高考复习讲解专题之不等式.doc
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第七编不等式
§7.1不等关系与不等式
1.已知-1＜a＜0,那么-a,-a3,a2的大小关系是.
答案-a＞a2＞-a3
2.若m＜0,n＞0且m+n＜0，则-n，-m，m，n的大小关系是.
答案m＜-n＜n＜-m
3.已知a＜0,-1＜b＜0,那么a,ab,ab2的大小关系是.
答案ab＞ab2＞a
4.设a=2-,b=-2,c=5-2,则a,b,c的大小关系为.
答案a＜b＜c
5.设甲：
m、n满足乙：
m、n满足那么甲是乙的条件.
答案必要不充分
例1
（1）设x＜y＜0,试比较（x2+y2）（x-y）与（x2-y2）（x+y）的大小；
（2）已知a,b,c∈{正实数}，且a2+b2=c2,当n∈N,n＞2时比较cn与an+bn的大小.
解
（1）方法一（x2+y2）（x-y）-（x2-y2）（x+y）
=（x-y）［x2+y2-（x+y）2］=-2xy（x-y）,
∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,
∴-2xy（x-y）＞0,
∴（x2+y2）（x-y）＞（x2-y2）（x+y）.
方法二∵x＜y＜0,∴x-y＜0,x2＞y2,x+y＜0.
∴（x2+y2）（x-y）＜0,（x2-y2）（x+y）＜0,
∴0＜=＜1,
∴（x2+y2）（x-y）＞（x2-y2）（x+y）.
（2）∵a,b,c∈{正实数}，∴an,bn,cn＞0,
而=+.
∵a2+b2=c2,则+=1,
∴0＜＜1,0＜＜1.
∵n∈N,n＞2,
∴＜,＜,
∴=+＜=1,
∴an+bn＜cn.
例2已知a、b、c是任意的实数，且a＞b,则下列不等式恒成立的是.
①（a+c）4＞（b+c）4②ac2＞bc2
③lg|b+c|＜lg|a+c|④（a+c）＞（b+c）
答案④
例3（14分）已知-1＜a+b＜3且2＜a-b＜4,求2a+3b的取值范围.
解设2a+3b=m（a+b）+n（a-b）,
∴,4分
∴m=,n=-.6分
∴2a+3b=（a+b）-（a-b）.7分
∵-1＜a+b＜3,2＜a-b＜4,
∴-＜（a+b）＜,-2＜-（a-b）＜-1,10分
∴-＜（a+b）-（a-b）＜,12分
即-＜2a+3b＜.14分
1.
（1）比较x6+1与x4+x2的大小，其中x∈R;
（2）设a∈R,且a≠0,试比较a与的大小.
解
（1）（x6+1）-（x4+x2）
=x6-x4-x2+1=x4（x2-1）-（x2-1）
=（x2-1）（x4-1）=（x2-1）（x2-1）（x2+1）
=（x2-1）2（x2+1）.
当x=±1时，x6+1=x4+x2;
当x≠±1时，x6+1＞x4+x2.
（2）a-==
当-1＜a＜0或a＞1时,a＞；
当a＜-1或0＜a＜1时,a＜；
当a=±1时,a=.
2.适当增加不等式条件使下列命题成立：
（1）若a＞b,则ac≤bc;
（2）若ac2＞bc2,则a2＞b2;
（3）若a＞b,则lg（a+1）＞lg（b+1）;
（4）若a＞b,c＞d,则＞;
（5）若a＞b,则＜.
解
（1）原命题改为：
若a＞b且c≤0，则ac≤bc,即增加条件“c≤0”.
（2）由ac2＞bc2可得a＞b,但只有b≥0时，才有a2＞b2,即增加条件“b≥0”.
（3）由a＞b可得a+1＞b+1,但作为真数，应有b+1＞0,故应加条件“b＞-1”.
（4）＞成立的条件有多种，如a＞b＞0,c＞d＞0,因此可增加条件“b＞0,d＞0”.还可增加条件为“a＜0,c＞0,d＜0”.
（5）＜成立的条件是a＞b,ab＞0或a＜0,b＞0,
故增加条件为“ab＞0”.
3.设f（x）=ax2+bx,1≤f（-1）≤2,2≤f
（1）≤4,求f（-2）的取值范围.
解方法一设f（-2）=mf（-1）+nf
（1）（m,n为待定系数）,
则4a-2b=m（a-b）+n（a+b）,
即4a-2b=（m+n）a+（n-m）b,
于是得,解得,
∴f（-2）=3f（-1）+f
（1）.
又∵1≤f（-1）≤2,2≤f
（1）≤4,
∴5≤3f（-1）+f
（1）≤10,
故5≤f（-2）≤10.
方法二由,
得,
∴f（-2）=4a-2b=3f（-1）+f
（1）.
又∵1≤f（-1）≤2,2≤f
（1）≤4,
∴5≤3f（-1）+f
（1）≤10,故5≤f（-2）≤10.
方法三由确定的平面区域如图.
当f（-2）=4a-2b过点A时,
取得最小值4×-2×=5,
当f（-2）=4a-2b过点B（3,1）时,
取得最大值4×3-2×1=10,
∴5≤f（-2）≤10.
一、填空题
1.已知a,b,c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列不等式中恒成立的是（填序号）.
①＞②＞0③＞④＜0
答案①②④
2.（2009·姜堰中学高三第四次综合练习）已知存在实数a满足ab2＞a＞ab,则实数b的取值范围为.
答案（-∞，-1）
3.（2009·苏、锡、常、镇三检）已知三个不等式：
ab＞0，bc-ad＞0,-＞0（其中a,b,c,d均为实数）,用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为个.
答案3
4.已知函数f（x）=log2（x+1）,设a＞b＞c＞0,则,,的大小关系为.
答案＜＜
5.若x＞y＞1,且0＜a＜1,则①ax＜ay;②logax＞logay;③x-a＞y-a;④logxa＜logya.
其中不成立的有个.
答案3
6.已知a+b＞0，则+与+的大小关系是.
答案+≥+
7.给出下列四个命题：
①若a＞b＞0,则＞;
②若a＞b＞0,则a-＞b-;
③若a＞b＞0,则＞;
④设a,b是互不相等的正数，则|a-b|+≥2.
其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）
答案②
二、解答题
8.比较aabb与abba（a,b为不相等的正数）的大小.
解=aa-bbb-a=,
当a＞b＞0时，＞1,a-b＞0,∴＞1；
当0＜a＜b时，＜1,a-b＜0,∴＞1.
综上所述，总有aabb＞abba.
9.已知奇函数f（x）在区间（-∞,+∞）上是单调递减函数,,,∈R且+＞0,+＞0,+＞0.
试说明f（）+f（）+f（）的值与0的关系.
解由+＞0,得＞-.
∵f（x）在R上是单调减函数,∴f（）＜f（-）.
又∵f（x）为奇函数,∴f（）＜-f（）,∴f（）+f（）＜0,
同理f（）+f（）＜0,f（）+f（）＜0,
∴f（）+f（）+f（）＜0.
10.某个电脑用户计划使用不超过1000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式.
解设买软件x片、磁盘y盒,
N+
N+
则x、y满足关系：
.
11.已知a＞0,a2-2ab+c2=0,bc＞a2.试比较a,b,c的大小.
解∵bc＞a2＞0,∴b,c同号.
又a2+c2＞0,a＞0,∴b=＞0,∴c＞0,
由（a-c）2=2ab-2ac=2a（b-c）≥0,∴b-c≥0.
当b-c＞0,即b＞c时,
由得·c＞a2
即（a-c）（2a2+ac+c2）＜0.
∵a＞0,b＞0,c＞0,∴2a2+ac+c2＞0,
∴a-c＜0,即a＜c,则a＜c＜b；
当b-c=0,即b=c时,
∵bc＞a2,∴b2＞a2,即b≠a.
又∵a2-2ab+c2=（a-b）2=0a=b与a≠b矛盾,
∴b-c≠0.
综上可知:
a＜c＜b.
§7.2一元二次不等式及其解法
1.下列结论正确的是.
①不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}
②不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}
③不等式（x-1）2＜2的解集为{x|1-＜x＜1+}
④设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}
答案③
2.（2007·湖南理）不等式≤0的解集是.
答案（-1，2］
3.（2008·天津理）已知函数f（x）=则不等式x+（x+1）·f（x+1）≤1的解集是.
答案{x|x≤-1}
4.在R上定义运算:
xy=x（1-y）.若不等式（x-a）（x+a）＜1对任意实数x成立,则a的取值范围是.
答案-＜a＜
5.（2008·江苏，4）A={x|（x-1）2＜3x-7}，则A∩Z的元素的个数为.
答案0
例1解不等式≥（x2-9）-3x.
解原不等式可化为-x2+≥x2--3x,
即2x2-3x-7≤0.
解方程2x2-3x-7=0,得x=.
所以原不等式的解集为
.
例2已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（,）,且0＜＜,求不等式cx2+bx+a＜0的解集.
解方法一由已知不等式的解集为（，）可得a＜0,
∵，为方程ax2+bx+c=0的两根，
②
①
∴由根与系数的关系可得
∵a＜0,∴由②得c＜0,
则cx2+bx+a＜0可化为x2++＞0,
①÷②得==-＜0,
由②得==·＞0,
∴、为方程x2+x+=0的两根.
∵0＜＜,
∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为
.
方法二由已知不等式解集为（,）,得a＜0,
且，是ax2+bx+c=0的两根，
∴+=-,=,
∴cx2+bx+a＜0x2+x+1＞0
（）x2-（+）x+1＞0（x-1）（x-1）＞0
＞0.
∵0＜＜,∴＞,∴x＜或x＞,
∴cx2+bx+a＜0的解集为.
例3已知不等式＞0（a∈R）.
（1）解这个关于x的不等式;
（2）若x=-a时不等式成立,求a的取值范围.
解
（1）原不等式等价于（ax-1）（x+1）＞0.
①当a=0时,由-（x+1）＞0,得x＜-1;
②当a＞0时,不等式化为（x+1）＞0,
解得x＜-1或x＞;
③当a＜0时,不等式化为（x+1）＜0;
若＜-1,即-1＜a＜0,则＜x＜-1;
若=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;
若＞-1,即a＜-1,则-1＜x＜.
综上所述,
a＜-1时,解集为;
a=-1时,原不等式无解;
-1＜a＜0时,解集为;
a=0时,解集为{x|x＜-1};
a＞0时,解集为.
（2）∵x=-a时不等式成立,
∴＞0,即-a+1＜0,
∴a＞1,即a的取值范围为a＞1.
例4（14分）已知f（x）=x2-2ax+2,当x∈［-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围.
解方法一f（x）=（x-a）2+2-a2,
此二次函数图象的对称轴为x=a,2分
①当a∈（-∞,-1）时，结合图象知,f（x）在［-1，+∞）上单调递增，f（x）min=f（-1）=2a+3,4分
要使f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a,
即2a+3≥a,解得a≥-3,又a＜-1,∴-3≤a＜-1;6分
②当a∈［-1，+∞）时，f（x）min=f（a）=2-a2,8分
由2-a2≥a,解得-2≤a≤1,又a≥-1,
∴-1≤a≤1.12分
综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1.14分
方法二由已知得x2-2ax+2-a≥0在［-1，+∞）上恒成立，4分
即Δ=4a2-4（2-a）≤0或,10分
解得-3≤a≤1.14分
1.解下列不等式：
（1）-x2+2x-＞0;
（2）9x2-6x+1≥0.
解
（1）-x2+2x-＞0
x2-2x+＜0
3x2-6x+2＜0
Δ=12＞0,且方程3x2-6x+2=0的两根为
x1=1-,x2=1+,
∴原不等式解集为.
（2）9x2-6x+1≥0（3x-1）2≥0.
∴x∈R,∴不等式解集为R.
2.已知关于x的不等式（a+b）x+（2a-3b）＜0的解集为，求关于x的不等式（a-3b）x+（b-2a）＞0的解集.
解∵（a+b）x+（2a-3b）＜0的解集是,
∴
于是a=2b＞0,b＞0,不等式（a-3b）x+（b-2a）＞0,
即为-bx-3b＞0,亦即-bx＞3b,∴x＜-3.
故所求不等式的解集为{x|x＜-3}.
3.解关于x的不等式＜0（a∈R）.
解＜0（x-a）（x-a2）＜0,
①当a=0或a=1时，原不等式的解集为；
②当a＜0或a＞1时，a＜a2，此时a＜x＜a2;
③当0＜a＜1时，a＞a2，此时a2＜x＜a.
综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a};
当a=0或a=1时，原不等式的解集为.
4.函数f（x）=x2+ax+3.
（1）当x∈R时,f（x）≥a恒成立,求a的取值范围.
（2）当x∈［-2,2］时,f（x）≥a恒成立,求a的取值范围.
解
（1）∵x∈R时,有x2+ax+3-a≥0恒成立,
须Δ=a2-4（3-a）≤0,即a2+4a-12≤0,所以-6≤a≤2.
（2）当x∈［-2,2］时,设g（x）=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论（如图所示）:
①如图
（1）,当g（x）的图象恒在x轴上方时,满足条件时,有Δ=a2-4（3-a）≤0,即-6≤a≤2.
②如图
（2）,g（x）的图象与x轴有交点,
但在x∈［-2,+∞）时,g（x）≥0,
即
即
解之得a∈.
③如图（3）,g（x）的图象与x轴有交点,
但在x∈（-∞,2］时,g（x）≥0,
即
即
-7≤a≤-6
综合①②③得a∈［-7，2］.
一、填空题
1.函数y=的定义域是.
答案［-,-1）∪（1，］
2.不等式＞0的解集是.
答案（-2,1）∪（2,+∞）
3.若（m+1）x2-（m-1）x+3（m-1）＜0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是.
答案m＜-
4.若关于x的不等式：
x2-ax-6a＜0有解且解区间长不超过5个单位，则a的取值范围是.
答案-25≤a＜-24或0＜a≤1
5.（2009·启东质检）已知函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），
f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如右图所示，
且f（-2）=1,f（3）=1,则不等式f（x2-6）＞1的解集为.
答案（2,3）∪（-3,-2）
6.不等式组的解集为.
答案{x|0＜x＜1}
7.若不等式2x＞x2+a对于任意的x∈［-2，3］恒成立，则实数a的取值范围为.
答案（-∞,-8）
8.已知{x|ax2-ax+1＜0}=,则实数a的取值范围为.
答案0≤a≤4
二、解答题
9.解关于x的不等式56x2+ax-a2＜0.
解原不等式可化为（7x+a）（8x-a）＜0,
即＜0.
①当-＜,即a＞0时,-＜x＜;
②当-=,即a=0时,原不等式解集为;
③当-＞,即a＜0时,＜x＜-.
综上知:
当a＞0时,原不等式的解集为
;
当a=0时,原不等式的解集为;
当a＜0时,原不等式的解集为.
10.已知x2+px+q＜0的解集为，求不等式qx2+px+1＞0的解集.
解∵x2+px+q＜0的解集为,
∴-,是方程x2+px+q=0的两实数根，
由根与系数的关系得,∴,
∴不等式qx2+px+1＞0可化为-,
即x2-x-6＜0,∴-2＜x＜3,
∴不等式qx2+px+1＞0的解集为{x|-2＜x＜3}.
11.若不等式2x-1＞m（x2-1）对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范围.
解方法一原不等式化为（x2-1）m-（2x-1）＜0.
令f（m）=（x2-1）m-（2x-1）（-2≤m≤2）.
则
解得＜x＜.
方法二求已知不等式视为关于m的不等式，
（1）若x2-1=0，即x=±1时，不等式变为2x-1＞0,即x＞,∴x=1,此时原不等式恒成立.
（2）当x2-1＞0时，使＞m对一切|m|≤2恒成立的充要条件是＞2,
∴1＜x＜.
（3）当x2-1＜0时，使＜m对一切|m|≤2恒成立的充要条件是＜-2.
∴＜x＜1.
由
（1）
（2）（3）知原不等式的解集为.
12.已知函数f（x）=ax2+a2x+2b-a3,当x∈（-2,6）时，其值为正，而当x∈（-∞,-2）∪（6,+∞）时，其值为负.
（1）求实数a,b的值及函数f（x）的表达式；
（2）设F（x）=-f（x）+4（k+1）x+2（6k-1）,问k取何值时，函数F（x）的值恒为负值？
解
（1）由题意可知-2和6是方程f（x）=0的两根，
∴,∴,
∴f（x）=-4x2+16x+48.
（2）F（x）=-（-4x2+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）
=kx2+4x-2.
当k=0时，F（x）=4x-2不恒为负值；
当k≠0时，若F（x）的值恒为负值，
则有,解得k＜-2.
§7.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
1.已知点A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），则表示△ABC的边界及其内部的约束条件是.
答案
2.（2008·天津理，2）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=5x+y的最大值为.
答案5
3.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是.
答案-5＜m＜10
4.（2008·北京理）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是.
答案1
5.（2008·福建理）若实数x、y满足，则的取值范围是.
答案（1，+∞）
例1画出不等式组表示的平面区域,并回答下列问题:
（1）指出x,y的取值范围;
（2）平面区域内有多少个整点?
解
（1）不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及
右下方的点的集合.x+y≥0表示直线x+y=0上及
右上方的点的集合,x≤3表示直线x=3上及左方
的点的集合.
所以,不等式组
表示的平面区域如图所示.
结合图中可行域得x∈,y∈［-3,8］.
Z
（2）由图形及不等式组知
当x=3时,-3≤y≤8,有12个整点;
当x=2时,-2≤y≤7,有10个整点;
当x=1时,-1≤y≤6,有8个整点;
当x=0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点;
当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点;
∴平面区域内的整点共有
2+4+6+8+10+12=42（个）.
例2（2008·湖南理，3）已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是.
答案6
例3（14分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？
解设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，1分
则线性约束条件为，4分
目标函数为z=7x+12y,8分
作出可行域如图，10分
作出一组平行直线7x+12y=t,当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点A（20，24）时，
利润最大.12分
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