝25，则圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（ ）
A.B.
C.D.
[答案] B
[解析] ⊙C上的点到直线l：
4x＋3y＝25的距离等于2的点，在直线l1：
4x＋3y＝15上，圆心到l1的距离d＝3，圆半径r＝2，∴⊙C截l1的弦长为|AB|＝2＝2，∴圆心角∠AOB＝，的长为⊙C周长的，故选B.
7．（2012·北京东城区示范校练习）已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．
[答案] x－y－2＝0
[解析] 由题易知，直线l是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是（0,0），（2，－2），于是其中点坐标是（1，－1），又过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l的斜率是1，于是可得直线l的方程为：
y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
[点评] 两圆方程相减，即可得出对称直线方程．
8．（文）（2012·皖南八校第三次联考）已知点P（1，－2），以Q为圆心的圆Q：
（x－4）2＋（y－2）2＝9，以PQ为直径作圆与圆Q交于A、B两点，连接PA、PB，则∠APB的余弦值为________．
[答案]
[解析] 由题意可知QA⊥PA，QB⊥PB，故PA，PB是圆Q的两条切线，cos∠APB＝2cos2∠APQ－1＝2×（）2－1＝.
（理）已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，O为原点，且·＝2，则实数a的值等于________．
[答案] ±
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算．
设、的夹角为θ，则·＝R2·cosθ＝4cosθ＝2，
∴cosθ＝，∴θ＝，则弦AB的长|AB|＝2，弦心距为，由圆心（0,0）到直线的距离公式有：
＝，解之得a＝±.
9．（文）与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
[答案] （x－2）2＋（y－2）2＝2
[解析] ∵⊙A：
（x－6）2＋（y－6）2＝18的圆心A（6,6），半径r1＝3，
∵A到l的距离5，∴所求圆B的直径2r2＝2，
即r2＝.
设B（m，n），则由BA⊥l得＝1，
又∵B到l距离为，∴＝，
解出m＝2，n＝2.
（理）（2011·杭州二检）已知A，B是圆O：
x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C（1，－1），则圆心M的轨迹方程是________．
[答案] （x－1）2＋（y＋1）2＝9
[解析] 设圆心为M（x，y），由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即＝3，所以（x－1）2＋（y＋1）2＝9.
10．（文）已知圆C：
x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：
x＋2y－3＝0.
（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；
（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
[解析]
（1）将圆的方程配方，
得（x＋）2＋（y－3）2＝，
故有>0，解得m<.
将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得
消去y，得x2＋（）2＋x－6×＋m＝0，
整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0，①
∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5（4m－27）<0，解得m>8.
∴m的取值范围是（8，）．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由OP⊥OQ，得·＝0，
由x1x2＋y1y2＝0，②
由
（1）及根与系数的关系得，
x1＋x2＝－2，x1·x2＝③
又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，
∴y1·y2＝·
＝[9－3（x1＋x2）＋x1·x2]，
将③代入上式，得y1·y2＝，④
将③④代入②得x1·x2＋y1·y2
＝＋＝0，解得m＝3，
代入方程①检验得Δ>0成立，∴m＝3.
（理）已知圆C：
x2＋（y－3）2＝4，一动直线l过A（－1,0）与圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：
x＋3y＋6＝0相交于N.
（1）求证：
当l与m垂直时，l必过圆心C；
（2）当PQ＝2时，求直线l的方程；
（3）探索·是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
[解析]
（1）证明：
因为l与m垂直，
且km＝－，kl＝3，
故直线l：
y＝3（x＋1），即3x－y＋3＝0.
显然圆心（0,3）在直线l上，
即当l与m垂直时，l必过圆心．
（2）①当直线l与x轴垂直时，
易知x＝－1符合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k（x＋1），即kx－y＋k＝0，
因为PQ＝2，所以CM＝＝1，
则由CM＝＝1，得k＝.
所以直线l：
4x－3y＋4＝0.
从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
（3）因为CM⊥MN，
所以·＝（＋）·
＝·＋·＝·.
①当l与x轴垂直时，
易得N（－1，－），则＝（0，－），
又＝（1,3），所以·＝·＝－5.
②当l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k（x＋1），
则由，得N，
则＝.
所以·＝·＝－5.
综上，·与直线l的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且·＝－5.
能力拓展提升
11.（2011·济南模拟）若直线x－y＝2被圆（x－a）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为（ ）
A．－1或B．1或3
C．－2或6D．0或4
[答案] D
[解析] 圆心（a,0）到直线x－y＝2的距离d＝，则（）2＋（）2＝22，
∴a＝0或4.
12．（2011·银川部分中学联考）已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为（ ）
A．y＝－xB．y＝x
C．y＝－xD．y＝x
[答案] C
[解析]
由题易知，圆的方程为（x－2）2＋y2＝1，圆心为（2,0），半径为1，如图，经过原点的圆的切线，当切点在第四象限时，切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan150°＝－，故直线l的方程为y＝－x，选C.
13．（文）（2011·天津模拟）过点（0,1）的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2B．2
C．3D．2
[答案] B
[解析] 当过点（0,1）的直线与直径垂直且（0,1）为垂足时，|AB|取最小值2.
（理）（2011·宝鸡五月质检）已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|（其中O为坐标原点），则实数a等于（ ）
A．2B．－2
C．2或－2D.或－
[答案] C
[解析] ∵|＋|＝|－|，
∴||2＋||2＋2·
＝||2＋||2－2·，
∴·＝0，∴⊥，
画图易知A、B为圆x2＋y2＝4与两坐标轴的交点，
又A、B是直线x＋y＝a与圆的交点，∴a＝2或－2.
14．（文）若圆C：
x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线l1：
x－y－1＝0对称，动圆P与圆C相外切且与直线l2：
x＝－1相切，则动圆P的圆心的轨迹方程是________．
[答案] y2－6x＋2y－2＝0
[解析]
由题意知圆C的圆心为C（，－1），圆x2＋y2＝1的圆心为O（0,0），由两圆关于直线l1对称，易得点（0,0）关于直线l1：
x－y－1＝0对称的点（1，－1）就是点C，故a＝2，所以圆C的标准方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝1，其半径为1.设动圆P的圆心为P（x，y），半径为r，由动圆P与圆C相外切可得：
|PC|＝r＋1，由图可知，圆心P一定在直线x＝－1的右侧，所以由动圆P与直线l2：
x＝－1相切可得r＝x－（－1）＝x＋1.代入|PC|＝r＋1得：
＝x＋2，整理得：
y2－6x＋2y－2＝0.
（理）（2012·天津，12）设m、n∈R，若直线l：
mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．
[答案] 3
[解析] ∵l与圆相交弦长为2，∴＝，
∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤，l与x轴交点A（，0），与y轴交点B（0，），
∴S△AOB＝||||＝≥×6＝3.
15．已知点M（3,1），直线ax－y＋4＝0及圆（x－1）2＋（y－2）2＝4.
（1）求过M点的圆的切线方程；
（2）若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
（3）若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
[解析]
（1）∵（3－1）2＋（1－2）2>4，∴M在圆外，
当过点M的直线斜率不存在时，易知直线x＝3与圆相切．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－1＝k（x－3），
即kx－y－3k＋1＝0，
∵直线与圆相切，∴＝2，
解之得k＝，
∴切线方程为y－1＝（x－3），
即3x－4y－5＝0.
∴所求的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
（2）由ax－y＋4＝0与圆相切知＝2，
∴a＝0或a＝.
（3）圆心到直线的距离d＝，
又l＝2，r＝2，
∴由r2＝d2＋（）2，可得a＝－.
16．（文）已知圆C：
x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解析] 依题意，设l的方程为y＝x＋b，①
又⊙C的方程为x2＋y2－2x＋4y－4＝0，②
联立①②消去y得：
2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有
③
∵以AB为直径的圆过原点，
∴⊥，即x1x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，
∴2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，
由③得b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4，
∴满足条件的直线l存在，其方程为
x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
（理）（2012·河南豫北六校精英联考）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点（0，－），（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，已知直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若以AB为直径的圆过原点O，求k的值；
（3）若点A在第一象限，证明：
当k>0时，恒有|OA|>|OB|.
[解析]
（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，－），（0，）为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，故椭圆方程为＋x2＝1.
（2）由题意可知，以AB为直径的圆过原点O，即OA⊥OB，联立方程消去y得（4＋k2）x2＋2kx－3＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理可知：
x1＋x2＝－，x1·x2＝－，
y1·y2＝（kx1＋1）（kx2＋1）＝k2x1x2＋k（x1＋x2）＋1＝，
所以，·＝x1x2＋y1y2＝－＋＝0，得k2＝，即k＝±.
（3）||2－||2＝x＋y－（x＋y）＝x－x＋y－y
＝（x1－x2）（x1＋x2）＋k（x1－x2）[k（x1＋x2）＋2]
＝[2k＋（1＋k2）（x1＋x2）]（x1－x2）
＝.
因为A在第一象限，所以x1>0，
又因为x1·x2＝－，所以x2<0，故x1－x2>0，
又因为k>0，所以|OA|>|OB|.
1．（2011·豫南四校调研考试）直线l过点（－4,0）且与圆（x＋1）2＋（y－2）2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为（ ）
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
[答案] D
[解析] ∵圆的半径为5，|AB|＝8，∴圆心（－1,2）到直线l的距离为3.当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点（－4,0），所以直线l的方程为x＝－4.此时圆心（－1,2）到直线l的距离为3，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x＋4），即kx－y＋4k＝0，则圆心（－1,2）到直线l的距离为＝3，解之得k＝－，∴直线l的方程为－x－y－＝0，整理得5x＋12y＋20＝0.综上可得，满足题意的直线l方程为5x＋12y＋20＝0或x＝－4，故选D.
2．已知圆O1：
（x－a）2＋（y－b）2＝4，O2：
（x－a－1）2＋（y－b－2）2＝1（a、b∈R），那么两圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切
C．相交D．外切
[答案] C
[解析] 两圆半径分别为2,1，因为1<|O1O2|＝<3，所以两圆相交．
3．直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ与圆x2＋（y－1）2＝4的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．以上都有可能
[答案] C
[解析] 圆心到直线的距离d＝＝1<2，
∴直线与圆相交．
4．（2012·河南质量调研）直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则·（O为坐标原点）等于（ ）
A．－7B．－14
C．7D．14
[答案] A
[解析] 记、的夹角为2θ.依题意得，圆心（0,0）到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，
∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×（）2－1＝－，
∵·＝3×3cos2θ＝－7，选A.
5．（2012·沈阳六校联考）已知两点A（0，－3），B（4,0），若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为（ ）
A．6B.
C．8D.
[答案] B
[解析] 记圆心为C，则由题意得|AB|＝5，直线AB：
＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C（0,1）到直线AB的距离为，点P到直线AB的距离h的最小值是－1＝，△ABP的面积等于|AB|h＝h≥×＝，即△ABP的面积的最小值是，选B.
6．（2011·海淀期末）已知直线l：
y＝－1，定点F（0,1），P是直线x－y＋＝0上的动点，若经过点F、P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为（ ）
A.B．π
C．3πD．4π
[答案] B
[解析] 由于圆经过点F、P且与直线y＝－1相切，所以圆心到点F、P与到直线y＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C在以点（0,1）为焦点的抛物线x2＝4y上，圆与直线x－y＋＝0的交点为点P.显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小，为π.故选B.
7．（2011·北京日坛中学摸底考试）若过定点M（－1,0）且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是（ ）
A．0C．0[答案] D
8．已知点P（0,5）及圆C：
x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
（2）求过P点的圆C的弦的中点轨迹方程．
[解析] 圆C的方程可化为（x＋2）2＋（y－6）2＝16，设l：
y＝kx＋5，由l被⊙C截得弦长为4及⊙C半径r＝4知d＝2，∴＝2，
∴k＝，当k不存在时，切线l为x＝0，
∴l的方程为y＝x＋5或x＝0.
（2）设弦的中点为M（x，y），
将y＝kx＋5代入⊙C方程中得，
（1＋k2）x2＋2（2－k）x－11＝0，
设弦两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，
∴y1＋y2＝k（x1＋x2）＋10
＝＋10＝，
∵M为AB的中点，
∴x＝＝，y＝＝，
消去k得所求轨迹方程为：
x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
[点评] 也可以直接由x＝及＝k消去k得出轨迹方程更简便些．
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