初二上册数学八年级秋季班第18讲直角三角形的判定性质和推论马秋燕.docx
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初二上册数学八年级秋季班第18讲直角三角形的判定性质和推论马秋燕
八年级上册数学秋季班
(学生版)
最
新
教
案
直角三角形是特殊的三角形,本节主要讨论直角三角形全等的判定定理和性质,难点是直角三角形的性质及应用.综合性较强,会牵涉到辅助线的添加,连接中线,将散落的条件集中到直角三角形中进行求解.
1、直角三角形全等的判定方法:
(1)直角三角形是特殊的三角形,对于一般三角形全等的判定方法,直角三角形都适用;
(2)直角三角形还有一个特殊的判定方法:
有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等(简记“H.L”).
【例1】如图,∠D=∠C=90°,请添加一个条件,使得△ABC≌△BAD,并在括号内写出判定的依据。
(1)AD=__________();
(2)∠DAB=_________().
【难度】★
【答案】
【解析】
【例2】
A
B
C
D
E
F
G
O
H
已知:
如图,EF⊥AD,BC⊥AD,AG=DH,AF=DC,那么图中全等的三角形共有______对.
【难度】★
【答案】
【解析】
【例3】下列命题中,正确的个数是()
①两条边分别相等的两个直角三角形全等;
②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等;
③斜边相等的两个等腰直角三角形全等.
A.3B.2C.1D.0
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例4】已知:
如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E、F,
求证:
CE=DF.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例5】
如图,已知:
Rt△ABC中,∠ACB是直角,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于E,求证:
CD⊥BE.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例6】如图,△ABC中,AB⊥BC,AD平分∠BAC,DF⊥AC,ED=CD.求证:
AC=AE+2BE.
A
B
C
D
E
F
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例7】如图1,点A、E、F、C在一条直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC.若AB=CD,
(1)BD与EF有什么关系?
为什么?
(2)若变为图2所示位置,结论是否仍然成立?
请说明理由.
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
图2
图1
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例8】在直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直线l为经过点A的任一直线,BD⊥l于点D,CE⊥l于点E,若BD>CE,试问:
(1)AD与CE的大小关系如何?
请说明理由;
(2)线段BD、DE、CE之间的数量关系如何?
你能说明清楚吗?
试一试.
A
B
C
D
E
l
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例9】如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于E.
(1)若BC在DE的同侧(如图1),且AD=CE,求证:
AB⊥AC.
(2)
若BC在DE的两侧(如图2),其他的条件不变,问AB与AC仍垂直吗?
若是,请予以证明,若不是,请说明理由.
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例10】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,在AB上截取AE=AC,过点E作EF∥CD、交BC边于点F,EG垂直BC于点G,求证:
DE=EG.
【难度】★★★
【答案】
【解析】
2、两个性质:
(1)直角三角形的两个锐角互余;
(2)在直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半.如果有直角三角形,作斜边的中线这条辅助线,可达到解决问题的目的.
【例11】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D:
(1)若∠B=55°,则∠A=________;
(2)若∠B
∠A=10°,则∠B=_________;
(3)图中与∠A互余的角有_________,与∠A相等的角有_________.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例12】
如图,已知,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M、N分别是AC、BD中点.求证:
MN⊥BD.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例13】
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的中垂线交AB于E、AC于D,BD、CE交于F,设∠A=y,∠DFC=x,
(1)求证:
∠CDB=∠CEB;
(2)用x的代数式表示y.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例14】
A
B
C
D
P
F
如图
中,AD是BC边上的高,CF是AB边的中线,BF=DC,P是CF中
点.
求证:
(1)
;
(2)
.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例15】
A
B
C
D
E
F
O
M
如图,
,
交于点O,且BD=BO,CA=CO,E、F、M分别是OD、OA、BC的中点,求证:
.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例16】如图,在梯形ABCD中,AD//BC,M、N分别是AD、BC的中点,若∠B与
∠C互余,则MN与(BC
AD)的关系是什么?
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例17】如图,已知在钝角
ABC中,AC、BC边上的高分别是BE、AD,BE、AD的延长线交于点H,点F、G分别是BH、AC的中点.
(1)求证:
∠FDG=90°;
B
E
F
H
D
A
G
C
(2)连结FG,试问
FDG能否为等腰直角三角形?
若能,试确定
ABC的度数,并写出你的推理过程;若不能,请简要说明理由.
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例18】
如图,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AD为腰CB上的中线,CE⊥AD交AB于E.求证:
∠CDA=∠EDB.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例19】如图,点A、B、C在同一直线上,在直线AC的同侧作△ABE和△BCF,连接AF、CE,取AF、CE的中点M、N,连接MB、NB、NM.
(1)若△ABE和△FBC是等腰直角三角形,且∠ABE=∠FBC=90°,如图1所示,则△MBN是_____________三角形;
(2)若△ABE和△FBC中,BA=BE,BC=BF,且∠ABE=∠FBC=α,如图2所示,则△MBN是_____________三角形,且∠MBN=_______;
(3)
若
(2)中的△ABE绕点B旋转一定的角度,如图3,其他的条件不变那么
(2)中的结论是否成立?
若成立,给出你的证明,若不成立,写出正确的结论并给出证明.
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例20】
A
B
C
D
E
F
N
H
M
已知,如图,在△ABC中,边AB上的高CF、边BC上的高AD与边CA上的高BE交于点H,连接EF,AH和BC的中点为N、M.
求证:
MN是线段EF的中垂线.
【难度】★★★
【答案】
【解析】
模块三:
直角三角形性质的推论
知识精讲
3、推论:
(1)在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半;
(2)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.
【例21】
(1)△ABC中,AB=AC=6,∠B=30°,则BC边上的高AD=________;
(2)△ABC中,AB=AC,AB上的高CD=
AB,则顶角∠BAC=_______.
【难度】★
【答案】
【解析】
【例22】
如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,在CD上取一点E,使AE=AB,则∠EBC的度数为__________.
【难度】★
【答案】
【解析】
【例23】
已知:
如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线MN交AC于D,求证:
.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例24】已知:
如图,Rt△ABC和Rt△ABD中,DA=DB,∠ADB=90°,BC=
AB,
∠ACB=90°,DE⊥AB,联结DC,求∠EDC的大小.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例25】
已知如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D为AB上一点,且BD=
AB.求证:
CD⊥AB.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例26】已知等边△ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且AE=CD,AD与BE相交于点F,过点B作BG⊥AD,垂足为G,
(1)求FG:
BF的值;
(2)
若D、E分别在BC、CA的延长线上,其他条件都不变,上述结论是否仍然成立,请说明理由.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例27】在△ABC中,已知∠A=60°,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,点D是BC中点.
(1)如果AB=AC,求证△DEF为等边三角形;
(2)如果AB≠AC,试猜想△DEF是不是等边三角形,若是,请加以证明,若不是,请说明理由;
(3)如果CM=4,FM=5,求BE的长度.
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例28】已知∠MAN,AC平分∠MAN,
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:
AB+AD=AC.
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
A
B
C
D
M
N
N
A
B
C
D
M
【难度】★★★
【答案】
【解析】
随堂检测
【习题1】下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是().
A.两条直角边对应相等
B.斜边一个锐角对应相等
C.一条直角边和一条斜边对应相等
D.一条边和一个角对应相等
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题2】如图在△ABC中,∠ACB=90°,在AB上截取AE=AC,BD=BC,则
∠DCE=_________.
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题3】如图在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠A=30°,则AD=_____AB
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题4】
如图,在直角△ABC在,∠ACB=90°,AB=8cm,D为AB的中点,DE⊥AC于E,∠A=30°,求BC、CD和DE的长.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题5】
如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,交AD于点H,且AD=BD,AC=BH,连接CH.求证:
∠ABC=∠BCH.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题6】
如图,已知,在锐角三角形ABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC于点D,E为AC的中点,ED的延长线交AB的延长线于点F,求证:
BF=BD.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题7】
如图,在△ABC中,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,D是边BC的中点,连接DF、EF、DE.
(1)求证:
ED=DF;
(2)若△DEF是等边三角形,则△ABC应满足什么条件?
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题8】如图,AD∥BC,且BD⊥CD,BD=CD,AC=BC.求证:
AB=BO.
A
B
D
O
C
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题9】
已知:
如图在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是AB上的中线,DC=BE,DG⊥CE,垂足为点G.
求证:
∠AEC=3∠DCE.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题10】
A
B
C
D
F
E
如图,在等边三角形ABC中,D、E分别是BC、AC上的一点,且AE=CD,AD与BE相交于点F,CF⊥BE.求AF:
BF的值.
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【习题11】如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,以AB为边向外作等边三角形ABD,AE⊥BD于点E,AE交CD于点M.
(1)线段DM与线段BC有怎样的数量关系?
并证明;
(2)若△ABC于△ABD在AB的同侧,CD的延长线与AE的延长线交于点M,请在图2中画出△ABD与点M;线段DM与BC仍有
(1)中的数量关系吗?
并证明.
A
B
C
D
M
E
图1
A
B
C
图2
【难度】★★★
【答案】
【解析】
课后作业
【作业1】下列命题中,正确的有()个
(1)腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等
(2)有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等
(3)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
A.0B.1C.2D.3
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业2】
(1)直角△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,点E是AB的中点,∠ACD=25°,则∠ECB=__________;
D
A
B
C
E
(2)直角△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,点E是AB的中点,∠DCE=10°,则∠B=______________.
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业3】
A
B
C
D
E
如图,
中,
,
,
,
,
,则
=________,
=____________.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业4】
(1)等腰三角形底角是75°,腰长为9,则此三角形的面积是_______;
(2)等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的顶角的度数是_____________.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业5】已知:
AB⊥BC,DC⊥BC,点E在BC上,且AE=AD,AB=BC,求证:
CE=CD.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业6】已知:
如图,△ABC中,∠B=40°,∠C=20°,DA⊥CA,求证:
CD=2AB.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业7】
如图,已知:
△ABC中,AB=AC,∠A=60°,BD=CD,BE∥AC,DE⊥BE,求证:
4BE=AC.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业8】
A
B
C
D
E
F
在等腰直角△ABC中,D是斜边AB的中点,E、F分别在直线AC、BC上,且AE=CF,联结DE、DF、EF,试判断△DEF的形状,并加以证明.
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业9】
A
B
C
D
M
N
O
已知:
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AC、BD相交于点O,M、N分别为AC、BD的中点.
(1)求证:
MN⊥BD;
(2)当∠BAC=15°,AC=10,OB=OM时,求MN的长
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业10】已知:
等腰直角△ABC中,O是斜边AC的中点,P是斜边AC上的一个动点,D是线段BC上的一点,且BP=PD,过点D作AC边上的高DE,求证:
PE=BO.
A
B
C
D
P
E
O
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【作业11】如图1,已知点D在AC上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,点M为EC的中点.
(1)求证:
△BMD为等腰直角三角形;
(2)将△ADE绕点A逆时针旋转45°,如图2所示,
(1)中的结论是否仍然成立,请说明理由;
(3)
图1
A
B
C
D
E
M
A
B
C
D
E
图2
M
B
将△ADE绕点A逆时针旋转135°,
(1)中的结论是否仍然成立,请说明理由.
【难度】★★★
【答案】
【解析】